QCM : Intégrale et sommes de Riemann en maths sup (MPSI)

Réponse A.

La racine carrée est continue sur le segment \([0,1]\), donc uniformément continue d’après le théorème de Heine, même si sa dérivée explose en 0. En revanche, \(x^2\) a des écarts \((x+h)^2-x^2\) qui grandissent avec \(x\). De même, \(1/x\) varie de plus en plus vite près de 0 : l’intervalle n’est pas fermé. Enfin, \(\sin(x^2)\) oscille de plus en plus vite à l’infini.

Réponse A.

La partie entière de \(3x\) est constante sur \([0,\frac13[\), \([\frac13,\frac23[\) et \([\frac23,1[\) : c’est même une fonction en escalier. Cependant, une fonction continue par morceaux doit avoir des limites finies aux bornes de chaque morceau. Or \(1/x\) tend vers l’infini en 0, et \(\sin(1/x)\) n’y a pas de limite. Enfin, l’indicatrice des rationnels est discontinue en tout point.

Réponse C.

Comme \(-|f|\le f\le|f|\), la croissance de l’intégrale, valable car \(a<b\), donne l’inégalité triangulaire intégrale. Le sens inverse échoue pour \(f(x)=x\) sur \([-1,1]\) : l’intégrale vaut 0, alors que celle de \(|f|\) vaut 1. De plus, l’intégrale de \(f\) peut être négative, ce qui ruine la deuxième inégalité. Enfin, la fonction constante égale à 1 sur \([0,\frac12]\) contredit la dernière.

Réponse B.

Si \(f\) est continue, positive et non nulle en un point, elle reste au-dessus d’un seuil strictement positif sur un petit intervalle, ce qui rend l’intégrale strictement positive. Par conséquent, \(f\) est nulle. Cependant, la fonction en escalier valant 1 en \(\frac12\) et 0 ailleurs est positive, d’intégrale nulle, et non nulle : la continuité par morceaux ne suffit donc pas. Enfin, la dérivabilité n’est pas nécessaire.

Réponse D.

La valeur moyenne vaut \(\frac{1}{\pi-0}\int_0^\pi\sin t\,dt\). Or \(\int_0^\pi\sin t\,dt=[-\cos t]_0^\pi=2\), donc la moyenne est \(2/\pi\), environ \(0{,}64\). La réponse 2 oublie de diviser par la longueur de l’intervalle. Ensuite, \(1/\pi\) provient d’une primitive mal évaluée en 0. Enfin, 0 est la moyenne sur une période entière \([0,2\pi]\), et non sur \([0,\pi]\).

Réponse D.

Pour une fonction \(T\)-périodique, l’intégrale sur un intervalle de longueur \(T\) ne dépend pas de son point de départ. Ici, l’intervalle \([5,5+4\pi]\) couvre exactement deux périodes, donc l’intégrale vaut \(2\times3=6\). La réponse 3 ne compte qu’une période. En outre, 12 double la longueur deux fois. Enfin, le point de départ 5 n’a aucune influence, grâce à la relation de Chasles et à la périodicité.

Réponse C.

On factorise \(n\) sous la racine : le terme général s’écrit \(\frac1n\cdot\frac{1}{\sqrt{1+2k/n}}\). On reconnaît donc une somme de Riemann de \(x\mapsto(1+2x)^{-1/2}\) sur \([0,1]\), qui tend vers \(\left[\sqrt{1+2x}\right]_0^1=\sqrt3-1\). La réponse \(2(\sqrt3-1)\) oublie le facteur \(\frac12\) venu de la dérivée de \(1+2x\). Par ailleurs, \(\sqrt3\) néglige la valeur de la primitive en 0.

Réponse A.

Les points \(k/n\) parcourent \([0,2]\) avec un pas \(\frac1n\), puisque \(k\) va jusqu’à \(2n\). La somme est donc une somme de Riemann de \(x\mapsto x^2\) sur \([0,2]\), qui tend vers \(\int_0^2x^2\,dx=\frac83\). Le piège \(\frac13\) intègre sur \([0,1]\) par réflexe. En outre, \(\frac43\) divise à tort par la longueur de l’intervalle, comme pour une valeur moyenne.

Réponse B.

On note \(G\) une primitive de \(t\mapsto e^{-t^2}\), qui est continue. Alors \(F(x)=G(x^2)-G(x)\), et la dérivation d’une composée donne \(F^{\prime}(x)=2x\,G^{\prime}(x^2)-G^{\prime}(x)=2xe^{-x^4}-e^{-x^2}\). La réponse sans facteur \(2x\) oublie la dérivée de la borne \(x^2\). Ensuite, le signe plus néglige que \(x\) est la borne inférieure. Enfin, \(e^{-x^2}\) en premier terme évalue mal l’exposant \((x^2)^2\).

Réponse B.

Puisque \(f\) est bornée par un réel \(M\), on a \(|G(x)-G(y)|\le M|x-y|\) : la fonction \(G\) est lipschitzienne, donc continue. Cependant, en un point de saut de \(f\), elle présente un point anguleux. Par exemple, \(f=\mathbf{1}_{[1/2,1]}\) donne \(G(x)=\max(0,x-\frac12)\), non dérivable en \(\frac12\). Le théorème fondamental exige donc la continuité de \(f\). Enfin, \(G\) est affine par morceaux ici, pas en escalier.

Réponse D.

À l’ordre \(n\), le reste vaut \(\int_0^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt\). Ici \(n=1\), d’où un noyau \(x-t\) et la dérivée seconde. On le retrouve par une intégration par parties sur \(\int_0^xf^{\prime}(t)\,dt\). Le noyau \(\frac{(x-t)^2}{2}\) correspond à l’ordre suivant, qui exige \(f^{(3)}\). De plus, le noyau \(t\) inverse le rôle des variables : il produit \(xf^{\prime}(x)-f(x)+f(0)\), sans rapport avec le reste cherché.

Réponse C.

L’inégalité s’écrit \(\left|e^{x}-\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)\right|\le\frac{M|x|^3}{3!}\), où \(M\) majore \(\exp\) sur \([0;0{,}1]\). Avec \(M=3\) et \(x=0{,}1\), on obtient \(\frac{3\times10^{-3}}{6}=5\times10^{-4}\). La réponse \(3\times10^{-3}\) oublie la factorielle. Ensuite, \(1{,}5\times10^{-3}\) divise par 2 au lieu de 6. Enfin, \(5\times10^{-5}\) utilise une puissance quatrième de \(x\).