Séries positives, Riemann, Bertrand en L2 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Deux divergences grossières

Montrer que les séries suivantes divergent, en étudiant la limite de leur terme général.

1. \(\sum_{n \geq 1} n \sin\left(\frac{1}{n}\right)\).
2. \(\sum_{n \geq 2} \left(1 – \frac{1}{n}\right)^n\).

Exercice 2 – Une somme télescopique à trois facteurs

On pose \(u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}\) pour \(n \geq 1\).

1. Vérifier que \(u_n = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n+1)} – \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)\).
2. Calculer la somme partielle \(S_N = \sum_{n=1}^{N} u_n\).
3. En déduire que \(\sum u_n\) converge et donner sa somme.

La figure représente les premières sommes partielles.

Exercice 3 – Séries géométriques décalées

1. Calculer \(\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{3^n}{5^{n+1}}\).
2. Calculer \(\sum_{n=1}^{+\infty} \left(-\frac{2}{7}\right)^n\).
3. Déterminer les réels \(x\) pour lesquels \(\sum_{n \geq 0} \frac{(x-1)^n}{2^n}\) converge, et calculer alors sa somme.

Exercice 4 – Quatre natures par équivalent

Déterminer la nature des séries de termes généraux suivants, définis pour \(n \geq 1\).

1. \(a_n = \frac{2n+1}{n^3 – n + 4}\).
2. \(b_n = \sqrt{n+1} – \sqrt{n}\).
3. \(c_n = 1 – \cos\left(\frac{1}{n}\right)\).
4. \(d_n = \ln\left(1 + n^{-2/3}\right)\).

Exercice 5 – Règle de d’Alembert sur quatre séries

À l’aide de la règle de d’Alembert, déterminer la nature des séries de termes généraux suivants.

1. \(\frac{n^4}{4^n}\).
2. \(\frac{5^n}{n!}\).
3. \(\frac{n!}{3^n}\).
4. \(\frac{(2n)!}{(n!)^2\, 5^n}\).

Exercice 6 – Règle de Cauchy sur trois séries

À l’aide de la règle de Cauchy, déterminer la nature des séries de termes généraux suivants, pour \(n \geq 1\).

1. \(\left(\frac{n}{3n+2}\right)^n\).
2. \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n^2}\).
3. \(n^3 \left(\frac{5}{4}\right)^n\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Classer des séries de Bertrand

Déterminer la nature des séries suivantes, indexées par \(n \geq 2\), en justifiant chaque fois le critère utilisé.

1. \(\sum \frac{1}{n \ln n}\).
2. \(\sum \frac{1}{n (\ln n)^3}\).
3. \(\sum \frac{\ln n}{n^{11/10}}\).
4. \(\sum \frac{(\ln n)^5}{n}\).
5. \(\sum \frac{1}{n (\ln n)^{2/3}}\).

Exercice 8 – Preuve du critère de Bertrand pour la puissance 1

Soit \(\beta\) un réel. On étudie \(\sum_{n \geq 2} \frac{1}{n (\ln n)^{\beta}}\).

1. Traiter le cas \(\beta \leq 0\) par comparaison à la série harmonique.
2. On suppose \(\beta > 0\) et l’on pose \(g(t) = \frac{1}{t (\ln t)^{\beta}}\) pour \(t \geq 2\). Montrer que \(g\) est continue, positive et décroissante.
3. Calculer \(\int_2^N g(t)\,\mathrm{d}t\) selon la valeur de \(\beta\), et conclure.

Exercice 9 – Encadrement des sommes de 1 sur racine de k

Pour \(n \geq 1\), on pose \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}\).

1. On note \(h(t) = t^{-1/2}\). Comparer \(h(k)\) à l’intégrale de \(h\) sur \([k, k+1]\) pour \(k \geq 1\), puis sur \([k-1, k]\) pour \(k \geq 2\).
2. En déduire que \(2\sqrt{n+1} – 2 \leq S_n \leq 2\sqrt{n} – 1\).
3. Donner un équivalent de \(S_n\).

Exercice 10 – Reste de la série des inverses des cubes

Pour \(n \geq 1\), on note \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^3}\).

1. Montrer que \(\frac{1}{2(n+1)^2} \leq R_n \leq \frac{1}{2n^2}\).
2. En déduire un équivalent de \(R_n\).
3. Déterminer un entier \(n\) qui garantit que \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^3}\) approche la somme totale à \(10^{-4}\) près.

Exercice 11 – Séries à paramètre réel

Déterminer, selon la valeur du paramètre, la nature des séries suivantes, indexées par \(n \geq 1\).

1. \(\sum n^{a} \left(1 – \cos\frac{1}{n}\right)\), où \(a\) est un réel.
2. \(\sum \left(\sqrt{n^2+1} – n\right)^{b}\), où \(b > 0\).

Exercice 12 – Un produit télescopique sous un logarithme

Pour \(n \geq 2\), on pose \(u_n = \ln\left(1 – \frac{1}{n^2}\right)\).

1. Justifier que \(\sum u_n\) converge, sans calculer sa somme.
2. Écrire \(1 – \frac{1}{n^2}\) comme produit de deux fractions, puis calculer \(\prod_{n=2}^{N}\left(1 – \frac{1}{n^2}\right)\).
3. En déduire la valeur de \(\sum_{n=2}^{+\infty} u_n\).

Exercice 13 – Quand le quotient tend vers 1

Pour \(n \geq 1\), on pose \(u_n = \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}\).

1. Calculer \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) et vérifier que la règle de d’Alembert ne permet pas de conclure.
2. Montrer que la suite \((n u_n)\) est croissante.
3. En déduire que \(u_n \geq \frac{1}{2n}\) pour tout \(n \geq 1\), puis la nature de \(\sum u_n\).

Exercice 14 – Équivalents d’une somme et d’un reste

1. Donner un équivalent simple de \(A_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{k^2+5}\) lorsque \(n \to +\infty\). On admettra \(H_n \sim \ln n\).
2. Justifier la convergence de \(\sum_{k \geq 1} \left(e^{1/k^2} – 1\right)\), puis donner un équivalent de son reste \(B_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \left(e^{1/k^2} – 1\right)\).

Exercice 15 – Équivalent de la somme des racines carrées

Pour \(n \geq 1\), on pose \(T_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}\).

1. Pour \(k \geq 1\), encadrer \(\sqrt{k}\) par \(\int_{k-1}^{k} \sqrt{t}\,\mathrm{d}t\) et \(\int_{k}^{k+1} \sqrt{t}\,\mathrm{d}t\).
2. En déduire \(\frac{2}{3} n^{3/2} \leq T_n \leq \frac{2}{3}\left((n+1)^{3/2} – 1\right)\).
3. Conclure que \(T_n \sim \frac{2}{3} n^{3/2}\).

Exercice 16 – Racine d’un terme de série convergente

Soit \(\sum u_n\) une série convergente à termes positifs, indexée par \(n \geq 1\).

1. Montrer que \(\sqrt{u_n}\,\frac{1}{n} \leq \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{1}{n^2}\right)\), puis que \(\sum \frac{\sqrt{u_n}}{n}\) converge.
2. Montrer que \(\sum u_n^2\) converge.
3. Montrer par un exemple que \(\sum \sqrt{u_n}\) peut diverger.

Pour approfondir

Exercice 17 – Problème : une série de Bertrand à la loupe

Pour \(n \geq 2\), on pose \(u_n = \frac{1}{n (\ln n)^2}\). En cas de convergence, on note \(R_n\) la somme des \(u_k\) pour \(k \geq n+1\).

1. Montrer que \(f : t \mapsto \frac{1}{t (\ln t)^2}\) est décroissante sur \([2,+\infty[\), et que \(\sum u_n\) converge.
2. Établir l’encadrement \(\frac{1}{\ln(n+1)} \leq R_n \leq \frac{1}{\ln n}\) pour \(n \geq 2\).
3. En déduire un équivalent de \(R_n\).
4. Combien de termes faut-il sommer pour être certain d’approcher la somme à \(10^{-2}\) près ? Commenter.

Exercice 18 – Problème : sommation des relations de comparaison

Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites positives, avec \(\sum v_n\) divergente. On note \(U_n = \sum_{k=1}^{n} u_k\) et \(V_n = \sum_{k=1}^{n} v_k\).

1. On suppose \(u_n = o(v_n)\). Soit \(\varepsilon > 0\). Montrer qu’il existe un rang \(N\) tel que \(U_n \leq U_N + \varepsilon V_n\) pour \(n \geq N\), puis que \(U_n = o(V_n)\).
2. On suppose \(u_n \sim v_n\). Montrer que \(U_n \sim V_n\).
3. Application : donner un équivalent de \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k + \sqrt{k}}\). On admettra \(H_n \sim \ln n\).
4. Application : en comparant \(\ln k\) à \(\int_{k-1}^{k} \ln t\,\mathrm{d}t\), montrer que \(\ln(n!) \sim n \ln n\).

Exercice 19 – Problème : une suite récurrente et ses séries

On définit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + u_n^2}\) pour tout \(n \geq 0\).

1. Montrer que \((u_n)\) est strictement positive, décroissante, et qu’elle tend vers \(0\).
2. Montrer que \(\frac{1}{u_{n+1}^2} – \frac{1}{u_n^2} = 2 + u_n^2\).
3. À l’aide de la sommation des relations de comparaison, montrer que \(\frac{1}{u_n^2} \sim 2n\).
4. En déduire un équivalent de \(u_n\), puis la nature des séries \(\sum u_n\), \(\sum u_n^2\) et \(\sum u_n^3\).

La figure compare les premiers termes de la suite à l’équivalent attendu.

Pour aller plus loin

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