Ordre et groupes cycliques en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Ordres de quatre classes de Z/20Z

On travaille dans le groupe additif \(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}\). La figure place les vingt classes sur un cercle et relie les multiples successifs de \(\bar{15}\).

1. Calculer l’ordre de \(\bar{4}\), de \(\bar{6}\), de \(\bar{15}\) et de \(\bar{7}\).
2. Ensuite, lesquelles de ces quatre classes engendrent \(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}\) ?
3. Enfin, lister les éléments de \(\langle\bar{15}\rangle\).

Exercice 2 – Générateurs de Z/28Z

1. Calculer \(\varphi(28)\) à partir de la décomposition de \(28\) en facteurs premiers.
2. Ensuite, lister tous les générateurs du groupe additif \(\mathbb{Z}/28\mathbb{Z}\) et vérifier leur nombre.
3. Enfin, exprimer \(\bar{1}\) comme multiple de \(\bar{9}\) dans \(\mathbb{Z}/28\mathbb{Z}\).

Exercice 3 – Sous-groupes de Z engendrés par plusieurs entiers

1. Écrire \(14\mathbb{Z}+35\mathbb{Z}\) sous la forme \(n\mathbb{Z}\) avec \(n\in\mathbb{N}\).
2. Ensuite, procéder de même pour \(14\mathbb{Z}\cap35\mathbb{Z}\).
3. Enfin, identifier le sous-groupe \(\langle-21,49,84\rangle\) de \((\mathbb{Z},+)\).

Exercice 4 – Ordre de quelques complexes de module 1

On considère les complexes \(z_1=e^{20i\pi/24}\), \(z_2=-e^{i\pi/3}\), \(z_3=-e^{i\pi/5}\) et \(z_4=2e^{i\pi/7}\).

1. Écrire \(z_1\), \(z_2\) et \(z_3\) sous la forme \(e^{2ik\pi/n}\), puis calculer leur ordre dans \((\mathbb{C}^*,\times)\).
2. Ensuite, justifier que \(z_4\) est d’ordre infini.

Exercice 5 – Un groupe de cardinal 13

Soit \(G\) un groupe à \(13\) éléments.

1. Prouver que \(G\) est cyclique.
2. Ensuite, combien \(G\) possède-t-il de générateurs ?
3. Enfin, prouver que \(G\) est commutatif.

Exercice 6 – Sous-groupes engendrés dans le groupe des complexes non nuls

On note \(j=e^{2i\pi/3}\).

1. Identifier \(\langle i,-1\rangle\) dans \((\mathbb{C}^*,\times)\).
2. Ensuite, calculer l’ordre de \(-j\), puis identifier \(\langle j,-1\rangle\).
3. Enfin, identifier \(\langle i,j\rangle\) en exhibant un générateur.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Puissances d’un élément d’ordre 36

Soit \(G\) un groupe et \(x\in G\) un élément d’ordre \(36\).

1. Calculer l’ordre de \(x^8\), \(x^{15}\), \(x^{27}\) et \(x^{25}\).
2. Ensuite, trouver tous les entiers \(k\in\{1,\dots,36\}\) tels que \(x^k\) soit d’ordre \(9\).
3. Enfin, combien d’éléments de \(\langle x\rangle\) sont d’ordre \(12\) ?

Exercice 8 – Résoudre une équation linéaire dans Z/30Z

1. Résoudre l’équation \(12\cdot u=\bar{0}\), d’inconnue \(u\in\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}\).
2. Ensuite, traiter de même l’équation \(8\cdot u=\bar{0}\).
3. Enfin, trouver une solution particulière de \(12\cdot u=\bar{18}\), puis en déduire toutes les solutions.

Exercice 9 – Ordre d’un produit d’éléments qui commutent

Soit \(G\) un groupe, \(x\) d’ordre \(a\) et \(y\) d’ordre \(b\), avec \(xy=yx\) et \(a\wedge b=1\).

1. On note \(X=\langle x\rangle\) et \(Y=\langle y\rangle\). Prouver que \(X\cap Y=\{e\}\).
2. Ensuite, en déduire que \(xy\) est d’ordre \(ab\).
3. Donner un exemple où \(xy=yx\), où \(x\) et \(y\) sont d’ordre \(4\), mais où \(xy\) n’est pas d’ordre \(4\).
4. Application : calculer l’ordre de \(e^{2i\pi/8}\,e^{2i\pi/9}\) dans \(\mathbb{C}^*\).

Exercice 10 – Groupes produits cycliques ou non

1. On note \(K=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}\). Prouver que tout élément \(u\) de \(K\) vérifie \(30\cdot u=0\). Le groupe \(K\) est-il cyclique ?
2. Ensuite, trouver un élément d’ordre \(30\) dans \(K\).
3. Enfin, prouver que \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\) est cyclique et en donner un générateur.

Exercice 11 – Intersection de groupes de racines de l’unité

La figure représente \(\mathbb{U}_{12}\) et \(\mathbb{U}_{18}\) sur le cercle unité.

1. Prouver que \(\mathbb{U}_{12}\cap\mathbb{U}_{18}=\mathbb{U}_6\).
2. Plus généralement, prouver que \(\mathbb{U}_m\cap\mathbb{U}_n=\mathbb{U}_{m\wedge n}\) pour tous entiers \(m,n\geqslant1\).
3. Enfin, en déduire une condition nécessaire et suffisante pour que \(\mathbb{U}_m\cap\mathbb{U}_n=\{1\}\).

Exercice 12 – Sous-groupe engendré par deux classes de Z/24Z

1. Prouver que \(\langle\bar{8},\bar{18}\rangle=\langle\bar{2}\rangle\) dans \(\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}\).
2. Ensuite, préciser le cardinal de ce sous-groupe.
3. Que vaut \(\langle\bar{9},\bar{20}\rangle\) ?

Exercice 13 – Groupe où chaque élément est son propre inverse

Soit \(G\) un groupe tel que \(x^2=e\) pour tout \(x\in G\).

1. Prouver que \(G\) est commutatif.
2. On suppose \(G\) fini de cardinal au moins \(3\). Prouver que \(G\) n’est pas cyclique.
3. Dans \(GL_2(\mathbb{R})\), on pose \(D=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\). Vérifier que \(V=\{I_2,-I_2,D,-D\}\) est un sous-groupe qui vérifie l’hypothèse, et conclure qu’il n’est pas cyclique.

Exercice 14 – Ordre de deux matrices inversibles

On pose \(A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) dans \(GL_2(\mathbb{R})\).

1. Calculer \(A^2\) et \(A^3\). En déduire l’ordre de \(A\) et la liste des éléments de \(\langle A\rangle\).
2. Ensuite, calculer \(B^k\) pour \(k\in\mathbb{Z}\). En déduire que \(B\) est d’ordre infini.
3. À quel groupe classique \(\langle A\rangle\) et \(\langle B\rangle\) sont-ils isomorphes ?

Exercice 15 – Ordre d’une permutation et groupe qu’elle engendre

Soit \(\sigma=(1\ 2\ 3)(4\ 5)\), élément de \(S_5\).

1. Déterminer \(\sigma^2\), \(\sigma^3\), puis l’ordre de \(\sigma\).
2. Ensuite, déterminer les générateurs du groupe cyclique \(\langle\sigma\rangle\).
3. Enfin, prouver que \(S_3\) n’est pas cyclique, de deux façons différentes.

Pour approfondir

Exercice 16 – Dénombrer les morphismes de Z/12Z vers Z/18Z

1. On se donne un morphisme \(f:\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}\) et on pose \(a=f(\bar{1})\). Prouver que \(12\cdot a=\bar{0}\).
2. Réciproquement, soit \(a\) une classe modulo \(18\) telle que \(12\cdot a=\bar{0}\). Prouver que \(\bar{k}\mapsto k\cdot a\) définit un morphisme.
3. De plus, dénombrer les morphismes de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) dans \(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}\).
4. L’un d’eux est-il injectif ? surjectif ?

Exercice 17 – Sous-groupes finis du groupe multiplicatif des complexes

1. Soit \(H\) un sous-groupe fini de \((\mathbb{C}^*,\times)\), de cardinal \(n\). Prouver que \(H=\mathbb{U}_n\).
2. Ensuite, conclure : un sous-groupe fini de \(\mathbb{C}^*\) est forcément cyclique et inclus dans le cercle unité.
3. On note \(\mathbb{U}_\infty\) la réunion des \(\mathbb{U}_n\), pour \(n\geqslant1\). Établir que \(\mathbb{U}_\infty\) est un sous-groupe de \(\mathbb{C}^*\), qu’il est infini, et que chacun de ses éléments a un ordre fini.
4. Enfin, prouver que \(\mathbb{U}_\infty\) n’est pas monogène.

Exercice 18 – Problème de synthèse : sous-groupes et indicatrice d’Euler

On fixe un groupe \(G\) cyclique de cardinal \(n\geqslant1\) et un générateur \(g\) de \(G\).

1. Soit \(H\) un sous-groupe de \(G\) différent de \(\{e\}\). On note \(m\) le plus petit entier \(k\geqslant1\) tel que \(g^k\in H\). Prouver que \(H=\langle g^m\rangle\), puis que \(m\) divise \(n\).
2. Ensuite, en déduire que, pour chaque diviseur \(d\) de \(n\), le groupe \(G\) possède un unique sous-groupe de cardinal \(d\), à savoir \(\langle g^{n/d}\rangle\). Qu’en est-il si \(d\) ne divise pas \(n\) ?
3. De plus, prouver que les éléments d’ordre \(d\) de \(G\) sont exactement les générateurs de \(\langle g^{n/d}\rangle\), et qu’il y en a \(\varphi(d)\).
4. En déduire la formule \(\displaystyle n=\sum_{d\mid n}\varphi(d)\), et la vérifier pour \(n=12\).
5. Enfin, lister les sous-groupes de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\), en donnant un générateur de chacun.

Pour aller plus loin

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