Variance, écart type et jeux de hasard : corrigé du contrôle de maths en première
Voici le corrigé du contrôle de maths en première sur le thème « variance, écart type et jeux de hasard », question par question.
Cette correction suit l’ordre du sujet et rédige chaque réponse comme on l’attend sur une copie. Pour l’exercice 1, la variance est calculée deux fois, par la définition puis par la formule de König-Huygens, afin que tu puisses repérer où ton calcul diverge. Les propriétés de aX + b sont ensuite justifiées pas à pas.
Dans les jeux, l’espérance du gain est exprimée en fonction de la mise, puis la condition d’équité est résolue. La comparaison des deux stratégies s’appuie sur les écarts types, et la fonction Python est donnée complétée. Compare aussi ta copie au barème de chaque exercice, car il montre où se gagnent les points de méthode.
L’énoncé complet se trouve ici : Variance, écart type et jeux de hasard : contrôle de maths en première.
Barème du contrôle corrigé : variance, écart type et jeux de hasard
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Une loi à étudier en détail | 4 points |
| 2. Le bénéfice du stand de crêpes | 3 points |
| 3. La mise de la kermesse | 5 points |
| 4. Deux stratégies, une même espérance | 4 points |
| 5. Simuler une partie de dé | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : variance, écart type et jeux de hasard
Exercice 1 – Une loi à étudier en détail (4 points)
- On multiplie chaque valeur par sa probabilité, puis on additionne :
\(E(X) = -2 \times 0{,}2 + 0 \times 0{,}3 + 1 \times 0{,}4 + 4 \times 0{,}1\).
\(E(X) = -0{,}4 + 0 + 0{,}4 + 0{,}4\).
Donc \(E(X) = 0{,}4\). - Par définition, \(V(X)\) est la somme des \(P(X = x_i) \times (x_i – E(X))^2\).
\((-2 – 0{,}4)^2 \times 0{,}2 = 5{,}76 \times 0{,}2 = 1{,}152\).
\((0 – 0{,}4)^2 \times 0{,}3 = 0{,}16 \times 0{,}3 = 0{,}048\).
\((1 – 0{,}4)^2 \times 0{,}4 = 0{,}36 \times 0{,}4 = 0{,}144\).
\((4 – 0{,}4)^2 \times 0{,}1 = 12{,}96 \times 0{,}1 = 1{,}296\).
On additionne alors : \(1{,}152 + 0{,}048 + 0{,}144 + 1{,}296 = 2{,}64\).
Ainsi \(V(X) = 2{,}64\). - D’abord, on calcule \(E(X^2)\) :
\(E(X^2) = 4 \times 0{,}2 + 0 \times 0{,}3 + 1 \times 0{,}4 + 16 \times 0{,}1\).
Ainsi \(E(X^2) = 0{,}8 + 0{,}4 + 1{,}6 = 2{,}8\).
Puis \(V(X) = E(X^2) – E(X)^2 = 2{,}8 – 0{,}4^2 = 2{,}8 – 0{,}16 = 2{,}64\).
On retrouve bien \(V(X) = 2{,}64\). - L’écart type est la racine carrée de la variance :
\(\sigma(X) = \sqrt{2{,}64} \approx 1{,}6248\).
Donc \(\sigma(X) \approx 1{,}62\).
Piège classique : calculer \(E(X^2)\) en élevant \(E(X)\) au carré. En effet, \(E(X^2) = 2{,}8\) alors que \(E(X)^2 = 0{,}16\) : ces deux nombres sont très différents.
Exercice 2 – Le bénéfice du stand de crêpes (3 points)
- Par linéarité de l’espérance, \(E(aX + b) = aE(X) + b\).
Donc \(E(B) = 3 \times 12 – 5 = 36 – 5 = 31\).
\(E(B) = 31\) : sur un grand nombre d’heures, Timéo gagne en moyenne 31 € par heure. - On sait que \(V(aX + b) = a^2 V(X)\).
Donc \(V(B) = 3^2 \times 9 = 81\), puis \(\sigma(B) = \sqrt{81} = 9\).
\(V(B) = 81\) et \(\sigma(B) = 9\) €. - Le nouveau bénéfice s’écrit \(B_2 = 3X – 8\). Or la constante ajoutée ne modifie pas la variance, car elle décale toutes les valeurs de la même quantité.
Ainsi \(V(B_2) = 3^2 \times 9 = 81\), donc \(\sigma(B_2) = 9\).
L’écart type ne change pas : il reste égal à 9 €, alors que l’espérance baisse à 28 €.
Piège classique : écrire \(V(B) = 3 \times 9 – 5 = 22\). Pourtant, le coefficient 3 passe au carré et la constante disparaît dans la variance.
Exercice 3 – La mise de la kermesse (5 points)
- L’urne contient 10 boules, donc \(P(\text{rouge}) = 0{,}1\), \(P(\text{verte}) = 0{,}3\) et \(P(\text{blanche}) = 0{,}6\).
Avec une mise de 4 €, on retire 4 à chaque somme reçue.
Les gains possibles sont donc \(16\), \(1\) et \(-4\).
Loi de \(G\) : \(P(G = 16) = 0{,}1\), \(P(G = 1) = 0{,}3\), \(P(G = -4) = 0{,}6\).
Puis \(E(G) = 16 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}3 + (-4) \times 0{,}6\).
Donc \(E(G) = 1{,}6 + 0{,}3 – 2{,}4 = -0{,}5\).
\(E(G) = -0{,}5\) : le jeu est défavorable au joueur, qui perd en moyenne 0,50 € par partie. - Pour une mise \(m\), les gains valent \(20 – m\), \(5 – m\) et \(-m\).
\(E(G) = 0{,}1(20 – m) + 0{,}3(5 – m) + 0{,}6 \times (-m)\).
\(E(G) = 2 + 1{,}5 – (0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}6)m = 3{,}5 – m\).
Le jeu est équitable lorsque \(E(G) = 0\), c’est-à-dire \(3{,}5 – m = 0\), donc \(m = 3{,}5\).
La mise équitable est de 3,50 €. - On note \(S\) la somme reçue ; alors \(G = S – 3{,}5\), donc \(V(G) = V(S)\).
\(E(S) = 20 \times 0{,}1 + 5 \times 0{,}3 + 0 = 3{,}5\).
\(E(S^2) = 400 \times 0{,}1 + 25 \times 0{,}3 + 0 = 40 + 7{,}5 = 47{,}5\).
\(V(S) = 47{,}5 – 3{,}5^2 = 47{,}5 – 12{,}25 = 35{,}25\).
Enfin \(\sigma(G) = \sqrt{35{,}25} \approx 5{,}937\).
\(V(G) = 35{,}25\) et \(\sigma(G) \approx 5{,}94\) €. - Salomé gagne ce que le joueur perd. Elle veut donc \(E(G) = -0{,}5\), soit \(3{,}5 – m = -0{,}5\), d’où \(m = 4\).
Sur 200 parties, elle peut alors espérer \(200 \times 0{,}5 = 100\) €.
Elle doit fixer la mise à 4 €, ce qui lui rapporte en moyenne 100 € pour 200 parties.
Piège classique : oublier de retirer la mise aux sommes reçues. De ce fait, on trouve \(E = 3{,}5\) et l’on conclut à tort que le jeu est toujours favorable.
Exercice 4 – Deux stratégies, une même espérance (4 points)
- Les diagrammes donnent \(P(A = 0) = 0{,}25\), \(P(A = 2) = 0{,}5\), \(P(A = 4) = 0{,}25\).
De même, \(P(B = -4) = 0{,}3\), \(P(B = 2) = 0{,}4\), \(P(B = 8) = 0{,}3\).
\(E(A) = 0 \times 0{,}25 + 2 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}25 = 2\).
\(E(B) = -4 \times 0{,}3 + 2 \times 0{,}4 + 8 \times 0{,}3 = 2\).
Donc \(E(A) = E(B) = 2\) points. - \(E(A^2) = 0 + 4 \times 0{,}5 + 16 \times 0{,}25 = 6\).
Alors \(V(A) = 6 – 2^2 = 2\) et \(\sigma(A) = \sqrt{2} \approx 1{,}41\).
\(E(B^2) = 16 \times 0{,}3 + 4 \times 0{,}4 + 64 \times 0{,}3 = 25{,}6\).
Ainsi \(V(B) = 25{,}6 – 4 = 21{,}6\) et \(\sigma(B) = \sqrt{21{,}6} \approx 4{,}65\).
\(V(A) = 2\), \(\sigma(A) \approx 1{,}41\) ; \(V(B) = 21{,}6\), \(\sigma(B) \approx 4{,}65\). - Les deux stratégies rapportent en moyenne 2 points. Cependant, \(\sigma(B)\) est plus de trois fois plus grand que \(\sigma(A)\) : les gains de B sont beaucoup plus dispersés.
De plus, \(P(B < 0) = P(B = -4) = 0{,}3\), tandis que \(P(A < 0) = 0\).
Il faut conseiller la stratégie A : elle est moins risquée et ne fait jamais perdre de points.
Exercice 5 – Simuler une partie de dé (4 points)
- Le dé est équilibré, donc chaque face a une probabilité de \(\frac{1}{6}\).
Seule la face 6 rapporte 12 points. Les faces 4 et 5 rapportent 3 points, puis les trois autres font perdre 4 points.
Loi : \(P(X = 12) = \frac{1}{6}\), \(P(X = 3) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) et \(P(X = -4) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). - \(E(X) = 12 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{2}{6} + (-4) \times \frac{3}{6}\).
Donc \(E(X) = \frac{12 + 6 – 12}{6} = 1\).
Ensuite, \(E(X^2) = \frac{144 + 2 \times 9 + 3 \times 16}{6} = \frac{210}{6} = 35\).
Donc \(V(X) = 35 – 1^2 = 34\) et \(\sigma(X) = \sqrt{34} \approx 5{,}83\).
\(E(X) = 1\), \(V(X) = 34\) et \(\sigma(X) \approx 5{,}83\). - Le cas du 6 est déjà traité à la ligne 5. Ensuite, la condition
de >= 4retient donc exactement les faces 4 et 5. Sinon, Inès perd 4 points. Enfin, la ligne 15 ajoute à la somme les points d’une nouvelle partie.
Ligne 7 :
elif de >= 4:. Ligne 10 :return -4. Ligne 15 :s = s + partie(). - D’après la loi des grands nombres, la moyenne des gains sur un grand nombre de parties se rapproche de l’espérance. Le résultat de
moyenne(10000)devrait donc être proche de 1.
Piège classique : écrire s = partie() à la ligne 15. Dans ce cas, la somme est écrasée à chaque tour. La fonction renvoie alors le dernier gain divisé par \(n\).
À retenir de ce contrôle
- La variance se calcule par la définition ou par la formule de König-Huygens : V(X) = E(X²) − E(X)².
- Pour tous réels a et b, E(aX + b) = aE(X) + b, alors que V(aX + b) = a²V(X) et σ(aX + b) = |a|σ(X).
- Un jeu est équitable lorsque l’espérance du gain net du joueur est nulle ; une espérance négative avantage l’organisateur.
- Deux variables de même espérance peuvent présenter des risques très différents : l’écart type mesure cette dispersion autour de la moyenne.
- Quand on simule un grand nombre de parties, la moyenne des gains obtenus se rapproche de l’espérance de la variable aléatoire.
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