Ensembles et bijections en L1 de maths : cours et méthodes

On dit que \(A\) est inclus dans \(B\), et on note \(A \subset B\), lorsque tout élément de \(A\) est un élément de \(B\). Autrement dit : \(\forall x, \ (x \in A \Rightarrow x \in B)\).

1. Pour prouver \(A \subset B\), on écrit « Soit \(x \in A\) » puis on traduit cette appartenance par la propriété qui définit \(A\).
2. On transforme cette propriété jusqu’à obtenir celle qui définit \(B\). On conclut : « donc \(x \in B\) ».
3. Pour une égalité, on recommence dans l’autre sens. Si chaque étape est une équivalence, on peut raisonner directement par équivalences.

Posons \(A = \{x \in \mathbb{R} \mid \exists y \in \mathbb{R}, \ x = y^2 + 4y\}\). Nous montrons que \(A = [-4, +\infty[\).

• Inclusion directe : soit \(x \in A\). Il existe donc un réel \(y\) tel que \(x = (y + 2)^2 – 4\). Un carré est positif, d’où \(x \geqslant -4\).
• Inclusion réciproque : soit \(x \geqslant -4\). Le réel \(y = -2 + \sqrt{x + 4}\) est bien défini, et \((y + 2)^2 – 4 = x\). Ainsi \(x \in A\).

Les deux inclusions donnent l’égalité. Notons que la seconde inclusion demande de construire un antécédent : c’est souvent la plus délicate.

Lois de De Morgan. Pour toutes parties \(A\) et \(B\) de \(E\) :

\[ \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \qquad \text{et} \qquad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}. \]

Soit \(x \in E\). Nous raisonnons par équivalences. D’abord, \(x \in \overline{A \cup B}\) signifie que l’on n’a pas « \(x \in A\) ou \(x \in B\) ». Or la négation d’un « ou » est un « et » de négations. Donc cela équivaut à « \(x \notin A\) et \(x \notin B\) », c’est-à-dire \(x \in \overline{A} \cap \overline{B}\). Pour l’autre loi, on remplace \(A\) et \(B\) par leurs complémentaires dans l’égalité obtenue, et l’on prend le complémentaire des deux membres.

On rassemble tous les sous-ensembles de \(E\) en un nouvel ensemble, appelé ensemble des parties de \(E\) et noté \(\mathcal{P}(E)\). Ainsi \(A \in \mathcal{P}(E)\) équivaut à \(A \subset E\).

Le produit cartésien \(E \times F\) est l’ensemble des couples \((x, y)\) avec \(x \in E\) et \(y \in F\). Deux couples sont égaux lorsque leurs premières composantes sont égales et leurs secondes aussi.

Soit \(A\) une partie de \(E\). L’indicatrice de \(A\) est l’application \(\chi_A : E \to \{0, 1\}\) qui vaut \(1\) sur \(A\) et \(0\) sur \(\overline{A}\).

Pour toutes parties \(A\) et \(B\) de \(E\) :

• \(A \subset B\) si et seulement si \(\chi_A \leqslant \chi_B\), et \(A = B\) si et seulement si \(\chi_A = \chi_B\) ;
• \(\chi_{\overline{A}} = 1 – \chi_A\) et \(\chi_{A \cap B} = \chi_A \, \chi_B\) ;
• \(\chi_{A \cup B} = \chi_A + \chi_B – \chi_A \, \chi_B\).

Nous traitons la formule de l’union, les autres étant analogues. Soit \(x \in E\). On distingue quatre cas selon l’appartenance de \(x\) à \(A\) et à \(B\). Si \(x\) n’est dans aucun des deux, les deux membres valent \(0\). S’il est dans un seul, ils valent \(1\). Enfin, s’il est dans les deux, le second membre vaut \(1 + 1 – 1\), donc \(1\). Dans chaque cas, l’égalité est vérifiée.

Nous montrons que \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\) par les indicatrices.

• Le membre de gauche a pour indicatrice \(\chi_A \left(\chi_B + \chi_C – \chi_B \chi_C\right)\).
• Pour le membre de droite, on utilise \(\chi_A^2 = \chi_A\). On trouve \(\chi_A \chi_B + \chi_A \chi_C – \chi_A \chi_B \chi_C\).
• Les deux expressions coïncident après développement. Donc les deux ensembles sont égaux.

Une application \(f\) de \(E\) dans \(F\) est la donnée de \(E\), de \(F\) et d’une partie \(\Gamma_f\) de \(E \times F\), appelée graphe, telle que : pour tout \(x \in E\), il existe un unique \(y \in F\) avec \((x, y) \in \Gamma_f\). On note alors \(y = f(x)\), et \(\mathcal{F}(E, F)\) l’ensemble de ces applications.

Le cercle \(\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1\}\) n’est pas le graphe d’une application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). D’une part, \(x = 2\) n’a aucune image. D’autre part, \(x = 0\) en aurait deux, à savoir \(1\) et \(-1\). Les deux conditions de la définition échouent.

Soit \(f : E \to F\) et \(A \subset E\). La restriction de \(f\) à \(A\) est l’application \(f_{|A} : A \to F\) définie par \(f_{|A}(x) = f(x)\). Inversement, si \(E \subset E^{\prime}\), une application \(g : E^{\prime} \to F\) dont la restriction à \(E\) est \(f\) s’appelle un prolongement de \(f\).

Soit \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\). La composée \(g \circ f : E \to G\) est définie par \((g \circ f)(x) = g(f(x))\).

Soit \(f : E \to F\), \(A \subset E\) et \(B \subset F\).

• L’image directe de \(A\) est \(f(A) = \{f(x) \mid x \in A\}\). Ainsi \(y \in f(A)\) équivaut à : il existe \(x \in A\) tel que \(y = f(x)\).
• L’image réciproque de \(B\) est \(f^{-1}(B) = \{x \in E \, | \, f(x) \in B\}\). Ainsi \(x \in f^{-1}(B)\) équivaut à \(f(x) \in B\).

Soit \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2 – 2x\). On écrit d’abord \(f(x) = (x – 1)^2 – 1\).

• Image directe de \([-1, 2]\) : quand \(x\) décrit cet intervalle, \(x – 1\) décrit \([-2, 1]\), donc \((x – 1)^2\) décrit \([0, 4]\). Par conséquent, \(f([-1, 2]) = [-1, 3]\).
• Image réciproque de \([0, 3]\) : la condition \(0 \leqslant (x – 1)^2 – 1 \leqslant 3\) équivaut à \(1 \leqslant |x – 1| \leqslant 2\). Donc \(f^{-1}([0, 3]) = [-1, 0] \cup [2, 3]\).

Pour l’image directe, on vérifie que chaque valeur de \([0, 4]\) est atteinte : c’est le cas, car \(t \mapsto t^2\) est continue sur \([-2, 1]\) et prend les valeurs \(0\) et \(4\).

Soit \(f : E \to F\), des parties \(A, \tilde{A}\) de \(E\) et \(B, \tilde{B}\) de \(F\).

• L’image réciproque respecte toutes les opérations : \(f^{-1}(B \cup \tilde{B}) = f^{-1}(B) \cup f^{-1}(\tilde{B})\), \(f^{-1}(B \cap \tilde{B}) = f^{-1}(B) \cap f^{-1}(\tilde{B})\) et \(f^{-1}\left(\overline{B}\right) = \overline{f^{-1}(B)}\).
• L’image directe respecte l’union : \(f(A \cup \tilde{A}) = f(A) \cup f(\tilde{A})\).
• Pour l’intersection, on a seulement \(f(A \cap \tilde{A}) \subset f(A) \cap f(\tilde{A})\).
• Enfin, \(A \subset f^{-1}(f(A))\) et \(f(f^{-1}(B)) \subset B\).

Montrons l’inclusion pour l’intersection. Soit \(y \in f(A \cap \tilde{A})\). Il existe alors \(x \in A \cap \tilde{A}\) tel que \(y = f(x)\). Comme \(x \in A\), on a \(y \in f(A)\). De même, \(y \in f(\tilde{A})\). Donc \(y\) appartient à l’intersection. Le point délicat se situe dans l’autre sens : un \(y\) de \(f(A) \cap f(\tilde{A})\) a un antécédent dans \(A\) et un dans \(\tilde{A}\), mais rien n’oblige ces deux antécédents à coïncider.

Avec la fonction carré sur \(\mathbb{R}\), \(A = [-3, -1]\) et \(\tilde{A} = [1, 3]\), on a \(A \cap \tilde{A} = \varnothing\), donc \(f(A \cap \tilde{A}) = \varnothing\). Pourtant, \(f(A) \cap f(\tilde{A}) = [1, 9]\). L’inclusion est donc stricte.

Soit \(f : E \to F\).

• \(f\) est injective si tout \(y \in F\) a au plus un antécédent : \(\forall x, \tilde{x} \in E, \ f(x) = f(\tilde{x}) \Rightarrow x = \tilde{x}\).
• \(f\) est surjective si tout \(y \in F\) a au moins un antécédent, c’est-à-dire \(f(E) = F\).
• \(f\) est bijective si elle est injective et surjective. L’application qui associe à \(y\) son unique antécédent s’appelle la réciproque \(f^{-1} : F \to E\).

1. Injectivité : on suppose \(f(x) = f(\tilde{x})\) et on en déduit \(x = \tilde{x}\). Pour une fonction réelle, la stricte monotonie suffit.
2. Non-injectivité : on exhibe deux éléments distincts de même image.
3. Surjectivité : on fixe \(y \in F\) et on résout \(f(x) = y\), ou on construit une solution.
4. Bijectivité : si la résolution de \(f(x) = y\) donne une unique solution pour chaque \(y\), on obtient d’un coup la bijectivité et la formule de \(f^{-1}\).

Soit \(f \colon \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} \setminus \{2\}\), \(f(x) = \frac{2x + 3}{x – 1}\).

• L’application est bien définie : si l’on avait \(f(x) = 2\), on aurait \(2x + 3 = 2x – 2\), ce qui est absurde.
• Soit \(y \neq 2\). Pour \(x \neq 1\), l’équation \(f(x) = y\) équivaut à \(x(y – 2) = y + 3\), donc à \(x = \frac{y + 3}{y – 2}\).
• Cette valeur est différente de \(1\), sinon \(y + 3 = y – 2\). Elle convient donc, et c’est la seule.

Ainsi \(f\) est bijective, et \(f^{-1}(y) = \frac{y + 3}{y – 2}\).

Soit \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\).

• Deux injections se composent en une injection, et deux surjections en une surjection.
• L’injectivité de la composée \(g \circ f\) entraîne celle de \(f\), la première appliquée. Sa surjectivité entraîne celle de \(g\), la dernière appliquée.
• Pour que \(f\) soit bijective, il faut et il suffit qu’une application \(h\) de \(F\) vers \(E\) vérifie à la fois \(h \circ f = \mathrm{id}_E\) et \(f \circ h = \mathrm{id}_F\). Une telle \(h\) est alors la réciproque de \(f\).

Prouvons le deuxième point. Supposons \(g \circ f\) injective et soit \(x, \tilde{x}\) tels que \(f(x) = f(\tilde{x})\). En appliquant \(g\), il vient \(g(f(x)) = g(f(\tilde{x}))\). L’injectivité de \(g \circ f\) donne alors \(x = \tilde{x}\). De même, si \(g \circ f\) est surjective, tout \(z \in G\) s’écrit \(g(f(x))\). Il a donc l’antécédent \(f(x)\) par \(g\).

Une fonction réelle de \(E\) dans \(F\) est injective lorsque chaque droite horizontale \(y = b\), avec \(b \in F\), coupe son graphe au plus une fois. Elle est surjective lorsque chacune de ces droites le coupe au moins une fois. De plus, une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection de cet intervalle sur son image.

Soit \(u(x) = x^3 – 3x\), de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).

• Non-injectivité : on a \(u(0) = 0\) et \(u\left(\sqrt{3}\right) = 3\sqrt{3} – 3\sqrt{3} = 0\). La droite \(y = 0\) coupe donc le graphe au moins deux fois.
• Surjectivité : \(u\) est continue, de limite \(-\infty\) en \(-\infty\) et \(+\infty\) en \(+\infty\). Par le théorème des valeurs intermédiaires, toute valeur réelle est atteinte.
• Restriction bijective : la dérivée \(3(x^2 – 1)\) est strictement positive sur \(]1, +\infty[\). Ainsi \(u\) est strictement croissante sur \([1, +\infty[\), avec \(u(1) = -2\). Par conséquent, sa restriction de \([1, +\infty[\) sur \([-2, +\infty[\) est bijective.

Cet exemple montre qu’on rend une application bijective en réduisant l’ensemble de départ, puis en ajustant l’ensemble d’arrivée à l’image. Cependant, la formule de la réciproque n’est pas toujours explicite : ici, il faudrait résoudre une équation du troisième degré.

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