QCM : Suites et définition epsilon en L1 de maths

Réponse A.

La fonction \(x\mapsto\frac{x}{x^2+1}\) a pour dérivée \(\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\), négative pour \(x\geqslant 1\). Par conséquent, la suite décroît, et son premier terme \(u_1=\frac{1}{2}\) la majore. De plus, elle est minorée par 0, puisque tous ses termes sont positifs. Le piège de la croissance vient d’un raisonnement sur le seul numérateur, qui augmente pourtant moins vite que le dénominateur.

Réponse B.

Pour nier la définition, on échange chaque « pour tout » et chaque « il existe », puis on remplace \(\leqslant\varepsilon\) par \(>\varepsilon\). On obtient donc une précision \(\varepsilon\) que la suite rate une infinité de fois. Commencer par \(\forall\varepsilon\) oublie de changer les quantificateurs. Avec \(\exists N,\ \forall n\geqslant N\), on exige que la suite reste loin de \(\ell\) à partir d’un rang, ce qui est plus fort. Enfin, \(\forall N,\ \forall n\geqslant N\) impose cet éloignement à tous les termes.

Réponse D.

La suite est positive et décroissante, donc il suffit de résoudre \(\frac{3}{n+1}<0{,}01\). Cela équivaut à \(n+1>300\), soit \(n>299\) : le rang cherché vaut donc 300. En effet, \(u_{299}=0{,}01\) exactement, ce qui ne vérifie pas l’inégalité stricte. Le piège 301 résout \(n>300\) en oubliant le décalage, et 30 provient d’une erreur sur \(0{,}01\).

Réponse A.

Si \(v_n\geqslant m\), on a \(u_n+v_n\geqslant u_n+m\), qui tend vers \(+\infty\) : la comparaison conclut donc. En revanche, la somme d’une limite \(+\infty\) et d’une limite \(-\infty\) est une forme indéterminée, comme \(n+(1-n)=1\) le montre. De même, \(n^2\times\frac{1}{n}\) tend vers \(+\infty\). Enfin, deux suites alternant entre 0 et 1 en décalé ont un produit nul sans tendre vers 0.

Réponse C.

Pour \(1\leqslant k\leqslant n\), on encadre le dénominateur entre \(n^2+1\) et \(n^2+n\). Ainsi, \(\frac{n(n+1)}{2(n^2+n)}\leqslant u_n\leqslant\frac{n(n+1)}{2(n^2+1)}\), puisque la somme des \(k\) vaut \(\frac{n(n+1)}{2}\). Les deux bornes tendent vers \(\frac{1}{2}\), donc les gendarmes concluent. Le piège 0 remarque que chaque terme tend vers 0, mais oublie que leur nombre augmente.

Réponse B.

Une suite croissante et majorée converge vers la borne supérieure de ses termes, qui est au plus 5. Cependant, le passage à la limite transforme les inégalités strictes en inégalités larges. Par exemple, \(5-\frac{1}{n+1}\) reste sous 5 et tend vers 5 : la limite stricte est donc un piège. À l’inverse, la suite constante égale à 0 montre que la limite n’est pas forcément 5.

Réponse A.

Deux suites sont adjacentes si l’une croît, l’autre décroît et leur différence tend vers 0. Le couple avec \(\frac{1}{n^2}\) ajouté coche les trois conditions, avec une limite commune égale à 2. Avec \(3+\frac{1}{n}\), l’écart tend vers 1, et non vers 0. Le terme \(\frac{(-1)^n}{n}\) fait osciller \(u_n\), donc elle n’est pas monotone. Enfin, avec \(2-\frac{1}{n^2}\), les deux suites croissent : il manque donc la suite décroissante.

Réponse D.

On a \(u_{6k}=\cos(2k\pi)=1\) et \(u_{6k+3}=\cos(\pi+2k\pi)=-1\). Or une suite convergente impose sa limite à chacune de ses sous-suites. Ces deux valeurs distinctes prouvent donc la divergence. Une seule sous-suite convergente ne prouve rien sur la suite entière. De plus, être bornée ne suffit pas pour converger. Enfin, la monotonie n’est pas nécessaire : \(\frac{(-1)^n}{n}\) oscille et tend pourtant vers 0.

Réponse C.

Le théorème affirme seulement l’existence d’une sous-suite convergente pour une suite bornée. Ainsi, \((-1)^n\) est bornée et diverge, mais ses termes pairs convergent. La réciproque est fausse : une suite valant 0 aux rangs pairs et \(n\) aux rangs impairs n’est pas bornée. Pourtant, elle possède une sous-suite constante, ce qui réfute aussi l’idée qu’une suite non bornée n’a aucune sous-suite convergente.

Réponse C.

Les points fixes vérifient \(x^2-5x+6=0\), donc valent 2 et 3. La fonction \(f\) est croissante sur \([0,2]\) et envoie cet intervalle dans \([\frac{6}{5},2]\). De plus, \(u_1=\frac{7}{5}>u_0\), si bien que la suite croît et reste majorée par 2. Elle converge donc vers un point fixe au plus égal à 2. Le piège 3 choisit le mauvais point fixe.

Réponse D.

L’équation caractéristique \(r^2-4r+4=0\) admet 2 comme racine double. Dans ce cas, la forme générale est \((A+Bn)r^n\). La forme \(A2^n+B2^n=(A+B)2^n\) ne décrit en réalité qu’une famille à un paramètre. Faire intervenir \((-2)^n\) suppose deux racines opposées. Enfin, écrire \(4^n\) prend le coefficient 4 pour la racine.

Réponse B.

L’équation \(r^2-r-6=0\) a pour racines 3 et \(-2\). On écrit donc \(u_n=A\,3^n+B(-2)^n\), avec \(A+B=2\) et \(3A-2B=1\). On trouve alors \(A=B=1\). Le piège \((-3)^n+2^n\) résout \(r^2+r-6=0\) à cause d’une erreur de signe. Par ailleurs, les deux autres propositions ne respectent pas \(u_0=2\) : elles donnent 0 et 1.