QCM : Déterminants et formules de Cramer en L1 de maths

Réponse D.

La suite des images \(3,1,2,5,4\) présente trois inversions : \((3,1)\), \((3,2)\) et \((5,4)\). La signature vaut donc \((-1)^3=-1\). On le retrouve avec les cycles : \(\sigma\) est le produit d’un 3-cycle, pair, et d’une transposition, impaire. Le piège 3 donne le nombre d’inversions au lieu de la signature. De plus, une signature vaut toujours 1 ou \(-1\), jamais 0.

Réponse C.

Un cycle de longueur \(k\) s’écrit comme un produit de \(k-1\) transpositions. Par conséquent, sa signature vaut \((-1)^{k-1}\). Une transposition, cycle de longueur 2, a bien pour signature \(-1\). Le piège \((-1)^k\) compte une transposition de trop. Par ailleurs, un 3-cycle est pair et un 4-cycle impair, donc la signature dépend de \(k\).

Réponse D.

Par linéarité en la deuxième colonne, on obtient \(\det(C_2,C_1,C_3)+2\det(C_2,C_3,C_3)\). Le second terme est nul, puisque deux colonnes sont égales. Ensuite, échanger \(C_1\) et \(C_2\) change le signe, d’où \(-4\). Le piège 4 oublie l’échange de colonnes. En revanche, \(-8\) et 8 font intervenir à tort le coefficient 2, qui multiplie un déterminant nul.

Réponse B.

Multiplier une matrice d’ordre 3 par \(\lambda\) multiplie chacune de ses trois colonnes par \(\lambda\). Le déterminant est donc multiplié par \(\lambda^3\). Ici, \((-2)^3\times 2=-8\times 2=-16\). Le piège \(-4\) traite le déterminant comme s’il était linéaire en la matrice. Ensuite, 16 perd le signe de \((-2)^3\). Enfin, \(-8\) oublie de multiplier par \(\det A\).

Réponse A.

Le déterminant est multiplicatif, inchangé par transposition, et vérifie \(\det(B^{-1})=\frac{1}{\det B}\). On obtient donc \(3\times\frac{1}{-6}=-\frac{1}{2}\). Le piège \(-18\) multiplie par \(\det B\) au lieu de diviser. De plus, \(-2\) divise dans le mauvais sens. Enfin, \(\frac{1}{2}\) perd le signe négatif de \(\det B\).

Réponse A.

En développant selon la première ligne, on trouve \(a(a^2-1)-1\times(a-0)=a^3-2a=a(a^2-2)\). Or une matrice n’est pas inversible exactement quand son déterminant est nul. Les valeurs cherchées sont donc 0 et \(\pm\sqrt{2}\). Le piège \(\{0,1,-1\}\) oublie le second terme du développement. Les deux autres réponses perdent des racines lors de la factorisation.

Réponse C.

On développe selon la première ligne, qui contient un zéro. On obtient \(2\times(1\times 5-0\times 4)+1\times(3\times 4-1\times 0)\), car le cofacteur en position \((1,3)\) porte le signe plus. Ainsi, le déterminant vaut \(10+12=22\). Le piège \(-2\) attribue un signe moins à ce cofacteur. Enfin, 10 et 12 ne gardent qu’un seul des deux termes du développement.

Réponse D.

La matrice est triangulaire par blocs, avec un bloc nul en bas à gauche. Son déterminant est donc le produit des déterminants des blocs diagonaux. Ici, on a \(1\times 4-2\times 3=-2\) puis \(2\times 3-1\times 1=5\), d’où \(-10\). Le piège 24 multiplie les coefficients diagonaux, ce qui ne vaut que pour une matrice triangulaire. Par ailleurs, \(-2\) oublie le second bloc, et 10 se trompe de signe.

Réponse B.

On a \(\det A=6-4=2\), et l’inverse vaut \(\frac{1}{\det A}\) fois la transposée de la comatrice. Pour une matrice d’ordre 2, cela revient à échanger les coefficients diagonaux et à changer le signe des deux autres. Placer \(-4\) en haut à droite revient à oublier de transposer la comatrice. Sans le facteur \(\frac{1}{2}\), on oublie de diviser par le déterminant. Enfin, garder 3 en haut à gauche, c’est ne pas permuter la diagonale.

Réponse B.

Le déterminant du système vaut \(3\times(-1)-2\times 4=-11\), qui n’est pas nul. On remplace ensuite la colonne de \(y\) par le second membre : \(3\times 2-7\times 4=-22\). Ainsi, \(y=\frac{-22}{-11}=2\), et l’on vérifie que \(x=1\). Le piège \(-2\) oublie le signe du déterminant principal. La valeur 1 est celle de \(x\). Enfin, \(\frac{22}{5}\) divise par un déterminant mal calculé.

Réponse A.

On reconnaît un déterminant de Vandermonde associé aux nombres 1, 2 et 4. Il vaut le produit des différences \(x_j-x_i\) pour \(i<j\), soit \((2-1)(4-1)(4-2)=6\). Le piège \(-6\) prend les différences dans le mauvais ordre. La réponse 8 multiplie les nombres eux-mêmes. Quant à 3, elle oublie un des trois facteurs.

Réponse C.

Dans la base canonique \((E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})\), la transposition fixe \(E_{11}\) et \(E_{22}\), et échange \(E_{12}\) et \(E_{21}\). Sa matrice est donc une matrice de permutation associée à une transposition, de déterminant \(-1\). Le piège 1 confond avec la formule \(\det(M^{\top})=\det M\), qui parle d’autre chose. Enfin, 0 est exclu, puisque l’application est bijective.