QCM : Normes et normes équivalentes en maths spé (MP)

Réponse C.

L’application \((x,y)\mapsto(x,x+y)\) est linéaire et injective. Or composer la norme infinie avec une application linéaire injective redonne une norme, donc la bonne réponse convient. En revanche, \(|x|+y^2\) n’est pas homogène : doubler \(y\) quadruple le second terme. Ensuite, \(|x-y|\) s’annule en \((1,1)\), ce qui viole la séparation. Enfin, \(\sqrt{|xy|}\) s’annule sur les deux axes.

Réponse D.

La somme des valeurs absolues donne \(2+6+3=11\). Ensuite, \(4+36+9=49\), dont la racine vaut \(7\), et le plus grand module est \(6\). Le piège qui annonce \(7\) pour la norme 1 additionne les coordonnées avec leur signe. De même, \(49\) oublie la racine carrée. Enfin, \(-2\) prend la première coordonnée, qui de plus est négative, alors qu’une norme est positive.

Réponse D.

Si \(|x|\) et \(|y|\) sont au plus \(m\), alors \(N(x,y)\leq m+2m=3m\). De plus, le couple \((1,1)\) donne exactement \(3\), donc la constante ne peut pas être améliorée. Le piège \(2\) ne retient que le plus grand coefficient, ce qui échoue en \((1,1)\). Ensuite, \(\sqrt{5}\) est la norme euclidienne des coefficients : c’est la constante face à la norme \(2\), non face au maximum.

Réponse B.

Dans le quart de plan où \(x\) et \(y\) sont positifs, la condition \(x+y\leq1\) délimite un triangle. Par symétrie, on obtient un carré posé sur la pointe. Le piège du carré de sommets \((\pm1,\pm1)\) décrit au contraire la boule de la norme infinie. Ensuite, le disque correspond à la norme euclidienne. Enfin, une croix n’est pas convexe, alors qu’une boule l’est toujours.

Réponse A.

Si \(\|u\|=1\), le segment de \(u\) à \(-u\) passe par \(0\), qui n’est pas sur la sphère. Celle-ci n’est donc pas convexe. En revanche, l’inégalité triangulaire et l’homogénéité donnent \(\|tu+(1-t)v\|\leq t\|u\|+(1-t)\|v\|\), ce qui prouve la convexité de toute boule. Le piège qui vise une boule ouverte oublie que ce calcul marche aussi avec une inégalité stricte. Enfin, un sous-espace est stable par combinaison linéaire.

Réponse A.

Une distance issue d’une norme est homogène : par exemple, \(d(2u,0)\) doit valoir le double de \(d(u,0)\). Or la distance tronquée à \(1\) ne dépasse jamais \(1\), donc elle ne peut pas grandir ainsi. Elle reste pourtant une vraie distance. Le piège porte sur la somme et le maximum des écarts : ce sont les distances des normes \(1\) et infinie. De même, l’écart euclidien vient de la norme \(2\).

Réponse C.

Si \((u_n)\) tend vers \(\ell\), toute extraction tend vers \(\ell\), car \(\varphi(n)\geq n\). Inversement, \((u_n)\) est elle-même une suite extraite, avec \(\varphi=\mathrm{id}\). Le piège des indices pairs ne dit rien des indices impairs. De même, une valeur d’adhérence est seulement la limite d’une extraction. Ainsi, la suite \((-1)^n\) est bornée, a \(1\) pour valeur d’adhérence, et pourtant diverge.

Réponse D.

La première coordonnée parcourt le cycle \(1,0,-1,0\), tandis que la seconde tend vers \(0\). En extrayant les indices \(4k\), \(4k+1\) et \(4k+2\), on obtient donc trois limites. Le piège qui ne garde que \((1,0)\) et \((-1,0)\) oublie les indices impairs, où le cosinus est nul. Par ailleurs, une suite divergente peut avoir des valeurs d’adhérence : c’est même le cas typique ici.

Réponse A.

On a \(N(x_n-a,y_n-b)=\max\big(\|x_n-a\|_E,\|y_n-b\|_F\big)\), et un maximum de deux réels positifs tend vers \(0\) exactement quand chacun y tend. Le piège avec « ou » oublie qu’un seul écart suffit à bloquer la convergence. Ensuite, la convergence des normes ne donne pas celle des vecteurs : dans \(\mathbb{R}\), \((-1)^n\) a une valeur absolue constante. Cependant, elle diverge.

Réponse B.

La fonction \(g_n\) décroît sur \([0,1]\), donc son maximum est atteint en \(0\) et vaut \(1\). Ensuite, une primitive est \(-\frac{1}{n}e^{-nt}\), ce qui donne l’intégrale proposée. Le piège \(\frac{1}{n}\) intègre jusqu’à l’infini au lieu de s’arrêter en \(1\). Par ailleurs, \(e^{-n}\) prend la valeur en \(1\), qui est le minimum. Enfin, \(0\) confond la norme avec la limite simple sur \(]0,1]\).

Réponse C.

Avec les fonctions \(g_n\) de la question précédente, le quotient de la norme uniforme par la norme \(1\) vaut \(\frac{n}{1-e^{-n}}\), qui tend vers l’infini. Par conséquent, aucune constante ne convient. Le piège « toutes les normes » applique un théorème de dimension finie, alors que \(E\) est de dimension infinie. Ensuite, la majoration de la norme \(1\) par la norme uniforme n’est qu’une des deux inégalités requises.

Réponse B.

On majore \(f^2\) par le carré de la norme uniforme, puis on intègre sur un intervalle de longueur \(2\). Ainsi, le carré de la norme quadratique est au plus le double de ce carré. Le piège sans \(\sqrt{2}\) recopie le cas de \([0,1]\) : la fonction constante \(1\) le met en défaut. Ensuite, l’inégalité inverse est fausse, car une bosse étroite a une norme quadratique petite. Enfin, \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) inverse la longueur.