Module, argument et racines n-ièmes en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

---

---

Pour démarrer

Exercice 1 – Forme algébrique et module d’un quotient

1. Écrire \(z=\dfrac{5+i}{1-2i}\) sous forme algébrique.
2. Ensuite, calculer le module de \(Z=\dfrac{(3-4i)^3(2+i)}{(1-3i)^2}\) sans développer.
3. Enfin, montrer que \(w=\dfrac{2+i}{1-2i}\) vaut \(i\), puis en déduire \(w^{2026}\).

Exercice 2 – Formes trigonométriques et puissances

On pose \(z_1=-\sqrt{6}+i\sqrt{2}\) et \(z_2=(1-i)^7\).

1. Déterminer le module et un argument de \(z_1\).
2. De même, écrire \(1-i\) sous forme trigonométrique, puis \(z_2\) sous forme algébrique.
3. Enfin, calculer \(z_1^6\) et donner la forme trigonométrique de \(\dfrac{z_1}{z_2}\).

Exercice 3 – Racines carrées puis trinôme complexe

1. Déterminer les racines carrées de \(-45+28i\) sous forme algébrique.
2. Ensuite, résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^2-(1+2i)z+1+7i=0\).
3. Enfin, vérifier les résultats à l’aide de la somme et du produit des solutions.

Exercice 4 – Linéariser pour intégrer

1. Linéariser \(g(t)=\cos^2t\,\sin^4t\) à l’aide des formules d’Euler.
2. Par exemple, contrôler le résultat en \(t=0\) et en \(t=\frac{\pi}{4}\).
3. En déduire la valeur de \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2t\,\sin^4t\,\mathrm{d}t\).

Exercice 5 – Angle moitié et quotient imaginaire pur

Soit \(t\in\,]0,2\pi[\).

1. Déterminer le module et un argument de \(1-e^{it}\).
2. Ensuite, montrer que \(\dfrac{1+e^{it}}{1-e^{it}}\) est imaginaire pur et le calculer.
3. Enfin, on suppose ici \(t\in\,]\pi,2\pi[\). Déterminer le module et un argument de \(1+e^{it}\).

Exercice 6 – Racines sixièmes de -64

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(z^6=-64\). Donner les solutions sous forme algébrique.
2. Ensuite, calculer la somme et le produit de ces six solutions.
3. Enfin, décrire la figure formée par les points images des solutions.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Sinus de 5t et valeur exacte de sin(π/5)

1. À l’aide de la formule de Moivre, exprimer \(\sin(5t)\) comme un polynôme en \(\sin t\).
2. Ensuite, en déduire que \(s=\sin\frac{\pi}{5}\) vérifie \(16s^4-20s^2+5=0\).
3. Montrer que \(\sin\frac{\pi}{5}=\sqrt{\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}}\). On justifiera le choix de la racine.

Exercice 8 – Somme des carrés de cosinus

Pour \(n\in\mathbb{N}^*\) et \(t\in\mathbb{R}\), on pose \(C_n(t)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\cos^2(kt)\).

1. Calculer \(C_n(t)\) lorsque \(t\in\pi\mathbb{Z}\).
2. Pour \(t\notin\pi\mathbb{Z}\), montrer que \(C_n(t)=\dfrac{n}{2}+\dfrac{\cos\big((n-1)t\big)\sin(nt)}{2\sin t}\).
3. Par exemple, vérifier la formule pour \(n=2\).

Exercice 9 – Somme binomiale de sinus

Soit \(n\in\mathbb{N}\) et \(t\in\mathbb{R}\). On pose \(S_n(t)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\sin(kt)\).

1. Montrer que \(S_n(t)\) est la partie imaginaire de \((1+e^{it})^n\).
2. Ainsi, en déduire que \(S_n(t)=2^n\cos^n\!\left(\frac{t}{2}\right)\sin\!\left(\frac{nt}{2}\right)\).
3. Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\sin\frac{2k\pi}{3}\) en fonction de \(n\).

Exercice 10 – Cas d’égalité de l’inégalité triangulaire

1. Déterminer l’ensemble des complexes \(z\) tels que \(|z|+|z-4+3i|=5\).
2. Ensuite, soit \(z\in\mathbb{U}\). Montrer que \(|1+z|+|1-z|\geqslant 2\) et trouver les cas d’égalité.
3. Enfin, pour \(z\in\mathbb{U}\), calculer \(|1+z|^2+|1-z|^2\). En déduire que \(|1+z|+|1-z|\leqslant 2\sqrt{2}\), et préciser les cas d’égalité.

Exercice 11 – Équation bicarrée à coefficients complexes

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(Z^2-(8+4i)Z+12-16i=0\).
2. Par conséquent, en déduire les solutions de \(z^4-(8+4i)z^2+12-16i=0\).

Exercice 12 – Une équation de degré 4 par les racines quatrièmes

On considère l’équation \((E)\ :\ (z-1)^4=16z^4\), d’inconnue \(z\in\mathbb{C}\).

1. Vérifier que 0 n’est pas solution, puis ramener \((E)\) à une équation \(u^4=1\).
2. Ensuite, résoudre \((E)\) et donner les solutions sous forme algébrique.
3. Enfin, calculer la somme des solutions et la comparer au coefficient de \(z^3\) dans le polynôme \((z-1)^4-16z^4\).

Exercice 13 – Une somme de racines septièmes

Soit \(\omega=e^{2i\pi/7}\). On pose \(S=\omega+\omega^2+\omega^4\) et \(T=\omega^3+\omega^5+\omega^6\).

1. Calculer \(S+T\).
2. Ensuite, développer le produit \(ST\) et montrer qu’il vaut 2.
3. Enfin, montrer que \(\mathrm{Im}(S)>0\), puis déterminer \(S\) et \(T\).

Exercice 14 – Équations avec l’exponentielle complexe

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \(e^{z}=1-i\sqrt{3}\).
2. De même, résoudre l’équation \(e^{2z}+(1-2i)e^{z}-2i=0\).
3. Enfin, soit \(a\) et \(b\) deux réels. Déterminer l’image par \(z\mapsto e^{z}\) de la droite d’équation \(\mathrm{Re}(z)=a\), puis celle de la droite d’équation \(\mathrm{Im}(z)=b\).

Exercice 15 – Alignement de i, z et iz

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. À tout complexe \(z\), on associe les points \(A(i)\), \(M(z)\) et \(M^{\prime}(iz)\).

1. Pour \(z\neq i\), écrire \(z=x+iy\) et calculer \(i(z-1)\,\overline{(z-i)}\) en fonction de \(x\) et \(y\).
2. En déduire l’ensemble \(\Gamma\) des points \(M\) tels que \(A\), \(M\) et \(M^{\prime}\) soient alignés.
3. Enfin, donner le centre et le rayon de \(\Gamma\) lorsqu’il s’agit d’un cercle.

Exercice 16 – Similitude définie par deux points

On considère les points \(A(2)\), \(B(1+i)\), \(A^{\prime}(1-2i)\) et \(B^{\prime}(1-4i)\), représentés ci-dessous.

1. Déterminer l’écriture complexe \(z\mapsto az+b\) de la similitude directe \(f\) telle que \(f(A)=A^{\prime}\) et \(f(B)=B^{\prime}\).
2. Ensuite, préciser le centre, le rapport et l’angle de \(f\).
3. Enfin, trouver l’image par \(f\) du cercle de centre \(O\) et de rayon 1.

Exercice 17 – Orthocentre d’un triangle inscrit dans le cercle unité

Soit \(a\), \(b\), \(c\) trois éléments distincts de \(\mathbb{U}\), affixes des points \(A\), \(B\), \(C\). On note \(H\) le point d’affixe \(h=a+b+c\).

1. Montrer que \(\dfrac{h-a}{c-b}\) est imaginaire pur, en utilisant \(\overline{a}=\frac{1}{a}\).
2. En déduire que \(H\) est l’orthocentre du triangle \(ABC\).
3. Enfin, soit \(G\) le centre de gravité de \(ABC\). Montrer que \(O\), \(G\) et \(H\) sont alignés.

Pour approfondir

Exercice 18 – Inégalité triangulaire pour n termes

Soit \(n\geqslant 2\) et \(z_1,\dots,z_n\) des complexes.

1. Montrer par récurrence que \(\left|\sum_{k=1}^{n}z_k\right|\leqslant\sum_{k=1}^{n}|z_k|\).
2. Ensuite, on suppose \(S=\sum z_k\neq 0\) et l’on pose \(u=S/|S|\). Montrer que l’égalité a lieu si et seulement si \(z_k=|z_k|\,u\) pour tout \(k\).
3. Par conséquent, déterminer les triplets \((z_1,z_2,z_3)\in\mathbb{U}^3\) tels que \(z_1+z_2+z_3=3\).
4. Enfin, trouver les \(z\in\mathbb{U}\) tels que \(|1+z+z^2|=3\).

Exercice 19 – Problème : distances entre les sommets d’un polygone régulier

Soit \(n\geqslant 2\) et \(\omega=e^{2i\pi/n}\). Les points \(P_k\) d’affixes \(\omega^k\), pour \(0\leqslant k\leqslant n-1\), forment un polygone régulier. La figure montre le cas \(n=7\) avec les segments issus de \(P_0\).

1. Montrer que \(|1-\omega^k|=2\sin\frac{k\pi}{n}\) pour \(0\leqslant k\leqslant n-1\).
2. Ensuite, on pose \(D_n=\sum_{k=0}^{n-1}|1-\omega^k|\). Montrer que \(D_n=\dfrac{2}{\tan\frac{\pi}{2n}}\).
3. Par exemple, vérifier ce résultat pour \(n=4\).
4. De plus, montrer que, pour tout \(j\), on a aussi \(\sum_{k=0}^{n-1}|\omega^j-\omega^k|=D_n\). En déduire la somme des distances \(P_jP_k\) sur toutes les paires \(\{j,k\}\).
5. Enfin, déterminer la limite de \(\dfrac{D_n}{n}\) quand \(n\) tend vers l’infini et l’interpréter.

Exercice 20 – Problème : triangles équilatéraux et nombre j

On note \(j=e^{2i\pi/3}\). Un triangle \(ABC\) est dit équilatéral direct si \(c-a=e^{i\pi/3}(b-a)\).

1. Montrer que \(j^3=1\), \(1+j+j^2=0\), \(\overline{j}=j^2\) et \(-j^2=e^{i\pi/3}\).
2. Ensuite, montrer que \(ABC\) est équilatéral direct si et seulement si \(a+jb+j^2c=0\).
3. Par exemple, on donne \(A(1)\) et \(B(3+2i)\). Déterminer l’affixe de \(C\) tel que \(ABC\) soit équilatéral direct.
4. Enfin, déterminer les complexes \(z\) tels que les points d’affixes \(1\), \(z\), \(z^2\) forment un triangle équilatéral direct non réduit à un point.

Pour aller plus loin

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «module, argument et racines n-ièmes en maths sup (MPSI) : exercices corrigés» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

---

OK

 Maths PDF c'est 16 225 287 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.