Polynômes et théorème de d’Alembert en L1 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Degré et coefficient dominant d’une différence de puissances

Pour \(n \geqslant 1\), on pose \(P_n = (X + 2)^n – (X – 2)^n\).

1. Déterminer le degré et le coefficient dominant de \(P_n\).
2. Exprimer \(P_n(-X)\) en fonction de \(P_n\).
3. Enfin, en déduire le degré de \((X^2 + 1) P_n\) et préciser son coefficient dominant.

Exercice 2 – Une division euclidienne posée

Effectuer la division euclidienne de \(A = X^5 – 3X^3 + 2X + 1\) par \(B = X^2 – 2X + 2\). Vérifier le résultat en évaluant en \(1\) et en \(2\).

Exercice 3 – Restes obtenus sans division

On pose \(P = X^{2026} + X + 1\).

1. Déterminer le reste de la division de \(P\) par \(X + 1\).
2. Ensuite, calculer son reste dans la division par \(X^2 – 1\).
3. Enfin, trouver le reste modulo \(X^2 + 1\), en évaluant d’abord en \(i\).

Exercice 4 – Une racine triple cachée

Soit \(P = X^5 – 3X^4 + 4X^3 – 4X^2 + 3X – 1\), dont la courbe est tracée ci-dessous.

1. Déterminer la multiplicité de la racine \(1\) à l’aide des dérivées successives.
2. En déduire la factorisation de \(P\) dans \(\mathbb{R}[X]\), puis dans \(\mathbb{C}[X]\).

Exercice 5 – Factoriser X^6 – 64

La figure place les six racines complexes \(z_0, \dots, z_5\) de \(X^6 – 64\).

1. Donner ces racines sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
2. Ainsi, factoriser \(X^6 – 64\) dans \(\mathbb{C}[X]\).
3. Regrouper ensuite les racines conjuguées pour factoriser dans \(\mathbb{R}[X]\), puis vérifier en développant.

Exercice 6 – Sommes symétriques des racines d’une cubique

On note \(a, b, c\) les racines complexes de \(P = X^3 + 4X^2 – 7X + 1\).

1. Donner \(a + b + c\), \(ab + ac + bc\) et \(abc\).
2. En déduire \(a^2 + b^2 + c^2\), puis \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\).
3. Enfin, calculer \((1 + a)(1 + b)(1 + c)\) de deux façons : avec les fonctions symétriques, puis avec \(P(-1)\).

Exercice 7 – Un polynôme fixé par trois valeurs

1. Déterminer un polynôme \(P\) de degré au plus \(2\) tel que \(P(0) = 1\), \(P(1) = 2\) et \(P(2) = 7\).
2. Montrer ensuite qu’il est unique.
3. Par ailleurs, existe-t-il un polynôme de degré au plus \(2\) qui prend aussi la valeur \(16\) en \(3\) ?

Pour s’entraîner

Exercice 8 – Divisibilité par X^2 – X + 1

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(P_n = (X – 1)^n – X^n + 1\).

1. Déterminer les racines \(\omega\) et \(\overline{\omega}\) de \(X^2 – X + 1\), puis vérifier que \(\omega – 1 = \omega^2\) et \(\omega^6 = 1\).
2. Montrer que \(X^2 – X + 1\) divise \(P_n\) si et seulement si \(\omega^{2n} – \omega^n + 1 = 0\).
3. Par conséquent, déterminer les entiers \(n\) pour lesquels \(X^2 – X + 1\) divise \(P_n\).

Exercice 9 – Deux paramètres pour deux racines

1. Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \(X^2 – 3X + 2\) divise \(P = X^4 + aX^2 + bX\).
2. Ensuite, pour ces valeurs, factoriser \(P\) dans \(\mathbb{R}[X]\).

Exercice 10 – Imposer une racine double

1. Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \(1\) soit racine au moins double de \(P = X^5 + aX + b\).
2. Montrer que \(1\) est alors exactement racine double.
3. Enfin, déterminer le quotient de \(P\) par \((X – 1)^2\), et montrer qu’il n’admet pas \(1\) pour racine.

Exercice 11 – Un système symétrique à trois inconnues

Déterminer tous les triplets \((x, y, z)\) de nombres complexes tels que :

\[\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 6 \\ xyz = -2 \end{cases}\]

On pourra calculer \(xy + xz + yz\), puis former un polynôme dont \(x, y, z\) sont les racines.

Exercice 12 – Factoriser X^4 + 2X^2 + 9

1. Écrire \(X^4 + 2X^2 + 9\) comme une différence de deux carrés, en partant de \((X^2 + 3)^2\).
2. En déduire sa factorisation dans \(\mathbb{R}[X]\), en justifiant l’irréductibilité des facteurs.
3. Enfin, donner ses racines complexes et sa factorisation dans \(\mathbb{C}[X]\).

Exercice 13 – PGCD par l’algorithme d’Euclide

Soient \(A = X^5 – X^4 + 2X^3 – 2X^2 + X – 1\) et \(B = X^4 – 1\).

1. Calculer \(A \wedge B\) par l’algorithme d’Euclide.
2. En déduire des polynômes \(U\) et \(V\) tels que \(AU + BV = A \wedge B\).
3. Enfin, retrouver le PGCD en factorisant \(A\) et \(B\) dans \(\mathbb{R}[X]\).

Exercice 14 – Racines multiples et PGCD avec la dérivée

1. Soit \(P \in \mathbb{C}[X]\) non constant. Montrer que \(P\) a une racine multiple si et seulement si \(P\) et \(P^{\prime}\) ne sont pas premiers entre eux.
2. Déterminer les nombres complexes \(a\) pour lesquels \(X^3 – 3X + a\) a une racine multiple.
3. Enfin, pour chacune de ces valeurs, factoriser le polynôme.

Exercice 15 – Une équation fonctionnelle polynomiale

Déterminer tous les polynômes \(P \in \mathbb{R}[X]\) tels que \(P(X^2) = (X^2 + 1)\, P(X)\).

1. Montrer qu’une solution non nulle est de degré \(2\).
2. Ensuite, conclure en identifiant les coefficients.

Exercice 16 – Reste de X^n par (X – 1)^2

Soit \(n \geqslant 1\). On note \(R_n\) le reste de la division de \(X^n\) par \((X – 1)^2\).

1. Justifier que \(R_n = \alpha X + \beta\), puis obtenir deux équations en évaluant en \(1\) l’égalité de division et sa dérivée.
2. En déduire \(R_n\).
3. Application : déterminer le reste de la division de \(X^{100} – 3X^{50}\) par \((X – 1)^2\).

Pour approfondir

Exercice 17 – Les racines huitièmes de l’unité

1. Déterminer les racines de \(X^8 – 1\) dans \(\mathbb{C}\).
2. Factoriser \(X^8 – 1\) dans \(\mathbb{R}[X]\) en produit d’irréductibles.
3. Ensuite, sans calcul supplémentaire, donner la somme et le produit de ces huit racines.
4. Enfin, vérifier la factorisation en calculant \((X^2 – \sqrt{2}X + 1)(X^2 + \sqrt{2}X + 1)\).

Exercice 18 – PGCD de X^a – 1 et X^b – 1

1. Calculer \((X^{18} – 1) \wedge (X^{12} – 1)\) par l’algorithme d’Euclide.
2. Soient \(a, b \geqslant 1\) et \(a = bq + r\) la division euclidienne de \(a\) par \(b\). Montrer que \(X^b – 1\) divise \(X^{bq} – 1\), puis que le reste de \(X^a – 1\) par \(X^b – 1\) est \(X^r – 1\).
3. Par conséquent, montrer que \((X^a – 1) \wedge (X^b – 1) = X^{a \wedge b} – 1\).

Exercice 19 – Sommes de puissances des racines

On note \(a, b, c\) les racines complexes de \(P = X^3 – X – 1\), et \(S_k = a^k + b^k + c^k\) pour \(k \in \mathbb{N}\).

1. Calculer \(S_0\), \(S_1\) et \(S_2\).
2. Montrer que \(S_{k+3} = S_{k+1} + S_k\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\).
3. En déduire \(S_3\), \(S_4\) et \(S_5\). Vérifier ensuite \(S_3\) à l’aide de \(abc\).
4. Enfin, calculer \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\).

Exercice 20 – Problème : racines rationnelles et irréductibilité

On considère \(P = a_n X^n + \dots + a_1 X + a_0\), dont tous les coefficients sont dans \(\mathbb{Z}\), avec \(a_n a_0 \neq 0\).

1. Supposons que \(P(p/q) = 0\), où \(p \in \mathbb{Z}\), \(q \in \mathbb{N}^*\) et \(p \wedge q = 1\). Montrer que \(p\) divise \(a_0\) et que \(q\) divise \(a_n\). Pour cela, multiplier \(P(p/q) = 0\) par \(q^n\), puis appliquer le lemme de Gauss dans \(\mathbb{Z}\).
2. Application : factoriser \(2X^3 – 3X^2 – 3X + 2\) dans \(\mathbb{R}[X]\) en cherchant ses racines rationnelles.
3. Montrer que \(Q = X^3 – 3X + 1\) n’a aucune racine rationnelle.
4. En déduire que \(Q\) ne peut pas s’écrire comme produit de deux polynômes non constants à coefficients rationnels.
5. Calculer \(Q(-2)\), \(Q(0)\), \(Q(1)\) et \(Q(2)\). En déduire que \(Q\) a trois racines réelles, toutes irrationnelles.
6. Enfin, calculer la somme des carrés de ces trois racines.

Pour aller plus loin

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