QCM : Anneaux principaux et factoriels en L3 de maths

Réponse D.

La somme de deux idéaux de \(\mathbb{Z}\) est engendrée par le pgcd des générateurs. En effet, Bézout donne \(2=6-4\), donc \(2\) appartient à la somme, et tout élément \(4a+6b\) est pair. La réponse \(12\mathbb{Z}\) est l’intersection des deux idéaux, qui correspond au ppcm. Le produit \(24\mathbb{Z}\) est l’idéal produit. Enfin, additionner les générateurs n’a pas de sens.

Réponse B.

Le quotient \(\mathbb{Z}[X]/(X)\) est isomorphe à \(\mathbb{Z}\) : il est intègre mais n’est pas un corps. Donc \((X)\) est premier et non maximal. En revanche, \(\mathbb{Z}[X]/(2,X)\) est isomorphe au corps \(\mathbb{F}_2\), donc \((2,X)\) est maximal. Enfin, \((X^2)\) et \((4)\) ne sont pas premiers, car \(X\cdot X\) et \(2\cdot 2\) y appartiennent sans que leurs facteurs y soient.

Réponse D.

Comme \(\sqrt{2}\) est irrationnel et que \(X^2-2\) est de degré 2, ce polynôme est irréductible sur \(\mathbb{Q}\). Par conséquent, l’idéal qu’il engendre est maximal dans l’anneau principal \(\mathbb{Q}[X]\), et le quotient est un corps. L’évaluation en \(\sqrt{2}\) fournit l’isomorphisme. Le piège de l’anneau produit \(\mathbb{Q}^2\) correspond à \(X^2-1\), qui se factorise.

Réponse C.

Le corps des fractions est le plus petit corps contenant l’anneau. Or tout quotient \(\frac{a+ib}{c+id}\) s’écrit \(x+iy\) avec \(x\) et \(y\) rationnels, en multipliant par le conjugué. Ainsi on obtient \(\mathbb{Q}(i)\). Le corps \(\mathbb{C}\) contient bien \(\mathbb{Z}[i]\), mais il est beaucoup trop gros : c’est le piège de la question. De plus, \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\) ne contiennent pas \(i\).

Réponse C.

La norme \(N(a+ib)=a^2+b^2\) est multiplicative. Donc un inversible \(u\) vérifie \(N(u)N(u^{-1})=1\), puis \(N(u)=1\). Ainsi \(a^2+b^2=1\), d’où \(u\in\{1,-1,i,-i\}\). La réponse 2 oublie \(\pm i\), comme si l’on restait dans \(\mathbb{Z}\). Le piège « une infinité » vient de \(\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\), où \(1+\sqrt{2}\) est inversible d’ordre infini.

Réponse A.

Écrivons l’idéal \((p)\) avec \(p\) non nul. Si \((p)\subset(a)\), alors \(p=ab\), et la primalité impose que \(p\) divise \(a\) ou \(b\). On obtient donc \((a)=(p)\) ou \((a)=A\). Cette propriété tombe hors du cadre principal : dans \(\mathbb{Z}[X]\), l’idéal \((X)\) est premier sans être maximal. Par ailleurs, un idéal premier est propre par définition, ce qui exclut les deux derniers pièges.

Réponse D.

Comme \(\mathbb{Z}\) est factoriel, le théorème de transfert de Gauss montre que \(\mathbb{Z}[X]\) l’est aussi. Cependant, l’idéal \((2,X)\) n’est pas principal : un générateur devrait diviser 2 et \(X\), donc valoir \(\pm1\), alors que le quotient par cet idéal est \(\mathbb{F}_2\). Les anneaux \(\mathbb{Q}[X]\) et \(\mathbb{Z}\) sont euclidiens, donc principaux. Enfin, \(\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]\) n’est même pas factoriel.

Réponse A.

Si \(2=xy\) avec \(x\) et \(y\) non inversibles, alors \(N(x)N(y)=4\) avec \(N(x)=N(y)=2\). Or l’équation \(a^2+5b^2=2\) n’a pas de solution entière. Cependant, 2 n’est pas premier dans cet anneau : il divise \(6=(1+i\sqrt{5})(1-i\sqrt{5})\) sans diviser aucun des deux facteurs. Par conséquent, l’anneau n’est pas factoriel. Le piège consiste à croire qu’un premier de \(\mathbb{Z}\) le reste partout.

Réponse B.

Dans \(\mathbb{Z}[X]\), les inversibles sont seulement \(\pm1\). Ainsi la constante 2 est un vrai facteur, et \(2X+4\) se décompose. Le lemme de Gauss ne transfère l’irréductibilité de \(\mathbb{Q}[X]\) à \(\mathbb{Z}[X]\) que pour un polynôme primitif, or 2 divise ici tous les coefficients. Quant à la racine \(-2\), elle ne prouve rien : \(X+2\) a aussi cette racine et reste irréductible.

Réponse A.

Avec \(p=5\), 5 ne divise pas le coefficient dominant mais divise tous les autres, et le terme constant 5 n’est pas divisible par 25. Le critère s’applique donc. En revanche, pour \(X^4+10X+25\), le terme constant est divisible par 25. De même, \(X^3+4X+8\) échoue en 2, car 4 divise 8. Enfin, 5 et 7 n’ont aucun facteur premier commun.

Réponse B.

Un premier impair \(p\) se décompose dans \(\mathbb{Z}[i]\) si et seulement s’il est somme de deux carrés, donc si et seulement si \(p\equiv1\pmod 4\). Ainsi \(5=(2+i)(2-i)\) et \(13=(3+2i)(3-2i)\). Par ailleurs, \(2=-i(1+i)^2\) se décompose aussi. En revanche, \(7\equiv3\pmod 4\) n’est pas somme de deux carrés ; aucun élément n’a donc une norme égale à 7.

Réponse C.

On développe \((X+1)^4+1=X^4+4X^3+6X^2+4X+2\). Les coefficients non dominants sont pairs et 2 n’est pas divisible par 4 : Eisenstein s’applique. Or une factorisation de \(P(X)\) en donnerait une de \(P(X+1)\). L’absence de racine ne suffit pas en degré 4, car deux facteurs de degré 2 restent possibles. Enfin, modulo 2, on obtient \((X+1)^4\), qui ne conclut rien.