Continuité uniforme et bijection continue : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « continuité uniforme et bijection continue », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur la continuité des fonctions réelles, sans aucun recours aux dérivées. Vous commencerez par deux preuves de limites avec la définition epsilon-delta. Ensuite, une fonction qui distingue rationnels et irrationnels vous fera utiliser la caractérisation séquentielle pour localiser ses discontinuités.
Le théorème des valeurs intermédiaires intervient alors sur un polynôme, puis sur deux fonctions auxiliaires. Le théorème de la bijection conduit de plus à une réciproque explicite. Enfin, le problème traite de la continuité uniforme de la racine carrée et du théorème de Heine. Faites ce sujet en fin de semestre 1, après le chapitre sur les suites.
Ce qu’évalue le contrôle : continuité uniforme et bijection continue
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Continuité, bijection continue et théorème de Heine (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Prouver une limite en un point ou en l’infini en revenant à la définition avec epsilon et delta
- Établir une discontinuité à l’aide de deux suites de même limite dont les images divergent
- Construire une fonction auxiliaire dont le changement de signe permet d’invoquer le TVI
- Utiliser le théorème de la bijection puis expliciter la réciproque d’une fonction continue strictement monotone
- Démontrer ou réfuter la continuité uniforme, et appliquer le théorème de Heine sur un segment
Avant de commencer le devoir
Dans une preuve epsilon-delta, majorez d’abord l’écart par une expression simple, en restreignant x à un petit intervalle autour du point, puis choisissez delta explicitement. Pour une discontinuité, exhibez deux suites qui ont la même limite mais dont les images ont des limites différentes. Avant chaque usage du TVI, vérifiez la continuité sur un intervalle et le changement de signe. Ainsi, aucune hypothèse ne manquera, car le barème les compte.
Le sujet du contrôle : continuité uniforme et bijection continue
Exercice 1 – Limites par epsilon et delta (3 points)
Chaque preuve repose ici sur epsilon et delta, ou sur epsilon et un seuil A. Les règles de calcul sur les sommes et produits de limites sont donc interdites.
- Montrer que \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \left(x^2 + x\right) = 6\). On pourra d’abord se limiter aux réels \(x\) tels que \(|x – 2| \leq 1\).
- On pose \(h(x) = \dfrac{2x – 1}{x + 4}\) pour \(x > -4\). Prouver que \(h(x)\) tend vers \(2\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
Exercice 2 – Rationnels et irrationnels (4 points)
Sur \(\mathbb{R}\), la fonction \(f\) vaut \(f(x) = x\) quand \(x \in \mathbb{Q}\), et \(f(x) = 2 – x\) quand \(x\) est irrationnel. Tout intervalle ouvert non vide contient, on le rappelle, des rationnels comme des irrationnels.
- Établir la continuité de \(f\) au point \(1\).
- Soit \(a \neq 1\). Construire deux suites qui convergent vers \(a\), l’une rationnelle et l’autre irrationnelle, puis en déduire que \(f\) est discontinue en \(a\).
- Pour tout réel \(x\), on pose \(E(x) = \lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor\). Calculer \(E(x)\) selon que \(x\) est entier ou non, puis déterminer l’ensemble des points où \(E\) est continue.
Exercice 3 – Valeurs intermédiaires (4 points)
On considère le polynôme \(P(x) = x^5 + 2x – 1\), dont la courbe est tracée ci-dessous. Les questions b et c sont indépendantes de la question a.
- Démontrer que l’équation \(P(x) = 0\) admet une unique solution réelle \(\alpha\), puis que \(\frac{1}{4} < \alpha < \frac{1}{2}\).
- Soit \(g : [0, 1] \to [0, 1]\) une fonction continue. Prouver que \(g\) admet un point fixe.
- Soit \(k : [0, 1] \to \mathbb{R}\) continue telle que \(k(0) = k(1)\). Justifier l’existence de \(c \in \left[0, \frac{1}{2}\right]\) tel que \(k\left(c + \frac{1}{2}\right) = k(c)\).
Exercice 4 – Une bijection vers un intervalle ouvert (4 points)
Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x) = \dfrac{x}{2 + |x|}\). Sa courbe représentative est donnée ci-dessous.
- Justifier que \(f\) est continue et impaire sur \(\mathbb{R}\). Montrer ensuite, sans dériver, que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
- Calculer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\). En déduire que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\left]-1, 1\right[\), en citant le théorème utilisé.
- Déterminer l’expression de \(f^{-1}(y)\) pour tout \(y \in \left]-1, 1\right[\).
- Établir que \(|f(x) – f(t)| \leq \frac{1}{2}|x – t|\) pour tous réels \(x\) et \(t\). Que peut-on alors dire de la continuité de \(f\) ?
Exercice 5 – Problème : racine carrée et théorème de Heine (5 points)
Une fonction \(\varphi\) définie sur un intervalle \(I\) est uniformément continue sur \(I\) lorsque, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(\delta > 0\) tel que, pour tous \(x, y \in I\), \(|x – y| < \delta\) entraîne \(|\varphi(x) – \varphi(y)| < \varepsilon\).
Partie A : la racine carrée.
- Montrer que, pour tous réels \(a \geq 0\) et \(b \geq 0\), on a \(\left|\sqrt{a} – \sqrt{b}\right| \leq \sqrt{|a – b|}\).
- Conclure alors à la continuité uniforme de \(x \mapsto \sqrt{x}\) sur \(\left[0, +\infty\right[\).
- Établir cependant que la racine carrée n’est pas lipschitzienne sur \([0, 1]\) : aucun réel \(M\) ne vérifie \(\left|\sqrt{s} – \sqrt{t}\right| \leq M\,|s – t|\) pour tous \(s, t\) de ce segment.
Partie B : la fonction carré. La figure montre les intervalles \(\left[n, n + \frac{1}{n}\right]\) pour \(n = 1, 2, 3\) et leurs images par \(x \mapsto x^2\).
- Écrire la négation de la continuité uniforme, puis démontrer que \(x \mapsto x^2\) n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).
Partie C : une application du théorème de Heine. Soit \(u : \left[0, +\infty\right[ \to \mathbb{R}\) une fonction continue qui admet une limite finie \(\ell\) en \(+\infty\).
- Rappeler l’énoncé du théorème de Heine. Démontrer ensuite que \(u\) est uniformément continue sur \(\left[0, +\infty\right[\). On pourra fixer \(A\) tel que \(|u(x) – \ell| < \frac{\varepsilon}{2}\) pour \(x \geq A\), puis travailler sur le segment \([0, A + 1]\).
Réviser continuité uniforme et bijection continue avant le contrôle
La page contrôles de maths en L1 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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