Covariance et fonctions génératrices : contrôle de maths en L2
Voici un contrôle de maths en L2 sur le thème « covariance et fonctions génératrices », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente clôt le chapitre sur les couples de variables aléatoires discrètes, en fin de semestre 3. D’abord, vous lirez une loi conjointe donnée par un diagramme, puis vous construirez vous-même un tableau de loi à partir d’un tirage. Les lois marginales, l’indépendance et la covariance y sont exigées avec justification. Ensuite, le troisième exercice fait travailler la fonction génératrice : lecture d’une loi, moments et loi d’une somme. Le quatrième exercice prépare la loi faible des grands nombres par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Enfin, le problème combine un dé et des pièces : vous y relierez conditionnement, fonction génératrice et covariance. Aucune variable à densité n’intervient.
Ce qu’évalue le contrôle : covariance et fonctions génératrices
L’essentiel du sujet
- NiveauL2
- Durée1 heure 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Couples de variables, indépendance et grands nombres (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Construire le tableau de la loi conjointe d’un couple de variables discrètes et en déduire les lois marginales
- Calculer une covariance et l’utiliser pour obtenir la variance d’une somme
- Lire une loi, une espérance et une variance sur une fonction génératrice
- Déterminer la loi d’une somme de variables indépendantes par produit de fonctions génératrices
- Appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la loi faible des grands nombres à une fréquence
Avant de commencer le devoir
Avant tout calcul de covariance, vérifiez que la somme des probabilités du tableau vaut bien 1, car une valeur fausse se propage partout. Pour réfuter l’indépendance, un seul couple de valeurs suffit, alors qu’il faut tous les couples pour l’établir. De plus, quand une fonction génératrice se factorise, reconnaissez une loi usuelle plutôt que de développer. Enfin, citez l’hypothèse d’indépendance chaque fois que vous multipliez des fonctions génératrices ou que vous additionnez des variances.
Le sujet du contrôle : covariance et fonctions génératrices
Exercice 1 – Emprunts à la bibliothèque (3,5 points)
Une bibliothèque universitaire observe ses lecteurs pendant une semaine. Pour un étudiant choisi au hasard, on note \(X\) le nombre de livres empruntés, qui vaut 0, 1 ou 2, et \(Y\) la variable qui vaut 1 si l’étudiant a réservé une salle de travail et 0 sinon. Le diagramme ci-dessous donne la loi conjointe du couple \((X, Y)\) : chaque disque porte la probabilité \(P(X = x, Y = y)\), mais l’une d’elles, notée \(a\), est inconnue.
- Déterminer la valeur de \(a\).
- Donner les lois marginales de \(X\) et de \(Y\), puis calculer \(E(X)\) et \(E(Y)\).
- Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ? Justifier.
- Calculer \(\mathrm{Cov}(X, Y)\) et interpréter son signe.
- Déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant \(Y = 1\), puis l’espérance correspondante.
Exercice 2 – Deux jetons dans un sac (4 points)
Un sac contient quatre jetons indiscernables au toucher : deux rouges, un vert et un bleu. On tire simultanément deux jetons, chaque paire ayant la même probabilité d’être obtenue. On note alors \(R\) le nombre de jetons rouges tirés et \(N\) le nombre de jetons verts tirés.
- Dresser le tableau de la loi conjointe du couple \((R, N)\), en faisant figurer toutes les valeurs possibles, y compris celles de probabilité nulle.
- En déduire les lois marginales de \(R\) et de \(N\), ainsi que leurs espérances.
- Calculer \(\mathrm{Cov}(R, N)\). Expliquer ensuite pourquoi son signe était prévisible.
- Calculer \(V(R + N)\) à l’aide de la covariance, puis vérifier le résultat en déterminant directement la loi de \(R + N\).
Exercice 3 – Une fonction génératrice à décoder (3,5 points)
Une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) a pour fonction génératrice :
\[G_X(s) = \frac{s\,(2 + s)^2}{9} \quad \text{pour tout } s \in [-1, 1].\]
- Développer \(G_X(s)\) et en déduire la loi de \(X\).
- Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\) à l’aide des dérivées de \(G_X\) en 1.
- Montrer, sans revenir à la loi, que \(X – 1\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
- Soit \(X_1, \ldots, X_n\) des variables indépendantes de même loi que \(X\) et \(S_n = X_1 + \cdots + X_n\). Déterminer la loi de \(S_n – n\), puis calculer \(P(S_n = n)\).
Exercice 4 – Fréquence de mesures erronées (3 points)
Un laboratoire calibre un capteur de température. Chaque mesure est erronée avec une probabilité \(p \in \, ]0, 1[\) inconnue, indépendamment des autres mesures. Pour \(n \geq 1\), on effectue \(n\) mesures et l’on note \(F_n\) la proportion de mesures erronées parmi elles.
- Écrire \(F_n\) à l’aide de variables de Bernoulli, puis calculer \(E(F_n)\) et \(V(F_n)\).
- Montrer que \(p(1 – p) \leq \frac{1}{4}\). En déduire, grâce à l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que \(P\left(\left|F_n – p\right| \geq \frac{1}{20}\right) \leq \frac{100}{n}\).
- Combien de mesures suffit-il d’effectuer pour que cette majoration garantisse une probabilité d’écart inférieure ou égale à \(0{,}05\) ?
- Démontrer que, pour tout \(\varepsilon > 0\), \(P\left(\left|F_n – p\right| \geq \varepsilon\right)\) tend vers 0 quand \(n\) tend vers \(+\infty\). Nommer le résultat ainsi établi.
Exercice 5 – Problème : un dé à quatre faces et des pièces (6 points)
Léandre lance d’abord un dé équilibré à quatre faces numérotées de 1 à 4 ; on note \(X\) le résultat. Il lance ensuite \(X\) pièces équilibrées, de façon indépendante. On note alors \(Y\) le nombre de piles obtenus et \(Z = X – Y\) le nombre de faces. Le schéma illustre une partie où le dé donne 3.
- Justifier que, pour \(1 \leq k \leq 4\) et \(0 \leq j \leq k\), on a \(P(X = k, Y = j) = \frac{1}{4}\binom{k}{j}\frac{1}{2^k}\). Dresser ensuite le tableau de la loi conjointe de \((X, Y)\), toutes les probabilités étant écrites avec le dénominateur 64.
- En déduire la loi de \(Y\) et la représenter par un diagramme en bâtons.
- À l’aide de la formule des probabilités totales, montrer que \(G_Y(s) = \frac{1}{4}\sum_{k=1}^{4}\left(\frac{1 + s}{2}\right)^k\). Retrouver ainsi \(P(Y = 0)\), puis calculer \(E(Y)\) et \(V(Y)\).
- Calculer \(E(XY)\) en conditionnant par la valeur de \(X\), puis \(\mathrm{Cov}(X, Y)\).
- Expliquer pourquoi \(Z\) a la même loi que \(Y\). En développant \(V(X) = V(Y + Z)\), calculer \(\mathrm{Cov}(Y, Z)\). Les variables \(Y\) et \(Z\) sont-elles indépendantes ?
Réviser covariance et fonctions génératrices avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours couples de variables, indépendance et grands nombres ; entraînez-vous sur les exercices couples de variables, indépendance et grands nombres avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L2 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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