Changement de base et trace en maths sup (MPSI) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Un endomorphisme de R2[X] mêlant dérivée et translation

On définit \(f\) sur \(\mathbb{R}_2[X]\) par \(f(P)=(X-3)P^{\prime}+P\).

1. Justifier que \(f\) est linéaire et envoie \(\mathbb{R}_2[X]\) dans lui-même.
2. Calculer \(f(1)\), \(f(X)\) et \(f(X^2)\), puis former la matrice \(F\) de \(f\) relativement à \((1,X,X^2)\).
3. Prouver que \(f\) est bijectif à l’aide de \(F\).

Exercice 2 – Lire une application de R3 dans R2 sur sa matrice

Soit \(g\) l’application linéaire de \(\mathbb{R}^3\) dans \(\mathbb{R}^2\) de matrice \(\begin{pmatrix}2&-1&4\\0&3&-5\end{pmatrix}\) dans les bases canoniques.

1. Donner l’expression de \(g(x,y,z)\) et calculer \(g(1,2,-1)\).
2. Déterminer une base de \(\operatorname{Ker}g\).
3. Déterminer le rang de \(g\) et en déduire \(\operatorname{Im}g\).

Exercice 3 – Rang d’une matrice 3×4 par la méthode du pivot

On considère \(M=\begin{pmatrix}1&2&-1&3\\2&5&0&4\\-1&-1&3&-5\end{pmatrix}\).

1. Calculer le rang de \(M\) par opérations élémentaires sur les lignes.
2. Donner la dimension de \(\operatorname{Ker}M\), puis une base de ce noyau.

Exercice 4 – Un système de Cramer à trois inconnues

On considère le système \(2x-y+z=8\), \(x+3y-2z=-7\), \(-x+y+2z=3\).

1. Montrer que la matrice du système est de rang 3.
2. En déduire que le système est de Cramer, puis le résoudre.

Exercice 5 – Trace de AB et de BA pour des matrices rectangulaires

Soit \(A=\begin{pmatrix}1&-2&0\\3&1&4\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}2&1\\0&-1\\5&3\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(AB\) et \(BA\), puis leurs traces.
2. Justifier sans calcul que \(BA\) n’est pas inversible.

Exercice 6 – Coordonnées d’un vecteur dans une nouvelle base du plan

Dans \(\mathbb{R}^2\), on pose \(e_1^{\prime}=(3,1)\), \(e_2^{\prime}=(5,2)\) et \(u=(4,-1)\).

1. Montrer que \(\mathcal{B}^{\prime}=(e_1^{\prime},e_2^{\prime})\) est une base de \(\mathbb{R}^2\) et écrire la matrice de passage \(P\) depuis la base canonique.
2. Calculer \(P^{-1}\), puis les coordonnées de \(u\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\).

La figure représente les deux bases et le vecteur \(u\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Matrice d’une projection de R3 sur un plan

Soit \(\Pi\) le plan d’équation \(x-y+2z=0\) et \(D=\operatorname{Vect}(1,1,1)\).

1. Montrer que \(\mathbb{R}^3=\Pi\oplus D\).
2. Écrire la matrice de la projection \(p\) sur \(\Pi\) parallèlement à \(D\) dans une base adaptée.
3. Exprimer \(p(x,y,z)\), puis écrire la matrice \(M\) de \(p\) dans la base canonique.
4. Vérifier que \(\mathrm{tr}M=\operatorname{rg}M\).

Exercice 8 – Puissances d’une matrice par changement de base

Soit \(A=\begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}\) et \(a\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) canoniquement associé. On pose \(v_1=(1,1)\) et \(v_2=(2,1)\).

1. Calculer \(a(v_1)\) et \(a(v_2)\). En déduire la matrice \(D\) de \(a\) dans la base \((v_1,v_2)\).
2. Écrire la relation entre \(A\) et \(D\), puis calculer \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
3. Comparer \(\mathrm{tr}A\) et \(\mathrm{tr}D\).

La figure montre l’action de \(a\) sur les deux vecteurs \(v_1\) et \(v_2\).

Exercice 9 – Rang d’une matrice dépendant d’un paramètre

Pour \(a\in\mathbb{R}\), on pose \(M(a)=\begin{pmatrix}1&2&-1\\3&a&1\\2&1&a\end{pmatrix}\).

1. Déterminer le rang de \(M(a)\) selon les valeurs de \(a\).
2. Pour quelles valeurs de \(a\) le système \(M(a)X=B\) est-il de Cramer ?
3. Pour \(a=0\), donner une base du noyau de \(M(0)\).

Exercice 10 – Un commutateur ne vaut jamais la matrice remplie de 1

Soit \(n\geqslant1\) et \(U\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) la matrice dont tous les coefficients valent \(1\).

1. Montrer qu’il n’existe aucun couple \((A,B)\) de matrices de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) tel que \(AB-BA=U\).
2. Pour \(n=2\), trouver \(A\) et \(B\) telles que \(AB-BA=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\).

Exercice 11 – Deux matrices semblables et une base qui le prouve

Soit \(A=\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\) et \(C=2I_2\).

1. Vérifier que \(A\), \(B\) et \(C\) ont la même trace.
2. Trouver une base \((w_1,w_2)\) de \(\mathbb{R}^2\) telle que \(Aw_1=2w_1\) et \(Aw_2=w_1+2w_2\). En déduire que \(A\) et \(B\) sont semblables, en précisant \(P\).
3. Montrer que \(B\) et \(C\) ne sont pas semblables.

Exercice 12 – Matrice d’une composée entre polynômes et vecteurs

Soit \(f:\mathbb{R}_2[X]\to\mathbb{R}^2\), \(P\mapsto(P(2),P^{\prime}(-1))\) et \(g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}_1[X]\), \((a,b)\mapsto(a-b)+(a+b)X\).

1. Donner la dimension de \(\mathcal{L}(\mathbb{R}_2[X],\mathbb{R}^2)\).
2. Écrire les matrices \(F\) de \(f\) et \(G\) de \(g\) dans les bases canoniques.
3. En déduire la matrice de \(g\circ f\), puis vérifier le résultat sur \(X^2\).
4. Déterminer le rang et le noyau de \(g\circ f\).

Exercice 13 – Encadrer un rang grâce à une matrice extraite

On considère \(N=\begin{pmatrix}1&3&0&2\\2&5&1&3\\0&1&-1&1\\3&8&1&5\end{pmatrix}\).

1. Trouver une matrice extraite de taille 2 inversible. Que peut-on en déduire ?
2. Exprimer les lignes \(L_3\) et \(L_4\) à l’aide de \(L_1\) et \(L_2\). Conclure sur le rang de \(N\).
3. En déduire le rang de \(N^{\mathsf{T}}\) et la dimension du noyau de \(N^{\mathsf{T}}\).

Exercice 14 – Rang de la transposée fois la matrice

Soit \(A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\).

1. Pour \(X\in\mathbb{R}^p\), exprimer \(X^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}AX\) comme une somme de carrés.
2. En déduire que \(\operatorname{Ker}(A^{\mathsf{T}}A)=\operatorname{Ker}A\), puis que \(\operatorname{rg}(A^{\mathsf{T}}A)=\operatorname{rg}A\).
3. Montrer que \(\operatorname{rg}(AA^{\mathsf{T}})=\operatorname{rg}A\).
4. Donner un exemple dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\) où \(\operatorname{rg}(A^{\mathsf{T}}A)\neq\operatorname{rg}A\).

Exercice 15 – Matrice et trace d’un commutateur sur M2(R)

Soit \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}\) et \(\varphi\) l’endomorphisme de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) défini par \(\varphi(M)=AM-MA\).

1. Écrire la matrice de \(\varphi\) dans la base \((E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})\).
2. Calculer \(\mathrm{tr}\varphi\) et le rang de \(\varphi\).
3. Montrer que \(\operatorname{Ker}\varphi=\operatorname{Vect}(I_2,A)\).
4. Plus généralement, pour \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) quelconque, montrer que la trace de \(M\mapsto AM\) vaut \(n\mathrm{tr}A\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Une matrice de trace nulle à diagonale nulle

Soit \(A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{K})\) de trace nulle.

1. Vérifier par le calcul que \(A^2-(\mathrm{tr}A)A+(ad-bc)I_2=0\), où \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\).
2. On suppose \(A\neq0\). Montrer qu’il existe un vecteur \(x\) tel que \((x,Ax)\) soit une base de \(\mathbb{K}^2\).
3. Écrire la matrice de l’endomorphisme associé à \(A\) dans cette base. Conclure que \(A\) est semblable à une matrice de diagonale nulle.
4. Appliquer la méthode à \(A=\begin{pmatrix}2&-3\\1&-2\end{pmatrix}\) avec \(x=(1,0)\).

Exercice 17 – Problème sur les formes linéaires et la trace

Pour \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), on note \(\varphi_A\) la forme linéaire \(M\mapsto\mathrm{tr}(AM)\) sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).

1. Calculer \(\mathrm{tr}(AE_{ij})\) en fonction des coefficients de \(A\).
2. Montrer que \(A\mapsto\varphi_A\) est un isomorphisme de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) sur l’espace des formes linéaires sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).
3. Soit \(A\) telle que \(AN=NA\) pour toute \(N\). En testant \(N=E_{ij}\), montrer que \(A\) est scalaire.
4. Soit \(\psi\) une forme linéaire telle que \(\psi(MN)=\psi(NM)\) pour toutes \(M,N\). Montrer qu’il existe \(\lambda\in\mathbb{K}\) tel que \(\psi=\lambda\mathrm{tr}\).

Exercice 18 – Problème sur les matrices de rang 1

Dans tout ce problème, l’entier \(n\) vaut au moins 2, et la matrice carrée \(A\) d’ordre \(n\) a pour rang 1.

1. Prouver que \(A\) s’écrit \(XY^{\mathsf{T}}\), où \(X\) et \(Y\) sont deux colonnes non nulles de \(\mathbb{K}^n\). Réciproquement, justifier qu’une telle matrice est de rang 1.
2. Établir que \(A^2=(\mathrm{tr}A)A\).
3. Dans cette question, la trace \(t\) de \(A\) n’est pas nulle. Établir que \(t^{-1}A\) représente un projecteur. En déduire une matrice diagonale semblable à \(A\).
4. Dans cette question, \(A\) est de trace nulle. Prouver que \(A\) et \(E_{12}\) sont semblables.
5. Application : soit \(R=\begin{pmatrix}2&-1&3\\4&-2&6\\-2&1&-3\end{pmatrix}\). Écrire \(R=XY^{\mathsf{T}}\) et calculer \(R^k\) pour \(k\geqslant1\).

Pour aller plus loin

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