QCM : Rolle et accroissements finis en maths sup (MPSI)

Réponse C.

La tangente en \(a\) a pour équation \(y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)\). Ici, \(f^{\prime}(x)=\frac{2}{1+2x}\), donc \(f^{\prime}(1)=\frac23\), et \(f(1)=\ln3\). La réponse \(\frac23x+\ln3\) oublie de remplacer \(x\) par \(x-1\). Le coefficient \(\frac13\) néglige le facteur \(2\) de la dérivée intérieure. Enfin, la droite sans \(\ln3\) ne passe pas par le point de la courbe.

Réponse B.

Le taux d’accroissement de \(x\,|x|\) en \(0\) vaut \(|h|\), qui tend vers \(0\) : la fonction est dérivable, de dérivée nulle. Pour \(|x|\), ce taux vaut \(\pm1\) selon le signe de \(h\), donc les deux demi-tangentes diffèrent. La racine cubique a un taux \(h^{-2/3}\), qui tend vers \(+\infty\) : sa tangente est verticale. Enfin, \(\sqrt{|x|}\) donne un taux non borné, avec un point de rebroussement.

Réponse B.

On cherche d’abord l’antécédent : \(f(1)=3\). Ensuite, \(f^{\prime}(1)=3+1=4\neq0\), donc \((f^{-1})^{\prime}(3)=\frac{1}{f^{\prime}(1)}=\frac14\). La réponse \(\frac{1}{28}\) évalue la dérivée en \(3\) au lieu de l’antécédent \(1\). Le nombre \(4\) oublie de passer à l’inverse. Enfin, \(\frac13\) confond la dérivée de la réciproque avec l’inverse du point considéré.

Réponse D.

Sur un ouvert, un extremum local est un point critique, mais la réciproque est fausse. Par exemple, \(t\mapsto t^3\) a une dérivée nulle en \(0\) alors qu’elle est strictement croissante. Le piège « extremum local » renverse donc l’implication du cours. L’option « global » aggrave la même erreur. Enfin, une dérivée nulle en un seul point ne dit rien sur les points voisins : seule une dérivée nulle sur tout un intervalle rend la fonction constante.

Réponse D.

Rolle demande la continuité sur le segment, la dérivabilité sur l’intervalle ouvert et des valeurs égales aux bornes. Ici \(f(0)=f(2)=1\), et \(f\) est continue. Cependant, \(f\) n’est pas dérivable en \(1\), et sa dérivée vaut \(\pm1\) partout ailleurs, sans jamais s’annuler. Le piège sur les valeurs aux bornes est un calcul faux. La continuité ne pose aucun problème. Enfin, \(c=1\) est le point anguleux, où \(f^{\prime}(1)\) n’existe même pas.

Réponse C.

On range les zéros \(x_1<x_2<x_3<x_4\). Rolle, appliqué sur chacun des trois intervalles, fournit trois zéros distincts de \(f^{\prime}\), un par intervalle. On recommence avec \(f^{\prime}\), et l’on obtient deux zéros distincts de \(f^{\prime\prime}\). La valeur \(3\) s’arrête à la dérivée première. La valeur \(1\) retire un zéro de trop. Enfin, \(4\) suppose que la dérivation conserve le nombre de zéros, ce qui est faux.

Réponse A.

L’égalité s’écrit \(15=3\times2c\), donc \(c=\frac52\), le milieu du segment, comme toujours pour une parabole. La valeur \(2\) est la moyenne géométrique \(\sqrt{1\times4}\), sans rapport avec cette égalité. Le piège \(\frac{15}{2}\) oublie de diviser par la longueur \(4-1\) ; il sort d’ailleurs de l’intervalle. Enfin, \(c=5\) oublie le facteur \(2\) de la dérivée \(f^{\prime}(c)=2c\).

Réponse A.

Sur \([2,+\infty[\), la dérivée \(\frac1x\) est majorée par \(\frac12\), donc l’inégalité des accroissements finis donne \(k=\frac12\). Cette constante est optimale, car le quotient tend vers \(\frac12\) lorsque \(x\) et \(y\) tendent vers \(2\). La valeur \(1\) convient, mais elle n’est pas la plus petite. Le piège \(\ln2\) majore la fonction elle-même au lieu de sa dérivée. Enfin, \(2\) prend l’inverse de la bonne borne.

Réponse C.

Pour \(\sqrt{x}\), le quotient \(\frac{\sqrt{x}-0}{x-0}=\frac{1}{\sqrt x}\) n’est pas borné près de \(0\). Aucune constante ne convient, bien que la fonction soit continue. En revanche, \(x^2\) a une dérivée majorée par \(2\) sur le segment, et \(\sin(3x)\) par \(3\). Enfin, \(\left|x-\frac12\right|\) est \(1\)-lipschitzienne par l’inégalité triangulaire renversée, malgré son point anguleux : dérivabilité et caractère lipschitzien sont deux notions distinctes.

Réponse B.

Le taux \(\frac{g(x)}{x}=x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\) tend vers \(0\), donc \(g^{\prime}(0)=0\). Pour \(x\neq0\), on a pourtant \(g^{\prime}(x)=3x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)-2\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)\), qui oscille entre des valeurs proches de \(-2\) et \(2\). Le théorème de la limite de la dérivée donne une condition suffisante, pas nécessaire : conclure « pas de limite, donc pas dérivable » l’utilise à l’envers. Ainsi, \(g\) n’est pas \(C^1\), et \(g^{\prime}\) ne tend pas vers \(0\).

Réponse D.

Par la formule de Leibniz, seuls trois termes subsistent, car \(x^2\) a une dérivée troisième nulle. En \(0\), \(x^2\) et \(2x\) s’annulent, donc il reste \(\binom n2\times2\times2^{n-2}=n(n-1)\,2^{n-2}\). La réponse \(n(n-1)\,2^{n-1}\) dérive \(e^{2x}\) une fois de trop. Le nombre \(2^n\) ne garde que le terme où \(x^2\) n’est pas dérivé, nul en \(0\). Enfin, \(\frac{n(n-1)}{2}2^{n-2}\) oublie que \((x^2)^{\prime\prime}=2\).

Réponse A.

Pour une fonction complexe, on écrit \(f(b)-f(a)=\int_a^b f^{\prime}(t)\,\mathrm{d}t\), puis on majore le module de l’intégrale. L’inégalité des accroissements finis subsiste donc. En revanche, \(t\mapsto e^{it}\) sur \([0,2\pi]\) reprend sa valeur initiale sans que sa dérivée \(ie^{it}\) s’annule : Rolle tombe. Par conséquent, l’égalité avec un point \(c\) tombe aussi. Enfin, le carré de \(b-a\) n’a aucune justification.