Fonctions arc et hyperboliques en L1 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Équations avec puissances et logarithmes

1. Simplifier \(A = e^{2\ln(3) – \ln(6)}\), \(B = \ln\!\left(\dfrac{e^5}{\sqrt{e}}\right)\) et \(C = 8^{2/3}\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(4^x – 3 \times 2^x – 4 = 0\).
3. Résoudre l’équation \(\ln(x + 1) + \ln(x – 2) = \ln(4)\), en précisant d’abord son domaine.

Exercice 2 – Quatre limites par croissances comparées

Déterminer les limites suivantes en citant le résultat de croissances comparées utilisé.

1. \(\dfrac{(\ln x)^3}{\sqrt{x}}\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
2. \(\sqrt{x}\,(\ln x)^4\) quand \(x\) tend vers \(0^+\).
3. \(x^5 e^{-x/2}\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
4. \(x^x\) quand \(x\) tend vers \(0^+\).

Exercice 3 – Valeurs remarquables et pièges des fonctions arc

1. Calculer \(\arcsin\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\), \(\arccos\!\left(-\frac{1}{2}\right)\) et \(\arctan(-\sqrt{3})\).
2. Calculer \(\arcsin\!\left(\sin\frac{4\pi}{5}\right)\), \(\arccos\!\left(\cos\left(-\frac{\pi}{7}\right)\right)\) et \(\arctan\!\left(\tan\frac{7\pi}{6}\right)\).

Exercice 4 – Dérivées de fonctions composées usuelles

Pour chaque fonction, préciser le domaine de définition, le domaine de dérivabilité et la dérivée.

1. \(f(x) = \arctan(2x + 1)\).
2. \(g(x) = \arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right)\).
3. \(h(x) = \operatorname{th}(3x)\).
4. \(k(x) = \ln(\operatorname{ch}(x))\).

Exercice 5 – Équations en ch et sh

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.

1. \(\operatorname{ch}(x) = \frac{5}{3}\).
2. \(\operatorname{sh}(x) = \frac{3}{4}\).
3. \(\operatorname{ch}(x) + 2\operatorname{sh}(x) = -1\).

Exercice 6 – Une fonction homographique et sa réciproque

Soit \(f(x) = \dfrac{3x + 2}{x – 1}\), dont la courbe est tracée ci-dessous.

1. Donner le domaine de \(f\), ses asymptotes et son sens de variation.
2. Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) sur un ensemble à préciser.
3. Déterminer \(f^{-1}\), puis contrôler le résultat en calculant \(f(f^{-1}(5))\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Propriétés du logarithme à partir de sa définition

On utilise seulement la définition : \(\ln\) est la primitive de \(t \mapsto 1/t\) sur \(\left]0, +\infty\right[\) nulle en 1.

1. En dérivant \(x \mapsto \ln(1/x)\), montrer que \(\ln(1/x) = -\ln(x)\) pour tout \(x > 0\).
2. Montrer par récurrence que \(\ln(x^n) = n\ln(x)\) pour tout \(x > 0\) et tout entier \(n \geqslant 1\).
3. Établir, pour tout \(x > -1\), l’encadrement \(\dfrac{x}{1 + x} \leqslant \ln(1 + x) \leqslant x\).
4. En déduire la limite de \(\dfrac{\ln(1 + x)}{x}\) quand \(x\) tend vers 0.

Exercice 8 – Arctangente de l’inverse

1. Soit \(\psi(x) = \arctan(x) + \arctan(1/x)\) sur \(\mathbb{R}^{*}\). Calculer \(\psi^{\prime}\) et en déduire la valeur de \(\psi\) sur chacun des intervalles \(\left]0, +\infty\right[\) et \(\left]-\infty, 0\right[\).
2. Pourquoi ne peut-on pas conclure que \(\psi\) est constante sur \(\mathbb{R}^{*}\) ?
3. Montrer que \(2\arctan\!\left(\frac{1}{2}\right) = \arctan\!\left(\frac{4}{3}\right)\), puis calculer \(2\arctan\!\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\!\left(\frac{3}{4}\right)\).

Exercice 9 – Deux preuves d’une simplification

Soit \(g(x) = \arcsin\!\left(\dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)\).

1. Justifier que \(g\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer \(g^{\prime}\) et en déduire que \(g(x) = \arctan(x)\) pour tout réel \(x\).
3. Retrouver ce résultat sans dériver, en posant \(\theta = \arctan(x)\) et en calculant \(\sin(\theta)\).

Exercice 10 – Une équation avec deux arctangentes

On cherche les réels \(x\) tels que \(\arctan(x) + \arctan(2x) = \frac{\pi}{4}\). On note \(\varphi(x) = \arctan(x) + \arctan(2x)\).

1. Montrer que \(\varphi\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\left]-\pi, \pi\right[\). En déduire que l’équation a une unique solution \(x_0\).
2. Calculer \(\varphi\!\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) et en déduire que \(0 < x_0 < \frac{1}{\sqrt{2}}\).
3. Déterminer \(x_0\) explicitement.

Exercice 11 – Asymptotes de x arctan(x)

Soit \(f(x) = x\arctan(x)\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Étudier la parité de \(f\), puis ses variations à l’aide de \(f^{\prime}\).
2. En utilisant l’exercice 8, écrire \(f(x) – \frac{\pi}{2}x\) à l’aide de \(\arctan(1/x)\) pour \(x > 0\).
3. En déduire que la courbe admet une asymptote oblique en \(+\infty\), et préciser la position relative. On pourra utiliser l’inégalité \(\arctan(u) < u\) pour \(u > 0\).
4. Donner l’asymptote en \(-\infty\).

Exercice 12 – Étude complète de x exp(1/x)

Soit \(f(x) = x\,e^{1/x}\) sur \(\mathbb{R}^{*}\).

1. Calculer les limites de \(f\) en \(0^+\) et en \(0^-\).
2. Étudier les variations de \(f\).
3. En reconnaissant un taux d’accroissement de l’exponentielle en 0, montrer que la droite \(y = x + 1\) est asymptote en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
4. Préciser la position de la courbe par rapport à cette asymptote, à l’aide de l’inégalité \(e^u \geqslant 1 + u\).

Exercice 13 – Réciproque de sh : formule et dérivée

1. Montrer que \(\operatorname{sh}\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). On note \(\operatorname{argsh}\) sa réciproque.
2. En résolvant \(\operatorname{sh}(x) = y\) d’inconnue \(x\), montrer que \(\operatorname{argsh}(y) = \ln\!\left(y + \sqrt{y^2 + 1}\right)\).
3. Calculer la dérivée de \(\operatorname{argsh}\) de deux façons : avec la formule précédente, puis avec le théorème de dérivation d’une réciproque.
4. Résoudre \(\operatorname{sh}(x) = 2\).

Exercice 14 – Dériver une réciproque sans formule explicite

Soit \(f(x) = x + e^x\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\), et que sa réciproque \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer \(g(1)\), \(g^{\prime}(1)\) et \(g^{\prime}(1 + e)\).
3. Montrer que \(g^{\prime}(y) = \dfrac{1}{1 + y – g(y)}\) pour tout réel \(y\).

Exercice 15 – Formules d’addition hyperboliques

1. Démontrer que \(\operatorname{ch}(a + b) = \operatorname{ch}(a)\operatorname{ch}(b) + \operatorname{sh}(a)\operatorname{sh}(b)\) et \(\operatorname{sh}(a + b) = \operatorname{sh}(a)\operatorname{ch}(b) + \operatorname{ch}(a)\operatorname{sh}(b)\).
2. En déduire des expressions de \(\operatorname{ch}(2x)\) et de \(\operatorname{sh}(2x)\).
3. Résoudre l’équation \(\operatorname{ch}(2x) = 3\operatorname{ch}(x) – 2\).
4. Montrer que \(\operatorname{th}(a + b) = \dfrac{\operatorname{th}(a) + \operatorname{th}(b)}{1 + \operatorname{th}(a)\operatorname{th}(b)}\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Encadrer l’arctangente près de 0

1. Montrer que, pour tout \(x \geqslant 0\) : \(x – \dfrac{x^3}{3} \leqslant \arctan(x) \leqslant x\).
2. Montrer de même que \(\arctan(x) \leqslant x – \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5}\) pour tout \(x \geqslant 0\).
3. En déduire la limite de \(\dfrac{x – \arctan(x)}{x^3}\) quand \(x\) tend vers \(0^+\), puis quand \(x\) tend vers 0.

Exercice 17 – Arctangente du sinus hyperbolique

Soit \(g(x) = \arctan(\operatorname{sh}(x))\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Calculer \(g^{\prime}\) et l’exprimer simplement à l’aide de \(\operatorname{ch}\).
2. Montrer que \(g\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[\).
3. Montrer que \(g(x) = 2\arctan(e^x) – \frac{\pi}{2}\) pour tout réel \(x\).
4. À l’aide de l’exercice 13, montrer que \(g^{-1}(\theta) = \ln\!\left(\tan(\theta) + \dfrac{1}{\cos(\theta)}\right)\) pour \(\theta \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[\), puis calculer \(g^{-1}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\).

Exercice 18 – Problème – Les fonctions qui changent les sommes en produits

On cherche les fonctions \(f\) continues de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), non identiquement nulles, telles que \(f(x + y) = f(x)f(y)\) pour tous réels \(x\) et \(y\).

1. Montrer que \(f(0) = 1\).
2. Montrer que \(f(x) > 0\) pour tout réel \(x\). On pourra écrire \(x = \frac{x}{2} + \frac{x}{2}\).
3. On pose \(g = \ln \circ f\). Montrer que \(g(x + y) = g(x) + g(y)\), puis que \(g(r) = r\,g(1)\) pour tout rationnel \(r\).
4. En utilisant la densité de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{R}\) et la continuité de \(g\), montrer que \(g(x) = x\,g(1)\) pour tout réel \(x\).
5. Conclure que \(f(x) = a^x\) avec \(a = f(1) > 0\), et vérifier la réciproque.
6. Variante : soit \(h\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \(h^{\prime} = h\) et \(h(0) = 1\). En étudiant \(x \mapsto h(x)e^{-x}\), montrer que \(h = \exp\).

Pour aller plus loin

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