Projecteurs, symétries et hyperplans en maths sup (MPSI) : cours et méthodes

Soit \(E=F\oplus G\). La projection sur \(F\) parallèlement à \(G\) est l’application \(p:E\to E\) qui à \(x=x_F+x_G\) associe \(p(x)=x_F\). On dit aussi que \(p\) est le projecteur sur \(F\) de direction \(G\).

Soit \(p\in\mathcal{L}(E)\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(p\) est une projection (sur un certain \(F\) parallèlement à un certain \(G\)) ;
2. \(p\circ p=p\).

Dans ce cas, \(E=\mathrm{Ker}\,p\oplus\mathrm{Im}\,p\), \(p\) projette sur \(\mathrm{Im}\,p\) parallèlement à \(\mathrm{Ker}\,p\), et \(\mathrm{Im}\,p=\mathrm{Ker}(p-\mathrm{id}_E)\).

Le sens direct a été vu plus haut. Supposons donc \(p\circ p=p\).

Montrons d’abord \(\mathrm{Im}\,p=\mathrm{Ker}(p-\mathrm{id}_E)\). Si \(y=p(a)\), alors \(p(y)=p(p(a))=p(a)=y\). Réciproquement, si \(p(y)=y\), alors \(y\) est l’image de \(y\) lui-même.

Prenons ensuite \(x\in E\) et écrivons \(x=p(x)+\big(x-p(x)\big)\). Le premier terme est dans \(\mathrm{Im}\,p\). Par ailleurs, \(p\big(x-p(x)\big)=p(x)-p(x)=0\), donc le second est dans \(\mathrm{Ker}\,p\). Ainsi, \(E=\mathrm{Ker}\,p+\mathrm{Im}\,p\).

Enfin, si \(y\in\mathrm{Ker}\,p\cap\mathrm{Im}\,p\), on a \(y=p(y)=0\). La somme est donc directe. Par conséquent, la décomposition de \(x\) selon \(\mathrm{Im}\,p\oplus\mathrm{Ker}\,p\) est exactement \(p(x)+(x-p(x))\), ce qui prouve que \(p\) est la projection annoncée.

1. Vérifier que l’application est linéaire, puis calculer \(p\circ p\) (ou \(A^2\) si l’on dispose d’une matrice).
2. Si \(p\circ p=p\), chercher l’image en résolvant \(p(x)=x\) : c’est souvent plus rapide que de calculer \(\mathrm{Im}\,p\) directement.
3. Chercher le noyau en résolvant \(p(x)=0\).
4. Conclure par une phrase complète : « \(p\) est la projection sur … parallèlement à … ».

Considérons l’endomorphisme \(u\) de \(\mathbb{R}^2\) de matrice \(M=\begin{pmatrix}3&-6\\1&-2\end{pmatrix}\) dans la base canonique.

D’abord, \(M^2=\begin{pmatrix}9-6&-18+12\\3-2&-6+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-6\\1&-2\end{pmatrix}=M\). Donc \(u\) est un projecteur.

Ensuite, \(u(x,y)=(x,y)\) équivaut à \(2x-6y=0\) et \(x-3y=0\), c’est-à-dire \(x=3y\). L’image est la droite dirigée par \((3,1)\).

De même, \(u(x,y)=0\) équivaut à \(x=2y\). Le noyau est la droite dirigée par \((2,1)\). Finalement, \(u\) est la projection sur \(\mathbb{R}(3,1)\) parallèlement à \(\mathbb{R}(2,1)\).

Soit \(E=F\oplus G\). La symétrie par rapport à \(F\) parallèlement à \(G\) est l’application \(s:E\to E\) définie par \(s(x_F+x_G)=x_F-x_G\).

Pour un endomorphisme \(s\) de \(E\), être une symétrie revient exactement à vérifier \(s\circ s=\mathrm{id}_E\). Lorsque c’est le cas,

\[E=\mathrm{Ker}(s-\mathrm{id}_E)\oplus\mathrm{Ker}(s+\mathrm{id}_E),\]

et \(s\) est la symétrie par rapport à \(\mathrm{Ker}(s-\mathrm{id}_E)\) parallèlement à \(\mathrm{Ker}(s+\mathrm{id}_E)\).

Si \(s\) est une symétrie, on a \(s(s(x_F+x_G))=s(x_F-x_G)=x_F+x_G\). Réciproquement, supposons \(s\circ s=\mathrm{id}_E\) et posons \(p=\frac{1}{2}(s+\mathrm{id}_E)\).

Un calcul direct donne \(p\circ p=\frac{1}{4}(s\circ s+2s+\mathrm{id}_E)=\frac{1}{4}(2s+2\,\mathrm{id}_E)=p\). Ainsi, \(p\) est un projecteur, et \(s=2p-\mathrm{id}_E\) est la symétrie par rapport à \(\mathrm{Im}\,p\) parallèlement à \(\mathrm{Ker}\,p\).

Il reste à identifier ces espaces. D’une part, \(p(x)=x\) équivaut à \(s(x)=x\), donc \(\mathrm{Im}\,p=\mathrm{Ker}(s-\mathrm{id}_E)\). D’autre part, \(p(x)=0\) équivaut à \(s(x)=-x\), donc \(\mathrm{Ker}\,p=\mathrm{Ker}(s+\mathrm{id}_E)\).

1. Décomposer un vecteur quelconque \(x\) sous la forme \(x_F+x_G\), en résolvant un petit système.
2. Écrire \(s(x)=x_F-x_G\), ou bien \(s(x)=x-2x_G\), ce qui demande souvent moins de calcul.
3. Contrôler le résultat : un vecteur de \(F\) doit être fixe, un vecteur de \(G\) doit être changé en son opposé.

Dans \(\mathbb{R}^2\), cherchons la symétrie \(s\) par rapport à \(D=\mathbb{R}(1,1)\) parallèlement à \(D^{\prime}=\mathbb{R}(1,-2)\).

D’abord, écrivons \((x,y)=\alpha(1,1)+\beta(1,-2)\). On obtient \(x=\alpha+\beta\) et \(y=\alpha-2\beta\), d’où \(\beta=\frac{x-y}{3}\).

Ensuite, \(s(x,y)=(x,y)-2\beta(1,-2)\). En développant, on trouve

\[s(x,y)=\Big(\frac{x+2y}{3},\ \frac{4x-y}{3}\Big),\qquad\text{de matrice}\qquad S=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&2\\4&-1\end{pmatrix}.\]

Enfin, contrôlons : \(S\) envoie \((1,1)\) sur \((1,1)\) et \((1,-2)\) sur \((-1,2)\). De plus, \(S^2=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}9&0\\0&9\end{pmatrix}=I_2\), comme attendu.

On appelle forme linéaire toute application \(\varphi:E\to\mathbb{K}\) qui est linéaire, c’est-à-dire à valeurs scalaires. Muni des opérations usuelles, leur ensemble forme un espace vectoriel. On le note \(E^{*}\) : c’est le dual de \(E\).

Soit \(\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)\) une base de \(E\). Tout \(x\in E\) s’écrit \(x=x_1e_1+\dots+x_ne_n\). L’application \(e_i^{*}:x\mapsto x_i\) est une forme linéaire, appelée \(i\)-ème forme coordonnée relative à \(\mathcal{B}\). Elle est caractérisée par \(e_i^{*}(e_j)=1\) si \(i=j\) et \(0\) sinon.

Si \(\dim E=n\), toute forme linéaire s’écrit \(\varphi=\varphi(e_1)\,e_1^{*}+\dots+\varphi(e_n)\,e_n^{*}\). Ainsi, dans la base \(\mathcal{B}\), \(\varphi(x)=a_1x_1+\dots+a_nx_n\) avec \(a_i=\varphi(e_i)\). La famille \((e_1^{*},\dots,e_n^{*})\) est une base de \(E^{*}\), donc \(\dim E^{*}=n\).

Dans \(\mathbb{R}^2\), prenons la base \(\mathcal{B}=(e_1,e_2)\) avec \(e_1=(1,2)\) et \(e_2=(1,3)\). Cherchons les formes coordonnées.

On écrit \((x,y)=a\,e_1+b\,e_2\), soit \(x=a+b\) et \(y=2a+3b\). La résolution donne \(a=3x-y\) et \(b=y-2x\). Donc \(e_1^{*}(x,y)=3x-y\) et \(e_2^{*}(x,y)=-2x+y\).

Vérifions : \(e_1^{*}(1,2)=1\), \(e_1^{*}(1,3)=0\), \(e_2^{*}(1,2)=0\) et \(e_2^{*}(1,3)=1\). Le résultat est cohérent.

On dit que le sous-espace \(H\) est un hyperplan de \(E\) lorsqu’on peut trouver un vecteur non nul \(a\) vérifiant \(E=H\oplus\mathbb{K}a\). En somme, il manque à \(H\) « une seule direction » pour remplir \(E\).

Un sous-espace \(H\) de \(E\) est un hyperplan si et seulement si c’est le noyau d’une forme linéaire non nulle. De plus, pour \(\varphi\) et \(\psi\) non nulles, l’égalité \(\mathrm{Ker}\,\varphi=\mathrm{Ker}\,\psi\) a lieu exactement quand il existe un scalaire \(\lambda\neq 0\) vérifiant \(\psi=\lambda\varphi\).

Soit \(\varphi\neq 0\) et \(H=\mathrm{Ker}\,\varphi\). Choisissons \(a\) tel que \(\varphi(a)\neq 0\). Pour \(x\in E\), posons \(\lambda=\frac{\varphi(x)}{\varphi(a)}\). Alors \(\varphi(x-\lambda a)=0\), donc \(x=(x-\lambda a)+\lambda a\in H+\mathbb{K}a\). De plus, si \(\mu a\in H\), alors \(\mu\varphi(a)=0\), donc \(\mu=0\). Ainsi, \(E=H\oplus\mathbb{K}a\).

Réciproquement, supposons \(E=H\oplus\mathbb{K}a\). Chaque \(x\) se décompose alors en \(h+\lambda a\), avec un unique coefficient \(\lambda\). Nous notons \(\varphi(x)\) ce coefficient. L’unicité rend \(\varphi\) linéaire. Par ailleurs, \(\varphi(a)=1\), et \(\varphi(x)=0\) signifie exactement \(x\in H\).

Enfin, supposons \(\mathrm{Ker}\,\varphi=\mathrm{Ker}\,\psi=H\), et reprenons \(a\) avec \(\varphi(a)\neq 0\). Posons \(\lambda=\frac{\psi(a)}{\varphi(a)}\). Alors \(\psi-\lambda\varphi\) s’annule sur \(H\) et en \(a\), donc sur \(H\oplus\mathbb{K}a=E\). Ainsi, \(\psi=\lambda\varphi\), et \(\lambda\neq 0\) puisque \(\psi\neq 0\).

Pour trouver une équation de \(H=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_{n-1})\), la famille étant libre :

1. Chercher des coefficients inconnus \(a_1,\dots,a_n\) tels que la forme \(\varphi=a_1x_1+\dots+a_nx_n\) s’annule sur chaque \(u_k\).
2. Résoudre ce système homogène de \(n-1\) équations : l’ensemble des solutions est une droite.
3. Choisir une solution non nulle, si possible à coefficients entiers.
4. Vérifier l’équation sur chacun des \(u_k\).

Dans \(\mathbb{R}^4\), soit \(H\) engendré par \(u_1=(1,1,0,0)\), \(u_2=(0,1,-1,0)\) et \(u_3=(0,0,1,2)\). Cette famille est libre : ses vecteurs sont échelonnés.

On cherche \((a,b,c,d)\) avec \(a+b=0\), \(b-c=0\) et \(c+2d=0\). On en tire \(b=-a\), puis \(c=-a\), puis \(d=\frac{a}{2}\).

Le choix \(a=2\) donne l’équation \(2x-2y-2z+t=0\). En effet, on vérifie \(2-2=0\), \(-2+2=0\) et \(-2+2=0\) sur \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).

La projection sur \(H\) parallèlement à \(\mathbb{K}w\) et la symétrie correspondante s’écrivent

\[p(x)=x-\frac{\varphi(x)}{\varphi(w)}\,w,\qquad s(x)=x-2\,\frac{\varphi(x)}{\varphi(w)}\,w.\]

Dans \(\mathbb{R}^3\), prenons \(H:x+2y-z=0\) et \(w=(2,1,1)\). Ici \(\varphi(w)=2+2-1=3\), donc la formule s’applique.

Pour \(x=(3,0,0)\), on a \(\varphi(x)=3\), donc \(p(x)=(3,0,0)-(2,1,1)=(1,-1,-1)\). On vérifie \(1-2+1=0\) : le projeté est bien dans \(H\).

De même, \(s(x)=(3,0,0)-2(2,1,1)=(-1,-2,-2)\). Le milieu de \(x\) et \(s(x)\) vaut \((1,-1,-1)=p(x)\), ce qui confirme le calcul.

Soit \(E\) de dimension \(n\) et \(\varphi_1,\dots,\varphi_m\) des formes linéaires sur \(E\). Alors

\[\dim\big(\mathrm{Ker}\,\varphi_1\cap\dots\cap\mathrm{Ker}\,\varphi_m\big)\geqslant n-m,\]

avec égalité si et seulement si la famille \((\varphi_1,\dots,\varphi_m)\) est libre dans \(E^{*}\).

Soit \(F\) un sous-espace de \(E\), avec \(\dim F=n-m\). On peut décrire \(F\) par \(m\) équations linéaires indépendantes, et jamais par moins. En termes géométriques, \(F\) s’obtient en coupant \(m\) hyperplans bien choisis.

Pour vérifier que deux équations sont indépendantes, il suffit de constater que leurs coefficients ne sont pas proportionnels. Pour trois équations ou plus, on échelonne la matrice des coefficients et l’on compte les pivots.

Une partie \(\mathcal{F}\) de \(E\) mérite le nom de sous-espace affine quand elle s’écrit \(\mathcal{F}=a+F=\{a+h\mid h\in F\}\), pour un point \(a\) de \(E\) et un sous-espace vectoriel \(F\). Ce \(F\) est appelé la direction de \(\mathcal{F}\) : on translate \(F\) par le vecteur \(a\).

Si \(\mathcal{F}=a+F\), alors \(F=\{y-x\mid x,y\in\mathcal{F}\}\). En particulier, la direction est unique. De plus, \(\mathcal{F}=b+F\) pour tout point \(b\) de \(\mathcal{F}\).

L’ensemble \(\mathcal{S}=\{x\in E\mid u(x)=b\}\) est :

• vide si \(b\notin\mathrm{Im}\,u\) ;
• égal à \(x_0+\mathrm{Ker}\,u\) si \(x_0\) est une solution particulière.

Dans le second cas, \(\mathcal{S}\) est un sous-espace affine de direction \(\mathrm{Ker}\,u\).

Le premier point est la définition de l’image. Pour le second, fixons \(x_0\) avec \(u(x_0)=b\). Par linéarité, \(u(x)=b\) équivaut à \(u(x)=u(x_0)\), donc à \(u(x-x_0)=0\). Autrement dit, \(x-x_0\in\mathrm{Ker}\,u\), c’est-à-dire \(x\in x_0+\mathrm{Ker}\,u\).

Cherchons les suites réelles telles que \(w_{n+1}=3w_n-4\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

D’abord, l’application \(u:(w_n)\mapsto(w_{n+1}-3w_n)\) est linéaire de \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) dans lui-même. L’équation s’écrit \(u(w)=(-4)_{n}\), la suite constante égale à \(-4\).

Ensuite, une solution particulière constante \(c\) vérifie \(c=3c-4\), donc \(c=2\). Par ailleurs, le noyau de \(u\) est formé des suites géométriques \((\lambda\,3^n)\).

Finalement, les solutions sont les suites \(w_n=2+\lambda\,3^n\), avec \(\lambda\in\mathbb{R}\). Elles forment une droite affine de \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\), de direction \(\mathbb{R}(3^n)_n\).

L’ensemble des solutions de \(x^2+y^2=1\) n’est pas un sous-espace affine de \(\mathbb{R}^2\). En effet, \((1,0)\) et \((-1,0)\) en font partie. S’il était affine, il contiendrait aussi le milieu \((0,0)\), ce qui est faux. Ce n’est pas surprenant, puisque l’équation n’est pas linéaire.

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