DSE et rayon de convergence en L2 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Trois rayons par la règle de d’Alembert

Ici, les coefficients ne s’annulent jamais. Déterminer ainsi le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes.

1. \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{n+2}{3^n} z^n\).
2. \(\displaystyle \sum_{n \geq 1} \frac{n!}{n^n} z^n\).
3. \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{(3n)!}{(n!)^3} z^n\).

Exercice 2 – Rayons de deux séries lacunaires

Dans chaque cas, un grand nombre de coefficients sont nuls. C’est pourquoi on demande de déterminer le rayon en raisonnant à \(z\) fixé.

1. \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} 2^n z^{3n}\).
2. \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{n}{5^n} z^{2n}\).

Exercice 3 – Développement d’une fraction rationnelle

Dans cet exercice, \(f\) désigne la fonction \(x \mapsto \dfrac{1}{(1+x)(3-x)}\), définie sur \(]-1, 3[\).

1. Trouver deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(f(x) = \dfrac{\alpha}{1+x} + \dfrac{\beta}{3-x}\).
2. Ensuite, en déduire le développement en série entière de \(f\) en 0 et préciser son rayon.
3. Enfin, calculer \(f^{(5)}(0)\) sans dériver cinq fois.

Exercice 4 – Logarithme d’un trinôme

On pose \(f(x) = \ln(1 + x – 2x^2)\).

1. D’abord, factoriser \(1 + x – 2x^2\) et déterminer le plus grand intervalle ouvert contenant 0 sur lequel \(f\) est définie.
2. Puis développer \(f\) en série entière en 0, en donnant le coefficient \(a_n\) pour tout \(n \geq 1\).
3. Enfin, déterminer le rayon de convergence de ce développement.

Exercice 5 – Encadrer un rayon avec le lemme d’Abel

Soit \((a_n)\) une suite complexe. On sait seulement que la série \(\sum a_n 3^n\) converge, alors que la série \(\sum a_n (-4)^n\) diverge. Par ailleurs, \(R\) désigne le rayon de \(\sum a_n z^n\). Ainsi, la figure représente les deux cercles en jeu.

1. Montrer que \(3 \leq R \leq 4\).
2. Ensuite, donner la nature des séries \(\sum a_n 2^n\), \(\sum a_n (2\mathrm{i})^n\) et \(\sum a_n 5^n\).
3. De plus, déterminer le rayon de \(\sum a_n z^{2n}\) en fonction de \(R\), puis l’encadrer.
4. Enfin, vérifier que \(a_n = 4^{-n}\) et \(a_n = \dfrac{(-1)^n}{n\, 3^n}\) (pour \(n \geq 1\)) satisfont les hypothèses. Quels sont leurs rayons ?

Exercice 6 – Une somme par dérivation de la série géométrique

Cet exercice montre comment un facteur \(n\) devant \(x^n\) se traite par dérivation.

1. Déterminer le rayon de convergence de \(\displaystyle \sum_{n \geq 1} \frac{n}{3^n} x^n\).
2. Puis calculer sa somme \(S(x)\) en dérivant une série géométrique.
3. Par conséquent, donner la valeur de \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{3^n}\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Produit de Cauchy de l’exponentielle et de la série géométrique

On pose \(f(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{1-x}\) pour \(x \neq 1\).

1. Montrer que \(f\) est développable en série entière sur \(]-1, 1[\), avec \(f(x) = \sum c_n x^n\) et \(c_n = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}\).
2. Ensuite, montrer que le rayon de \(\sum c_n x^n\) vaut exactement 1.
3. Calculer \(c_3\), puis en déduire \(f^{(3)}(0)\). Enfin, contrôler le résultat par la formule de Leibniz.

Exercice 8 – Coefficients (n+1)(n+2) et valeur numérique

Ici, le coefficient est un polynôme de degré 2 en \(n\), sans factorielle.

1. Montrer que, pour \(x \in \, ]-1, 1[\), \(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)(n+2) x^n = \frac{2}{(1-x)^3}\).
2. Ainsi, calculer \(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(n+1)(n+2)}{4^n}\).
3. De même, calculer \(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{4^n}\), puis en déduire \(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^2}{4^n}\).

Exercice 9 – Une série numérique tirée de l’arctangente

Le but est de calculer une série numérique en la reconnaissant comme valeur d’une fonction usuelle.

1. Rappeler le développement en série entière de \(\arctan\) et le démontrer par intégration terme à terme.
2. Ensuite, justifier que l’égalité est valable en \(x = 1/\sqrt{3}\).
3. Par conséquent, donner la valeur de \(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)\, 3^n}\).

Exercice 10 – Somme avec des coefficients 1/(n(n+3))

Cet exercice porte sur la série entière \(\displaystyle \sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n(n+3)}\), dont on note \(S(x)\) la somme.

1. Déterminer d’abord son rayon de convergence \(R\).
2. Ensuite, écrire \(\dfrac{1}{n(n+3)}\) comme combinaison de \(\dfrac{1}{n}\) et \(\dfrac{1}{n+3}\).
3. Calculer \(S(x)\) pour \(x \in \, ]-R, R[\) non nul. Que vaut \(S(0)\) ?
4. Enfin, en déduire \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+3)\, 2^n}\).

Exercice 11 – Binomiaux centraux et racine carrée

1. À l’aide du développement de \((1+u)^\alpha\), montrer que pour \(|x| < 1/4\) :
   \[ \frac{1}{\sqrt{1-4x}} = \sum_{n=0}^{+\infty} \binom{2n}{n} x^n. \]
2. Retrouver le rayon \(1/4\) par la règle de d’Alembert.
3. En élevant au carré, montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
   \[ \sum_{k=0}^{n} \binom{2k}{k} \binom{2n-2k}{n-k} = 4^n. \]

Exercice 12 – Une équation différentielle d’ordre deux

On considère l’équation \((E) : y^{\prime\prime} – 2x y^{\prime} – 2y = 0\) sur \(\mathbb{R}\).

1. On cherche une solution \(y = \sum a_n x^n\) de rayon \(R > 0\). Établir une relation entre \(a_{n+2}\) et \(a_n\).
2. Exprimer \(a_{2k}\) en fonction de \(a_0\) et \(a_{2k+1}\) en fonction de \(a_1\).
3. Ensuite, montrer que les séries obtenues ont un rayon infini.
4. Puis reconnaître la solution telle que \(y(0) = 1\) et \(y^{\prime}(0) = 0\).
5. Justifier que toutes les solutions de \((E)\) sont développables en série entière sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 13 – Un rayon sans règle de d’Alembert

On pose \(a_n = \left(2 + (-1)^n\right)^n\) pour \(n \in \mathbb{N}\).

1. Calculer \(a_{2k}\) et \(a_{2k+1}\). Montrer que \(a_{n+1}/a_n\) n’a pas de limite.
2. Ensuite, montrer que le rayon de \(\sum a_n z^n\) est au moins \(1/3\).
3. Enfin, montrer qu’il vaut exactement \(1/3\).

Exercice 14 – Série des inverses des carrés sur le segment [-1, 1]

On pose \(L(x) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n^2}\).

1. Déterminer le rayon de convergence de cette série entière.
2. De plus, montrer que la série converge normalement sur \([-1, 1]\), puis que \(L\) est continue sur \([-1, 1]\).
3. Ensuite, montrer que \(x L^{\prime}(x) = -\ln(1-x)\) pour tout \(x \in \, ]-1, 1[\).
4. En déduire que, pour \(x \in \, ]-1, 1[\), \(L(x) = \displaystyle -\int_0^x \frac{\ln(1-t)}{t}\, \mathrm{d}t\), en justifiant l’existence de l’intégrale.

Exercice 15 – Développement par une équation différentielle d’ordre un

On définit \(f(x) = \mathrm{e}^{-x^2} \displaystyle \int_0^x \mathrm{e}^{t^2}\, \mathrm{d}t\) pour \(x \in \mathbb{R}\).

1. Montrer que \(f\) est solution du problème \(y^{\prime} + 2x y = 1\), \(y(0) = 0\).
2. Chercher une solution de ce problème sous la forme \(\sum a_n x^n\) : montrer que les coefficients pairs sont nuls et calculer \(a_{2k+1}\).
3. Montrer que cette série a un rayon infini et en déduire le développement de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Une fonction plate non développable

On pose \(h(x) = \mathrm{e}^{-1/x}\) si \(x > 0\) et \(h(x) = 0\) si \(x \leq 0\). La figure montre le graphe de \(h\) sur \([-1, 3]\).

1. Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), il existe un polynôme \(P_n\) tel que \(h^{(n)}(x) = P_n(1/x)\, \mathrm{e}^{-1/x}\) pour \(x > 0\). Exprimer \(P_{n+1}\) en fonction de \(P_n\).
2. Montrer que \(h\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\) et que \(h^{(n)}(0) = 0\) pour tout \(n\).
3. En déduire que \(h\) n’est pas développable en série entière en 0.
4. Montrer que \(\varphi : x \mapsto h(x)\, h(1-x)\) est \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\), strictement positive sur \(]0, 1[\), nulle ailleurs, et non développable en 0.

Exercice 17 – Nombres harmoniques et produit de Cauchy

Pour \(n \geq 1\), le \(n\)-ième nombre harmonique est \(H_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n}\). Par convention, \(H_0 = 0\).

1. Montrer que la série entière \(\sum H_n x^n\) a pour rayon 1.
2. À l’aide d’un produit de Cauchy, montrer que \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} H_n x^n = -\frac{\ln(1-x)}{1-x}\) pour \(x \in \, ]-1, 1[\).
3. En déduire la valeur de \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{H_n}{2^n}\).
4. En intégrant, développer \(x \mapsto \left(\ln(1-x)\right)^2\) en série entière sur \(]-1, 1[\).

Exercice 18 – Problème – Involutions et série génératrice exponentielle

Une involution de \(\{1, \ldots, n\}\) est une bijection \(\sigma\) telle que \(\sigma \circ \sigma = \mathrm{id}\). On note \(t_n\) leur nombre, avec la convention \(t_0 = 1\).

1. Calculer \(t_1\), \(t_2\), \(t_3\) et \(t_4\).
2. En discutant sur l’image de \(n+1\), montrer que \(t_{n+1} = t_n + n\, t_{n-1}\) pour tout \(n \geq 1\).
3. Montrer que \(t_n \leq n!\) pour tout \(n\). On note \(T\) la somme de la série génératrice exponentielle, de terme général \(t_n x^n / n!\). Montrer que son rayon est au moins égal à 1.
4. Montrer que \(T^{\prime}(x) = (1+x) T(x)\) sur \(]-1, 1[\), puis en déduire \(T(x) = \mathrm{e}^{x + x^2/2}\).
5. Développer \(\mathrm{e}^{x + x^2/2}\) par un produit de Cauchy. En déduire que le rayon de cette série génératrice est infini, puis que
   \[ t_n = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{n!}{2^k\, k!\, (n-2k)!}. \]
6. Interpréter le terme d’indice \(k\) de cette somme, puis vérifier la formule pour \(n = 4\).

Pour aller plus loin

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