Normes et continuité dans R^n en L2 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Trois normes d’un même vecteur

Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(u=(3,-4,12)\) et \(v=(-2,6,3)\).

1. Calculer \(\|u\|_1\), \(\|u\|_2\), \(\|u\|_\infty\), puis les trois normes de \(v\).
2. Vérifier sur ces deux vecteurs l’encadrement \(\|x\|_\infty\leqslant\|x\|_2\leqslant\|x\|_1\).
3. Calculer \(\|u+v\|_1\) et \(\|u+v\|_2\), puis vérifier l’inégalité triangulaire pour ces deux normes.

Exercice 2 – Appartenance à des boules

Dans le plan, on note \(a=(1,-1)\) et on considère les boules ouvertes de centre \(a\) et de rayon 2 pour les trois normes usuelles, notées \(B_1\), \(B_2\) et \(B_\infty\).

1. Écrire \(B_\infty\) comme un produit de deux intervalles.
2. Le point \(p=(2,\tfrac12)\) appartient-il à \(B_1\), à \(B_2\), à \(B_\infty\) ?
3. Même question pour \(q=(-1,0)\). Ce point appartient-il à la boule fermée de centre \(a\) et de rayon 2 pour la norme infinie ?
4. Montrer que \(B_1\subset B_2\subset B_\infty\).

Exercice 3 – Limite d’une suite de R^3

Pour \(k\geqslant1\), on pose \(u_k=\Big(\big(1+\tfrac{2}{k}\big)^k,\ k\sin\tfrac1k,\ \dfrac{k^2+1}{3k^2-k}\Big)\) et \(w_k=\big((-1)^k,\tfrac1k\big)\).

1. Montrer que \((u_k)\) converge dans \(\mathbb{R}^3\) et donner sa limite.
2. Montrer que \((w_k)\) ne converge pas dans \(\mathbb{R}^2\), mais qu’elle admet deux sous-suites convergentes de limites distinctes.

Exercice 4 – Ouvert et fermé définis par des inégalités

On pose \(U=\{(x,y) : x^2+3y<5\}\), \(F=\{(x,y) : |x|\leqslant y\leqslant4\}\) et \(G=\{(x,y) : x>0,\ y\leqslant1\}\).

1. Montrer que \(U\) est un ouvert de \(\mathbb{R}^2\).
2. Montrer que \(F\) est fermé, puis qu’il est compact.
3. Montrer que \(G\) n’est ni ouvert ni fermé.

Exercice 5 – Deux limites en (0, 0) par majoration

Montrer que les fonctions suivantes, définies sur \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\), tendent vers 0 en \((0,0)\).

1. \(f(x,y)=\dfrac{2x^3-y^3}{x^2+y^2}\).
2. \(g(x,y)=xy\ln(x^2+y^2)\).

Exercice 6 – Lignes de niveau de deux fonctions

On considère \(g(x,y)=x^2+4y^2\) et \(h(x,y)=y-x^2\) sur \(\mathbb{R}^2\). La figure représente quelques lignes de niveau de \(g\).

1. Décrire la ligne de niveau \(c\) de \(g\) selon le signe de \(c\). Préciser les demi-axes pour \(c=4\).
2. Décrire les lignes de niveau de \(h\).
3. Montrer que chaque ligne de niveau de \(g\) est compacte, alors qu’aucune ligne de niveau de \(h\) n’est bornée.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Constantes optimales entre normes usuelles

Soit \(n\geqslant2\). On admet les inégalités \(\|x\|_\infty\leqslant\|x\|_2\leqslant\|x\|_1\leqslant\sqrt n\,\|x\|_2\) et \(\|x\|_2\leqslant\sqrt n\,\|x\|_\infty\), valables pour tout \(x\in\mathbb{R}^n\).

1. Montrer que \(\|x\|_1\leqslant n\|x\|_\infty\).
2. Trouver un vecteur non nul pour lequel \(\|x\|_\infty=\|x\|_2=\|x\|_1\).
3. Trouver un vecteur non nul pour lequel \(\|x\|_1=\sqrt n\,\|x\|_2\) et \(\|x\|_2=\sqrt n\,\|x\|_\infty\).
4. En déduire qu’aucune des constantes \(1\), \(\sqrt n\), \(n\) ne peut être remplacée par une constante plus petite.

Exercice 8 – Une norme définie par un maximum

On définit sur le plan l’application \(N(x,y)=\max\big(|x+y|,\ 2|x-y|\big)\).

1. Vérifier que \(N\) satisfait les trois axiomes d’une norme.
2. Représenter la boule unité fermée de \(N\) par deux encadrements.
3. Montrer que \(N\leqslant4\|\cdot\|_\infty\) et que \(\|\cdot\|_\infty\leqslant\tfrac34N\).
4. Montrer que ces deux constantes sont optimales.

Exercice 9 – Intérieur, adhérence et frontière d’une demi-couronne

On considère \(A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 1\leqslant x^2+y^2<9,\ y>0\}\), représentée ci-dessous.

1. Montrer que \(A\) n’est ni ouvert ni fermé.
2. Déterminer l’intérieur de \(A\).
3. Déterminer l’adhérence de \(A\).
4. En déduire la frontière de \(A\) et la décrire géométriquement.

Exercice 10 – Les points rationnels du plan

On note \(\mathbb{Q}^2=\{(x,y) : x\in\mathbb{Q},\ y\in\mathbb{Q}\}\).

1. Montrer que l’intérieur de \(\mathbb{Q}^2\) est vide.
2. Montrer que l’adhérence de \(\mathbb{Q}^2\) est \(\mathbb{R}^2\).
3. En déduire la frontière de \(\mathbb{Q}^2\), puis montrer que \(\mathbb{Q}^2\) n’est ni ouvert ni fermé.

Exercice 11 – Trois limites en (0, 0)

Pour chaque fonction ci-dessous, définie hors de l’origine, dire si elle admet une limite en \((0,0)\), en justifiant.

1. \(f_1(x,y)=\dfrac{x^2-3y^2}{x^2+y^2}\).
2. \(f_2(x,y)=\dfrac{\sin(xy)}{|x|+|y|}\).
3. \(f_3(x,y)=\dfrac{e^{x^2+y^2}-1}{x^2+y^2}\).

Exercice 12 – Une fonction continue sans calcul de limite

On définit \(g\) sur \(\mathbb{R}^2\) par \(g(x,y)=\dfrac{1-\cos(xy)}{y^2}\) si \(y\neq0\), et \(g(x,0)=\dfrac{x^2}{2}\).

1. Soit \(\varphi\) la fonction égale à \(\dfrac{1-\cos t}{t^2}\) si \(t\neq0\) et à \(\tfrac12\) en 0. Établir la continuité de \(\varphi\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Vérifier l’égalité \(g(x,y)=x^2\varphi(xy)\) en tout point du plan.
3. Conclure à la continuité de \(g\) sur \(\mathbb{R}^2\).

Exercice 13 – Extremums d’une forme linéaire sur une boule

On pose \(K=\{(x,y) : |x|+|y|\leqslant3\}\) et \(f(x,y)=x-2y\).

1. Expliquer pourquoi \(f\) possède sur \(K\) une plus grande et une plus petite valeur, sans rien calculer.
2. Établir \(|f(x,y)|\leqslant2(|x|+|y|)\), puis calculer les valeurs extrêmes de \(f\) sur \(K\) et les points qui les réalisent.
3. Sur la boule ouverte \(\{|x|+|y|<3\}\), la fonction \(f\) atteint-elle sa borne supérieure ?

Exercice 14 – Matrices inversibles et matrices orthogonales

On identifie \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) à \(\mathbb{R}^4\) en associant à \(M=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\) le vecteur \((a,b,c,d)\).

1. Prouver que les matrices inversibles forment une partie ouverte \(GL_2(\mathbb{R})\) de \(\mathbb{R}^4\).
2. Montrer que \(GL_2(\mathbb{R})\) n’est ni fermé ni borné.
3. Montrer que l’ensemble \(O_2(\mathbb{R})=\{M : M^{T}M=I_2\}\) est compact.

Exercice 15 – Image continue d’un fermé non borné

Soit \(H=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : xy=1\}\) et \(p(x,y)=x\).

1. Montrer que \(H\) est fermé et non borné.
2. Déterminer \(p(H)\). Cette partie de \(\mathbb{R}\) est-elle fermée ?
3. Déterminer \(p\big(H\cap[-2,2]^2\big)\) et expliquer pourquoi cette image est compacte.

Pour approfondir

Exercice 16 – Distance de l’origine à une hyperbole

Soit \(N\) une norme sur \(\mathbb{R}^n\), \(F\) un fermé non vide et \(a\in\mathbb{R}^n\). On pose \(d(a,F)=\inf\{N(a-z) : z\in F\}\).

1. Soit \(z_0\in F\) et \(r=N(a-z_0)\). Montrer que \(K=F\cap B_f(a,r)\) est un compact non vide.
2. Prouver l’existence d’un point \(z^{*}\) de \(F\) qui réalise \(d(a,F)=N(a-z^{*})\).
3. Dans \(\mathbb{R}^2\), on prend \(F=\{xy=1\}\) et \(a=(0,0)\). Calculer \(d(a,F)\) pour la norme euclidienne et indiquer en quels points de \(F\) elle est réalisée.
4. Même question pour la norme infinie.

Exercice 17 – Suite dans un compact et valeur d’adhérence unique

Une valeur d’adhérence d’une suite \((u_k)\) de \(\mathbb{R}^n\) est la limite d’une de ses sous-suites.

1. On se donne un compact \(K\) et une suite \((u_k)\) d’éléments de \(K\) dont \(\ell\) est la seule valeur d’adhérence. Prouver que \(u_k\) tend vers \(\ell\).
2. Construire une suite de \(\mathbb{R}^2\) qui admet une unique valeur d’adhérence mais qui ne converge pas. Quelle hypothèse manque ?
3. Trouver toutes les valeurs d’adhérence de \(v_k=\big(\cos\tfrac{k\pi}{2},\ \tfrac{k}{k+1}\big)\) et dire si cette suite converge.

Exercice 18 – Continue sur chaque droite mais pas continue

On pose \(f(x,y)=\dfrac{x^4y^2}{x^8+y^4}\) pour \((x,y)\neq(0,0)\) et \(f(0,0)=0\).

1. Montrer que \(0\leqslant f(x,y)\leqslant\tfrac12\) pour tout \((x,y)\).
2. Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\).
3. Prouver que, sur chaque droite qui passe par l’origine, la fonction \(f\) restreinte est continue au point \((0,0)\).
4. Calculer \(f(x,x^2)\) et conclure sur la continuité de \(f\) en \((0,0)\).

Exercice 19 – Problème de synthèse sur l’équivalence des normes

Partie A. On fixe une norme \(N\) sur \(\mathbb{R}^n\), on note \(e_1,\dots,e_n\) les vecteurs de la base canonique et \(\beta\) la somme des \(N(e_i)\).

1. Établir l’inégalité \(N(x)\leqslant\beta\|x\|_\infty\) pour chaque vecteur \(x\).
2. Majorer \(|N(x)-N(y)|\) par \(\beta\|x-y\|_\infty\), puis justifier la continuité de \(N\) pour la norme infinie.
3. Montrer que \(S=\{x : \|x\|_\infty=1\}\) est compacte, puis qu’il existe \(\alpha>0\) tel que \(\alpha\|x\|_\infty\leqslant N(x)\) pour tout \(x\).
4. Conclure que deux normes quelconques sur \(\mathbb{R}^n\) sont équivalentes.

Partie B. Sur \(\mathbb{R}^2\), on pose \(N(x,y)=|x|+|x+2y|\).

1. Montrer que \(N\) est une norme.
2. Montrer que \(N\leqslant4\|\cdot\|_\infty\), avec égalité pour un vecteur non nul à préciser.
3. Calculer la plus petite valeur de \(N\) sur \(S\) et trouver les points de \(S\) qui la réalisent. On distinguera les points où \(|x|=1\) et ceux où \(|y|=1\).
4. En déduire que \([-\tfrac14,\tfrac14]^2\subset\{N\leqslant1\}\subset[-1,1]^2\), puis que la boule unité fermée de \(N\) est compacte. Déterminer ses sommets.

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