QCM : Ouverts, fermés et adhérence en maths spé (MP)

Réponse C.

Une réunion d’intervalles ouverts est ouverte, puisque chaque point y possède un petit intervalle centré inclus dans la partie. En revanche, \([0,1[\) ne contient aucun voisinage de 0, et \(]0,1]\) aucun voisinage de 1. Enfin, tout intervalle centré en un rationnel contient des irrationnels, donc \(\mathbb{Q}\) n’est pas ouvert.

Réponse C.

Seul 0 appartient à tous les intervalles, car un réel non nul \(x\) sort dès que \(\tfrac1n<|x|\). Or un singleton n’est pas ouvert dans \(\mathbb{R}\). Le piège principal applique la stabilité par intersection, qui n’est garantie que pour un nombre fini d’ouverts. Par ailleurs, l’intersection n’est pas vide, puisque 0 est dans chaque intervalle.

Réponse A.

Entre deux réels distincts, on trouve toujours un irrationnel ; aucun segment non trivial ne tient donc dans \(D\), d’où un intérieur vide. Ensuite, chaque point de \([2,5]\) s’approche par des décimaux de \(D\), et rien hors de \([2,5]\) ne peut l’être. Le piège \(]2,5[\) confond \(D\) avec l’intervalle entier. Quant à \(\mathbb{R}\), il oublie la restriction à \([2,5]\).

Réponse B.

L’adhérence de \(B\) ajoute le point 1, tandis que son intérieur se réduit à \(]1,2[\). En retirant l’intérieur de l’adhérence, il reste les trois points 1, 2 et 5. Le piège \(\{1,2\}\) néglige le point isolé 5 : il est adhérent, mais aucun intervalle centré en 5 ne tient dans \(B\). Quant à \([1,2]\cup\{5\}\), c’est l’adhérence entière.

Réponse C.

Pour un réel \(x\), la suite \(\tfrac{\lfloor 2^nx\rfloor}{2^n}\) est dyadique et tend vers \(x\), car l’écart est au plus \(2^{-n}\). Ainsi l’adhérence des dyadiques est \(\mathbb{R}\). Le piège des inverses donne une adhérence réduite à \(\{0\}\cup\{\tfrac1n\}\). Enfin, les rationnels de \([0,1]\) ne sont denses que dans \([0,1]\).

Réponse A.

Les ouverts relatifs de \(A\) sont les traces sur \(A\) des ouverts de \(\mathbb{R}\). Or \(]-1,1[\) est ouvert et sa trace sur \(A\) est exactement \([0,1[\). Cependant \([0,1[\) n’est pas ouvert dans \(\mathbb{R}\) : le piège « ouverte dans \(\mathbb{R}\) » est donc faux. Ainsi la notion d’ouvert dépend de l’espace ambiant.

Réponse B.

L’application \((x,y)\mapsto xy\) est polynomiale, donc continue, et un singleton est fermé. Par conséquent, l’image réciproque \(H\) est fermée. Le piège « bornée » est doublement faux : l’hyperbole ne l’est pas, et borné n’implique pas fermé. Une partie peut aussi n’être ni ouverte ni fermée. Enfin, l’image directe d’un fermé n’est pas toujours fermée.

Réponse D.

La continuité se caractérise par les images réciproques : celle d’un ouvert est ouverte, et celle d’un fermé est fermée. En revanche, \(x\mapsto x^2\) envoie l’ouvert \(]-1,1[\) sur \([0,1[\), qui n’est pas ouvert. De même, \(\arctan\) envoie le fermé \(\mathbb{R}\) sur un intervalle ouvert. Enfin, une fonction constante a pour image réciproque \(\mathbb{R}\) entier.

Réponse B.

L’ensemble où \(\phi-\psi\) s’annule est l’image réciproque du singleton \(\{0\}\) par une application continue : il est donc fermé. Or il contient les décimaux, qui sont denses, donc il contient \(\mathbb{R}\). Le piège « décimaux seulement » oublie cet argument de densité. L’hypothèse lipschitzienne est superflue : la continuité suffit.

Réponse A.

L’origine n’appartient pas au domaine, mais elle lui est adhérente, donc la question a un sens. Le long de l’axe des abscisses, \(g(x,0)=2\). Cependant, le long de l’axe des ordonnées, \(g(0,y)=-1\). Deux chemins donnent deux valeurs distinctes : il n’y a donc pas de limite. Les pièges 2 et \(-1\) ne regardent qu’un seul axe.

Réponse D.

Cette fonction est continue sur un segment, donc uniformément continue d’après le théorème de Heine. En revanche, le taux \(\dfrac{\sqrt{t}}{t}=\dfrac{1}{\sqrt t}\) entre 0 et \(t>0\) n’est pas borné, ainsi aucune constante de Lipschitz ne convient. Le piège « lipschitzienne mais pas uniformément continue » est impossible par principe : Lipschitz entraîne toujours la continuité uniforme.

Réponse D.

On a \(b_n-a_n\to 0\), alors que \(e^{b_n}-e^{a_n}=e^n\big(e^{1/n}-1\big)\geqslant \dfrac{e^n}{n}\). Par conséquent, la continuité uniforme échoue. Le piège « lipschitzienne sur tout segment » ne donne qu’une propriété locale. Quant à la justification par le caractère non borné, elle est fausse : \(x\mapsto 3x\) n’est pas bornée, pourtant elle est uniformément continue.