Intégrales impropres en L2 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Calcul par la définition

Dans chaque cas, revenir à la définition : calculer l’intégrale sur un segment, puis passer à la limite.

1. Décomposer \(\frac{1}{t(t+3)}\) en éléments simples, puis montrer que \(\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t(t+3)}\) converge et calculer sa valeur.
2. Ensuite, prouver que \(\int_0^{+\infty} \frac{t}{(1+t^2)^2}\,dt\) converge et la calculer.
3. En revanche, montrer que \(\int_0^{+\infty} \frac{t}{1+t^2}\,dt\) diverge.

Exercice 2 – Une borne où la fonction explose

Les fonctions suivantes sont continues sur \([0,3[\) et non bornées au voisinage de 3.

1. Montrer que \(\int_0^3 \frac{dt}{\sqrt{3-t}}\) converge et calculer sa valeur.
2. De même, calculer \(\int_0^3 \frac{dt}{(3-t)^{3/4}}\).
3. Enfin, prouver que \(\int_0^3 \frac{dt}{3-t}\) diverge.

Exercice 3 – Quatre natures par équivalent

Déterminer la nature des intégrales suivantes, en justifiant la positivité et l’équivalent utilisé.

1. Première intégrale : \(\int_1^{+\infty} \frac{t+5}{t^3+2}\,dt\).
2. Deuxième intégrale : \(\int_0^1 \frac{dt}{t^{2/3}(1+t)}\).
3. Troisième intégrale : \(\int_1^{+\infty} \frac{\sqrt{t}}{t+4}\,dt\).
4. Quatrième intégrale : \(\int_0^1 \frac{dt}{e^t – 1}\).

Exercice 4 – Un paramètre aux deux bords

Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\). On considère \(I_\alpha = \int_0^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha (1+t^2)}\).

1. Étudier la convergence du morceau sur \(]0,1]\) selon \(\alpha\).
2. De même, étudier la convergence du morceau sur \([1,+\infty[\) selon \(\alpha\).
3. En déduire l’ensemble des \(\alpha\) pour lesquels \(I_\alpha\) converge, puis calculer \(I_0\).

Exercice 5 – Faux problèmes et vrais problèmes en 0

Pour chacune des intégrales suivantes, dire si la borne 0 pose un faux problème, puis déterminer la nature de l’intégrale.

1. D’abord, \(\int_0^1 \frac{1-\cos t}{t^2}\,dt\).
2. Ensuite, \(\int_0^{\pi/2} \frac{\sin t}{t^{3/2}}\,dt\).
3. Enfin, \(\int_0^1 \frac{\ln(1+t)}{t^2}\,dt\).

Exercice 6 – Une famille calculée par parties

Pour tout entier \(n \geq 0\), on pose \(I_n = \int_0^{+\infty} t^n e^{-t/2}\,dt\).

1. Montrer que \(I_n\) converge pour tout \(n\).
2. Calculer ensuite \(I_0\).
3. Établir, pour \(n \geq 1\), la relation \(I_n = 2n\,I_{n-1}\), à l’aide d’une intégration par parties sur un segment.
4. En déduire une expression de \(I_n\) en fonction de \(n\), puis la valeur de \(I_2\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Intégrales de Bertrand en l’infini

1. Soit \(\beta \in \mathbb{R}\). Calculer \(\int_e^x \frac{dt}{t(\ln t)^\beta}\) pour \(x > e\), en distinguant le cas \(\beta = 1\). En déduire la nature de \(\int_e^{+\infty} \frac{dt}{t(\ln t)^\beta}\).
2. Par comparaison avec une puissance, déterminer la nature de \(\int_3^{+\infty} \frac{dt}{\sqrt{t}\,\ln t}\).
3. De la même façon, étudier \(\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^{5/4}}\,dt\).
4. Enfin, montrer que \(\int_3^{+\infty} \frac{dt}{t\,\ln t\,\ln(\ln t)}\) diverge, en trouvant une primitive.

Exercice 8 – Intégrales de Bertrand près de 0

1. Soit \(\beta \in \mathbb{R}\). À l’aide du changement de variable \(u = -\ln t\), déterminer la nature de \(\int_0^{1/2} \frac{dt}{t\,|\ln t|^\beta}\).
2. En déduire la valeur de \(\int_0^{1/2} \frac{dt}{t\,(\ln t)^2}\).
3. Par ailleurs, déterminer la nature de \(\int_0^{1/3} \frac{dt}{\sin(t)\,(\ln t)^2}\).

Exercice 9 – Deux changements de variable

1. Justifier la convergence de \(\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t\sqrt{t-1}}\) aux deux bornes, puis la calculer avec \(u = \sqrt{t-1}\).
2. De même, calculer \(\int_0^{+\infty} e^{-\sqrt{t}}\,dt\) avec le changement de variable \(t = u^2\).

Exercice 10 – Convergence absolue et calcul complexe

1. Prouver que \(\int_1^{+\infty} \frac{\cos(3t)}{t^2+t}\,dt\) converge absolument.
2. Ensuite, justifier que \(t \mapsto e^{-t}\sin(2t)\) est intégrable sur \([0,+\infty[\).
3. Calculer \(\int_0^{+\infty} e^{(-1+2i)t}\,dt\), puis en déduire la valeur de \(\int_0^{+\infty} e^{-t}\sin(2t)\,dt\).

Exercice 11 – Semi-convergence de cos(t) sur racine de t

On étudie \(\int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{\sqrt{t}}\,dt\). La figure montre la fonction et ses deux enveloppes \(\pm \frac{1}{\sqrt{t}}\).

1. À l’aide d’une intégration par parties sur \([1,x]\), montrer que l’intégrale converge.
2. Établir, pour tout réel \(t\), l’inégalité \(|\cos t| \geq \cos^2 t\).
3. En déduire que \(t \mapsto \frac{\cos t}{\sqrt{t}}\) n’est pas intégrable sur \([1,+\infty[\). Conclure.

Exercice 12 – Le critère de Cauchy en action

1. Pour tout entier \(n \geq 1\), calculer \(\int_{n\pi}^{2n\pi} |\sin t|\,dt\).
2. En déduire que \(\int_{n\pi}^{2n\pi} \frac{|\sin t|}{t}\,dt \geq \frac{1}{\pi}\), puis que \(\int_\pi^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t}\,dt\) diverge, grâce au critère de Cauchy.
3. Soit \(f\) positive, continue et décroissante sur \([1,+\infty[\), telle que \(\int_1^{+\infty} f\) converge. Montrer, avec le critère de Cauchy, que \(x f(x)\) tend vers 0 en \(+\infty\). On pourra minorer \(\int_{x/2}^{x} f\).

Exercice 13 – Deux applications de la règle d’Abel

1. Montrer que \(\int_2^{+\infty} \frac{\sin t}{\ln t}\,dt\) converge.
2. Cependant, montrer que cette intégrale ne converge pas absolument.
3. On pose \(g(t) = \frac{\arctan t}{t}\) pour \(t \geq 1\). Étudier les variations et la limite de \(g\), puis montrer que \(\int_1^{+\infty} \frac{\arctan(t)\,\sin t}{t}\,dt\) converge.

Exercice 14 – Équivalent et encadrement d’un reste

Pour \(x \geq 1\), on pose \(R(x) = \int_x^{+\infty} \frac{dt}{t^3+1}\).

1. Justifier l’existence de \(R(x)\).
2. Par intégration d’un équivalent, montrer que \(R(x) \sim \frac{1}{2x^2}\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
3. Établir plus précisément l’encadrement \(0 \leq \frac{1}{2x^2} – R(x) \leq \frac{1}{5x^5}\).

Exercice 15 – Équivalent d’une intégrale partielle divergente

Pour \(x \geq 2\), on pose \(F(x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t}\).

1. D’abord, montrer que \(F(x)\) tend vers \(+\infty\).
2. Établir, par une intégration par parties, \(F(x) = \frac{x}{\ln x} – \frac{2}{\ln 2} + \int_2^x \frac{dt}{(\ln t)^2}\).
3. Enfin, prouver que \(\int_2^x \frac{dt}{(\ln t)^2} = o(F(x))\), puis en déduire un équivalent simple de \(F(x)\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Problème – Séries et intégrales en parallèle

Soit \(n_0 \geq 1\) un entier et \(f\) une fonction continue, positive et décroissante sur \([n_0,+\infty[\).

1. Montrer que, pour tout entier \(k \geq n_0 + 1\), on a \(f(k) \leq \int_{k-1}^{k} f(t)\,dt \leq f(k-1)\).
2. En déduire que la série \(\sum f(n)\) et l’intégrale \(\int_{n_0}^{+\infty} f\) ont la même nature.
3. Déterminer la nature des séries \(\sum_{n \geq 2} \frac{1}{n \ln n}\) et \(\sum_{n \geq 3} \frac{1}{n (\ln n)^{3/2}}\).
4. Pour \(n \geq 1\), on note \(r_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^3}\). Montrer que \(\frac{1}{2(n+1)^2} \leq r_n \leq \frac{1}{2n^2}\), puis donner un équivalent de \(r_n\).
5. On note \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\). Montrer que \(\ln(n+1) \leq H_n \leq 1 + \ln n\), puis que \(H_n \sim \ln n\).

Exercice 17 – Problème – L’intégrale de Dirichlet

On note \(J = \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt\).

1. D’abord, vérifier que la borne 0 est un faux problème et que \(J\) converge.
2. Ensuite, prouver que \(t \mapsto \frac{\sin^2 t}{t^2}\) est intégrable sur \(]0,+\infty[\).
3. Pour \(0 < \varepsilon < x\), intégrer par parties \(\int_\varepsilon^x \frac{\sin^2 t}{t^2}\,dt\), puis établir \(J = \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2}\,dt\).
4. En déduire que \(J > 0\).
5. Pour \(a \neq 0\) réel, exprimer \(\int_0^{+\infty} \frac{\sin(at)}{t}\,dt\) en fonction de \(J\), selon le signe de \(a\).

Exercice 18 – Problème – Une intégrale logarithmique

1. Justifier la convergence de \(I = \int_0^{+\infty} \frac{\ln t}{1+t^2}\,dt\).
2. À l’aide du changement de variable \(t = \frac{1}{u}\), montrer que \(I = 0\).
3. Soit \(a > 0\). Montrer que \(\int_0^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2+a^2}\,dt\) converge, puis, avec \(t = a u\), qu’elle vaut \(\frac{\pi \ln a}{2a}\).
4. En déduire la valeur de \(\int_0^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2+4}\,dt\).

Exercice 19 – Problème – Une intégrale de Fresnel

On étudie \(S = \int_0^{+\infty} \sin(t^2)\,dt\). La figure montre que la fonction oscille de plus en plus vite sans s’amortir.

1. Pour \(x > 1\), montrer avec \(u = t^2\) que \(\int_1^x \sin(t^2)\,dt = \int_1^{x^2} \frac{\sin u}{2\sqrt{u}}\,du\). En déduire que \(S\) converge.
2. Ensuite, vérifier que \(\sin(t^2)\) ne tend pas vers 0 quand \(t\) tend vers \(+\infty\).
3. De plus, en minorant \(\int_2^x |\sin(t^2)|\,dt\) après le même changement de variable, prouver que \(t \mapsto \sin(t^2)\) n’est pas intégrable sur \([0,+\infty[\).
4. Enfin, montrer que \(\int_0^{+\infty} t\,\sin(t^4)\,dt\) converge et vaut \(\frac{S}{2}\), alors que la fonction \(t \mapsto t\sin(t^4)\) n’est même pas bornée.

Pour aller plus loin

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