QCM : Variation de la constante et EDL en L1 de maths

Réponse A.

Pour \(y^{\prime}+a(x)y=0\), les solutions sont \(Ce^{-A(x)}\), où \(A\) est une primitive de \(a\). Ici \(A(x)=x^2\), donc on obtient \(Ce^{-x^2}\). Le piège \(Ce^{-2x}\) prend \(a\) au lieu de sa primitive. De plus, la constante est multiplicative et non additive : \(e^{-x^2}+C\) ne vérifie l’équation que pour \(C=0\).

Réponse C.

Par linéarité, \((y_1-y_2)^{\prime}+a(y_1-y_2)=b-b=0\). Ainsi l’ensemble des solutions est une droite affine : une solution particulière plus les solutions homogènes. Le piège \(2b\) correspond à la somme \(y_1+y_2\), et non à la différence. Enfin, une solution homogène \(Ce^{-A}\) n’est constante que si \(a\) est nulle.

Réponse B.

Les solutions homogènes sont \(Ce^x\). On pose donc \(y=C(x)e^x\), ce qui donne \(C^{\prime}(x)e^x=e^x\), puis \(C(x)=x+C\). Le piège \((1+C)e^x\) cherche une solution particulière de la forme \(ke^x\) ; or \(e^x\) est déjà solution homogène, et cette tentative échoue. Quant à \(xe^x+C\), la constante y est mal placée.

Réponse B.

Les solutions homogènes sont \(\dfrac{C}{x}\). En posant \(y=\dfrac{C(x)}{x}\), on trouve \(C^{\prime}(x)=x\), donc \(y=\dfrac x2+\dfrac Cx\). Ensuite \(y(1)=1\) impose \(C=\tfrac12\). Les trois pièges valent bien 1 en 1, cependant aucun ne vérifie l’équation : \(y=x\) utilise \(Cx\) comme solution homogène, et \(\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{1}{2x}\) oublie de diviser \(C(x)\) par \(x\).

Réponse D.

Le principe de superposition donne \(2\times 1+(x-1)=x+1\) comme solution, puisque le second membre vaut \(2\times 1+x\). On vérifie : \(1+(x+1)=x+2\). Le piège \(x+2\) recopie le second membre, qui n’est pas solution. La réponse \(x\) oublie le coefficient 2 devant la première solution particulière.

Réponse B.

L’équation caractéristique \(r^2-4r+13=0\) a pour discriminant \(-36\), donc ses racines sont \(2\pm 3i\). Par conséquent, la partie réelle 2 donne l’exponentielle et la partie imaginaire 3 donne la pulsation. Le piège en \(e^{3x}\) échange ces deux rôles. Le signe \(-2\) vient d’une erreur sur la somme des racines, qui vaut \(4\).

Réponse C.

L’équation caractéristique s’écrit \((r+3)^2=0\) : elle a une racine double \(-3\). Dans ce cas, la seconde solution de base est \(xe^{-3x}\). Le piège \(Ae^{-3x}\) ne fournit qu’une droite de solutions, alors que l’espace est de dimension 2. Ensuite, \(e^{3x}\) provient d’une erreur de signe sur la racine.

Réponse A.

Les racines caractéristiques sont 1 et 2. Comme 1 est racine simple, on cherche \(y=axe^x\). Alors \(y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=a\big((x+2)-3(x+1)+2x\big)e^x=-ae^x\), donc \(a=-1\). Le piège \(e^x\) donne 0, car c’est une solution homogène. La forme en \(x^2\) conviendrait seulement pour une racine double.

Réponse D.

Les racines \(\pm i\) donnent \(y=A\cos x+B\sin x\). Ainsi \(y(0)=A=2\) et \(y^{\prime}(0)=B=-1\). Le piège \(-\cos x+2\sin x\) échange les deux conditions initiales. Les fonctions hyperboliques résoudraient \(y^{\prime\prime}-y=0\) : c’est une erreur de signe dans l’équation caractéristique.

Réponse C.

Comme \(2i\) n’est pas racine de \(r^2+1\), on cherche \(y=a\cos 2x\). Alors \(y^{\prime\prime}+y=-4a\cos 2x+a\cos 2x=-3a\cos 2x\), donc \(a=-\tfrac13\). Le piège \(\tfrac15\) dérive comme si \(y^{\prime\prime}=+4y\). Enfin, la forme \(x\sin 2x\) sert seulement en cas de résonance, c’est-à-dire pour \(\cos x\).

Réponse D.

L’équation caractéristique est \(r^2-r-6=0\), de racines 3 et \(-2\). Pour les suites, chaque racine \(r\) fournit \(r^n\), tandis que pour les équations différentielles elle fournit \(e^{rx}\). Le piège en exponentielles mélange donc les deux théories. Le piège en \((-3)^n\) vient d’un signe : on a lu \(r^2+r-6\).

Réponse A.

Sur chaque demi-droite, on trouve \(y=C_1x\) ou \(y=C_2x\). Le raccord en 0 est continu, et la dérivabilité impose \(C_1=C_2\). Ainsi toutes les fonctions \(Cx\) conviennent. Le piège de l’unicité applique le théorème de Cauchy, cependant le coefficient de \(y^{\prime}\) s’annule en 0 : l’équation n’est pas sous forme résolue sur \(\mathbb{R}\).