QCM : Polynômes annulateurs en L2 de maths

Réponse D.

La relation s’écrit \(u^2-3u=0\), donc \(P=X^2-3X\) vérifie \(P(u)=0\). En revanche, \(X-3\) n’annule \(u\) que si \(u=3\,\mathrm{id}_E\), ce qui n’est pas imposé : par exemple \(u=0\) convient aussi. Le piège du signe donne \(X^2+3X\), et confondre \(3u\) avec \(3\,\mathrm{id}_E\) donne \(X^2-3\).

Réponse A.

L’application \(P\mapsto P(u)\) est un morphisme d’algèbres, donc \(P(u)\circ Q(u)=(PQ)(u)=(QP)(u)\). Ainsi, deux polynômes en \(u\) commutent toujours. Cependant, \(P(u)\) ne commute pas avec n’importe quel endomorphisme. Le produit correspond à \(PQ\) et non à la composée \(P\circ Q\). Enfin, l’inclusion des noyaux est vraie sans condition, puisque \(PQ\) est multiple de \(P\).

Réponse D.

Le polynôme caractéristique vaut \((X-2)^2\) et le minimal le divise. Or \(A-2I_2\) est non nulle, donc \(X-2\) n’annule pas \(A\). Par conséquent, le polynôme minimal est \((X-2)^2\). Le piège \(X-2\) vient d’une lecture trop rapide de la diagonale ; \(X^2-4\) ajoute une racine \(-2\) qui n’est pas valeur propre ; \((X-2)^3\) annule \(A\) mais n’est pas de degré minimal.

Réponse C.

En taille 2, on a \(\chi_A=X^2-\operatorname{tr}(A)X+\det(A)=X^2-5X+6\). Le théorème affirme \(\chi_A(A)=0\), donc \(A^2-5A+6I_2=0\), c’est-à-dire \(A^2=5A-6I_2\). Les trois pièges correspondent à des erreurs de signe en faisant passer les termes de l’autre côté, ou à l’inversion des rôles de la trace et du déterminant.

Réponse B.

Le polynôme \(X^3-X=X(X-1)(X+1)\) annule \(u\) ; il est scindé sur \(\mathbb{R}\) à racines simples. Ainsi, \(u\) est diagonalisable, et ses valeurs propres sont parmi \(-1\), \(0\) et \(1\). Le critère n’exige pas que ce soit le polynôme minimal : il suffit d’un annulateur scindé à racines simples, puisque le minimal le divise. L’inversibilité n’intervient pas, car \(0\) peut être valeur propre.

Réponse C.

Le polynôme \(X^2+1\) annule \(A\). Sur \(\mathbb{C}\), il vaut \((X-i)(X+i)\) : il est scindé à racines simples, donc \(A\) est diagonalisable dans \(\mathrm{M}_2(\mathbb{C})\). En revanche, toute valeur propre vérifie \(\lambda^2=-1\), si bien qu’aucune n’est réelle. Le piège principal oublie le corps de base. Par ailleurs, \(\pm I_2\) ont un carré égal à \(I_2\) et non à \(-I_2\).

Réponse C.

On factorise \(X^2-5X+6=(X-2)(X-3)\), avec deux facteurs premiers entre eux. Le lemme des noyaux donne donc une décomposition de \(\ker P(u)\) en somme directe des deux noyaux, et ici \(\ker P(u)=E\). La somme est directe précisément grâce à la coprimalité. Le piège des signes donne les racines \(-2\) et \(-3\). Enfin, l’intersection des deux noyaux est réduite à \(\{0\}\), ce qui exclut la réponse en intersection.

Réponse B.

Le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur. Par conséquent, il fait partie des diviseurs unitaires de \((X-1)^2(X+3)\). Les polynômes \(X+3\), \((X-1)(X+3)\) et \((X-1)^2\) en sont, et chacun est atteint par un exemple simple, comme \(u=-3\,\mathrm{id}\). En revanche, \((X-1)^3\) ne divise pas l’annulateur. Le piège consiste à croire que le degré 3 suffit, puisqu’il reste inférieur à 4.

Réponse D.

Si \(N^p=0\), le polynôme \(X^p\) annule \(N\) ; donc le minimal est une puissance \(X^k\) qui divise \(\chi_N=X^5\). Ainsi, \(k\leqslant 5\) et \(N^5=0\). Cependant, l’indice peut valoir 5 : le bloc de Jordan nilpotent de taille 5 a un carré non nul et un rang égal à 4. De plus, une nilpotente diagonalisable est nulle, ce qui exclut la réponse « diagonalisable ».

Réponse A.

Le lemme des noyaux, appliqué au polynôme caractéristique grâce à Cayley-Hamilton, donne \(E=\ker(u-2\,\mathrm{id})^3\oplus\ker(u+\mathrm{id})^2\). De plus, la dimension de chaque sous-espace caractéristique égale la multiplicité de la valeur propre, donc 3 ici. Le piège 1 confond avec la dimension minimale du sous-espace propre. La réponse 2 prend la mauvaise multiplicité, et 5 donne la dimension totale.

Réponse B.

Le polynôme caractéristique est scindé sur \(\mathbb{R}\), donc \(A\) est trigonalisable dans \(\mathrm{M}_3(\mathbb{R})\). Par le théorème du rang, le sous-espace propre associé à 1 est de dimension \(3-2=1\), alors que la multiplicité vaut 2. Ainsi, \(A\) n’est pas diagonalisable, ni sur \(\mathbb{R}\) ni sur \(\mathbb{C}\), car le rang ne dépend pas du corps. Le piège classique confond multiplicité et dimension.

Réponse A.

Le théorème donne \(A^3-2A^2+A-3I_3=0\), donc \(A(A^2-2A+I_3)=3I_3\). Le coefficient constant étant non nul, \(A\) est inversible, et on divise par 3 pour obtenir \(A^{-1}=\frac{1}{3}(A^2-2A+I_3)\). Le facteur \(-\frac{1}{3}\) vient d’une erreur de signe lors du passage du terme constant. La réponse \(\frac{1}{3}(A^2+2A-I_3)\) change les signes de la factorisation, et le facteur \(3\) multiplie au lieu de diviser.