Taylor-Young et DL usuels en L1 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Comparer avec o, O et équivalents

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis justifier.

1. En 0, \(x^2=o(x)\).
2. En \(+\infty\), \(x=o(x^2)\) et \(\ln x=o(\sqrt{x})\).
3. En 0, \(x^2\sin(1/x)=O(x^2)\), mais \(x^2\sin(1/x)\) n’est pas équivalent à \(x^2\).
4. En \(+\infty\), si \(f\sim g\), alors \(e^{f}\sim e^{g}\).
5. En 0, \(x+x^2\sim x+x^3\), mais \((x+x^2)-x\) n’est pas équivalent à \((x+x^3)-x\).
6. En 0, \(o(x^2)\times O(x^3)=o(x^5)\).

Exercice 2 – DL par somme et produit

Déterminer le développement limité en 0 à l’ordre indiqué.

1. \(\cos x\,\mathrm{ch}\,x\) à l’ordre 4.
2. \(e^{x}(1+x)^{-1/2}\) à l’ordre 3.
3. \(\sin x-x\cos x\) à l’ordre 5.

Exercice 3 – Équivalents élémentaires

Donner un équivalent simple de chaque expression au point indiqué.

1. \(3^{x}-2^{x}\) en 0.
2. \(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\) en 0.
3. \(\ln(\cos 3x)\) en 0.
4. \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\) en \(+\infty\).

Exercice 4 – Dérivées en 0 grâce à l’unicité

On pose \(f(x)=\frac{\cos x}{1+x^2}\) pour \(x\) réel.

1. Justifier sans calcul que le DL de \(f\) en 0 ne contient que des puissances paires.
2. Ensuite, calculer le DL d’ordre 4 de \(f\) en 0.
3. Enfin, en déduire \(f^{\prime\prime}(0)\) et \(f^{(4)}(0)\).

Exercice 5 – Approcher la racine carrée de 1,1

On note \(\varphi(t)=\sqrt{1+t}\) pour \(t>-1\).

1. Écrire le polynôme de Taylor d’ordre 2 de \(\varphi\) en 0.
2. Ensuite, calculer \(\varphi^{\prime\prime\prime}\) et la majorer sur \([0\,;0{,}1]\).
3. Enfin, avec l’inégalité de Taylor-Lagrange, donner une valeur approchée de \(\sqrt{1{,}1}\) et une majoration de l’erreur.

La figure compare \(\varphi\) et son polynôme de Taylor d’ordre 2.

Exercice 6 – Premières limites par DL

Calculer les limites suivantes en 0.

1. \(\frac{e^{2x}-1-2x}{x\sin x}\).
2. \(\frac{1-\cos x}{x\ln(1+x)}\).
3. \(\frac{\mathrm{sh}\,x-x}{x-\arctan x}\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – DL par composition

1. Déterminer le DL d’ordre 3 en 0 de \(\exp\big(\sqrt{1+x}\big)\).
2. De même, développer \(\ln\big(1+\sin^2x\big)\) en 0 à l’ordre 4.

Exercice 8 – DL d’un quotient

1. À l’aide du DL de \(\frac{1}{1+v}\), calculer le DL d’ordre 3 en 0 de \(\frac{1+x}{\cos x+\sin x}\).
2. Ensuite, procéder de la même façon pour \(\frac{1}{1+x+e^{x}}\), toujours à l’ordre 3.

Exercice 9 – Intégrer un DL

1. On pose \(F(x)=\int_0^x e^{-t^2}\,dt\). Déterminer le DL d’ordre 5 de \(F\) en 0.
2. Ensuite, on pose \(h(x)=\arctan(1+x)-\frac{\pi}{4}\). Calculer le DL d’ordre 2 de \(h^{\prime}\) en 0, puis celui de \(h\) à l’ordre 3.

Exercice 10 – Lever des indéterminations

Calculer les limites suivantes.

1. \(\frac{1}{e^{x}-1}-\frac{1}{\sin x}\) quand \(x\) tend vers 0.
2. \(\sqrt{x^2+x}-\sqrt[3]{x^3+x^2}\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
3. \((\mathrm{ch}\,x)^{1/(1-\cos x)}\) quand \(x\) tend vers 0.

Exercice 11 – Prolongement et position de la tangente

Pour \(x\in\,]-\pi\,;\pi[\) non nul, on pose \(f(x)=\frac{x-\sin x}{x(1-\cos x)}\).

1. Montrer que \(f\) se prolonge par continuité en 0, et préciser la valeur \(f(0)\).
2. Ensuite, prouver que le prolongement est dérivable en 0 et donner l’équation de sa tangente.
3. Enfin, préciser la position de la courbe par rapport à cette tangente au voisinage de 0.

Exercice 12 – Asymptotes obliques et position

1. On pose \(f(x)=(x^2+x)\ln\big(1+\frac1x\big)\) sur \(]-\infty\,;-1[\,\cup\,]0\,;+\infty[\). Montrer que \(f\) admet une asymptote oblique en \(+\infty\) et en \(-\infty\), et préciser la position de la courbe.
2. De même, traiter la fonction \(g(x)=\sqrt[3]{x^3+3x^2+1}\), définie sur \(\mathbb{R}\).

La figure montre la courbe de \(g\) et une droite candidate.

Exercice 13 – Reste intégral et encadrement de ln(1,2)

1. Écrire la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre 2 en 0 pour \(t\mapsto\ln(1+t)\).
2. Par conséquent, établir, pour tout \(x\in[0\,;1]\) : \(\frac{x^3}{3(1+x)^3}\leqslant\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}\leqslant\frac{x^3}{3}\).
3. Enfin, donner un encadrement de \(\ln(1{,}2)\) d’amplitude inférieure à \(1{,}2\times10^{-3}\).

Exercice 14 – Équivalents de suites

Trouver un équivalent simple de chaque suite quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

1. \(u_n=n^{1/n}-1\).
2. \(v_n=n\sin\frac1n-\cos\frac1n\).
3. \(w_n=\ln(n+1)-\ln n-\frac1n\).

Exercice 15 – DL en un point autre que 0

1. Déterminer le DL d’ordre 2 de \(\sqrt{x}\) en 4.
2. Ensuite, déterminer le DL d’ordre 3 de \(\tan x\) en \(\frac{\pi}{4}\), de deux façons : par la formule d’addition, puis par Taylor-Young.

Pour approfondir

Exercice 16 – Un DL d’ordre 2 sans dérivée seconde

On pose \(f(x)=1+x+x^2+x^3\sin\frac1x\) pour \(x\neq0\) et \(f(0)=1\).

1. Montrer que \(f\) admet un DL d’ordre 2 en 0 et le donner.
2. Ensuite, établir la dérivabilité de \(f\) en tout réel, puis expliciter \(f^{\prime}(x)\) pour \(x\neq0\) ainsi que \(f^{\prime}(0)\).
3. Enfin, étudier le taux d’accroissement de \(f^{\prime}\) en 0. Quelle conséquence en tirer sur la réciproque de Taylor-Young ?

Exercice 17 – Développement asymptotique d’une suite implicite

Soit \(n\geqslant1\) un entier.

1. Montrer que l’équation \(e^{x}+x=n\) admet une unique solution réelle \(x_n\), et que \(0\leqslant x_n\leqslant\ln n\).
2. Ensuite, vérifier que \(x_n=\ln n+\ln\big(1-\frac{x_n}{n}\big)\), puis que \(x_n\sim\ln n\).
3. Finalement, établir \(x_n=\ln n-\frac{\ln n}{n}+o\big(\frac{\ln n}{n}\big)\).

Exercice 18 – DL d’une fonction réciproque

On pose \(f(x)=x\,e^{x}\) sur \([-1\,;+\infty[\).

1. Montrer que \(f\) réalise une bijection de \([-1\,;+\infty[\) sur \([-\frac1e\,;+\infty[\). On note \(g\) sa réciproque.
2. Ensuite, justifier que \(g\) est de classe \(C^\infty\) sur \(]-\frac1e\,;+\infty[\), puis qu’elle admet un DL d’ordre 3 en 0.
3. Enfin, calculer ce DL en identifiant les coefficients dans \(f(g(y))=y\). Par conséquent, donner un équivalent de \(g\) en 0.

Exercice 19 – Problème : étude complète d’une puissance variable

On pose \(f(x)=x^{1+1/x}=\exp\big((1+\frac1x)\ln x\big)\) pour \(x>0\).

1. Montrer que \(f\) se prolonge par continuité en 0. Le prolongement est-il dérivable en 0 ?
2. Ensuite, en posant \(x=1+h\), montrer que \(f(1+h)=1+2h-\frac{h^3}{2}+o(h^3)\).
3. Par conséquent, donner la tangente en 1 et la nature du point d’abscisse 1.
4. De plus, prouver qu’en \(+\infty\) : \(f(x)=x+\ln x+\frac{(\ln x)^2}{2x}+o\Big(\frac{(\ln x)^2}{x}\Big)\).
5. Finalement, la courbe admet-elle une asymptote oblique en \(+\infty\) ? Comparer la courbe de \(f\) à celle de \(x\mapsto x+\ln x\).

Pour aller plus loin

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