Barycentres et applications affines en L2 de maths : cours et méthodes

On appelle espace affine dirigé par \(E\) la donnée d’un ensemble \(\mathcal{E}\), supposé non vide et dont les éléments sont nommés points, et d’une application qui associe à deux points \(A\) et \(B\) un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) de \(E\), telle que :

1. relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) pour tous points \(A, B, C\) ;
2. pour tout point \(A\) et tout vecteur \(u\), il existe un unique point \(B\) tel que \(\overrightarrow{AB} = u\). On le note \(B = A + u\).

La dimension de \(\mathcal{E}\) est celle de \(E\).

Soit \(\mathcal{F}\) l’ensemble des polynômes \(P\) de degré au plus 2 tels que \(P(1) = 3\). Cet ensemble n’est pas un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}_2[X]\), car il ne contient pas le polynôme nul. En revanche, si \(P\) et \(Q\) sont dans \(\mathcal{F}\), leur différence vérifie \((P – Q)(1) = 0\). Par conséquent, \(\mathcal{F}\) est un espace affine de direction \(F = \{R \in \mathbb{R}_2[X] : R(1) = 0\}\), qui est de dimension 2. Autrement dit, \(\mathcal{F}\) est un plan affine, par exemple \(\mathcal{F} = 3 + F\).

On dit que \(\mathcal{F} \subset \mathcal{E}\) est un sous-espace affine lorsqu’on peut l’écrire \(\mathcal{F} = A + F = \{A + u : u \in F\}\), avec \(A\) un point de \(\mathcal{E}\) et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\). Le sous-espace \(F\) est alors unique : c’est la direction de \(\mathcal{F}\), égale à \(\{\overrightarrow{MN} : M, N \in \mathcal{F}\}\). De plus, \(\mathcal{F} = B + F\) pour tout point \(B\) de \(\mathcal{F}\).

L’intersection de deux sous-espaces affines \(A + F\) et \(B + G\) est soit vide, soit un sous-espace affine de direction \(F \cap G\). Elle est non vide si et seulement si \(\overrightarrow{AB} \in F + G\).

Si un point \(C\) appartient aux deux, alors \(A + F = C + F\) et \(B + G = C + G\). Ainsi, un point \(M\) est dans l’intersection exactement lorsque \(\overrightarrow{CM} \in F \cap G\). Ensuite, l’existence de \(C\) équivaut à l’écriture \(\overrightarrow{AB} = u – v\) avec \(u \in F\) et \(v \in G\). En effet, on prend \(C = A + u = B + v\).

Deux sous-espaces affines sont parallèles s’ils ont la même direction. Plus généralement, \(\mathcal{F}\) est faiblement parallèle à \(\mathcal{G}\) si \(F \subset G\).

1. Représentation paramétrique : \(A + \operatorname{Vect}(u_1, \dots, u_p)\) est l’ensemble des points \(A + t_1 u_1 + \dots + t_p u_p\), les \(t_i\) parcourant \(\mathbb{R}\).
2. Équations cartésiennes : un hyperplan affine est l’ensemble des points vérifiant \(a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = c\), avec \((a_1, \dots, a_n) \neq 0\). Sa direction est l’hyperplan vectoriel d’équation \(a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0\).

Pour obtenir l’équation du plan passant par trois points non alignés \(A, B, C\) de l’espace :

1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis vérifier qu’ils ne sont pas colinéaires.
2. Écrire que \(M\) est dans le plan si et seulement si \(\det(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0\).
3. Développer ce déterminant pour obtenir \(ax + by + cz = d\).
4. Contrôler en remplaçant les coordonnées de \(B\) et de \(C\).

Prenons \(A(1, 0, 2)\), \(B(2, 1, 0)\) et \(C(0, 3, 1)\). D’abord, \(\overrightarrow{AB} = (1, 1, -2)\) et \(\overrightarrow{AC} = (-1, 3, -1)\) ne sont pas colinéaires. Ensuite, on développe le déterminant selon la première colonne \((x – 1, y, z – 2)\). Les cofacteurs valent 5, 3 et 4. On obtient \(5(x – 1) + 3y + 4(z – 2) = 0\), c’est-à-dire

\[ 5x + 3y + 4z = 13. \]

Enfin, on vérifie : \(B\) donne \(10 + 3 + 0 = 13\) et \(C\) donne \(0 + 9 + 4 = 13\).

Soient \(A_1, \dots, A_p\) des points et \(\lambda_1, \dots, \lambda_p\) des réels de somme \(\Lambda = \lambda_1 + \dots + \lambda_p\) non nulle. Il existe un unique point \(G\) tel que

\[ \lambda_1 \overrightarrow{GA_1} + \dots + \lambda_p \overrightarrow{GA_p} = \vec{0}. \]

On l’appelle barycentre des points pondérés \((A_i, \lambda_i)\). Pour toute origine \(O\), il vérifie \(\overrightarrow{OG} = \dfrac{1}{\Lambda} \sum_{i=1}^{p} \lambda_i \overrightarrow{OA_i}\).

Fixons une origine \(O\). Par Chasles, \(\overrightarrow{GA_i} = \overrightarrow{OA_i} – \overrightarrow{OG}\). L’égalité cherchée devient donc \(\sum_i \lambda_i \overrightarrow{OA_i} – \Lambda \overrightarrow{OG} = \vec{0}\). Comme \(\Lambda \neq 0\), elle détermine un unique vecteur \(\overrightarrow{OG}\), donc un unique point \(G\). Enfin, le résultat ne dépend pas de \(O\), puisque la condition de départ n’en dépend pas.

1. Homogénéité : le barycentre reste le même quand on remplace chaque \(\lambda_i\) par \(c \lambda_i\), pour une constante \(c\) non nulle.
2. Associativité : si \(\lambda_1 + \dots + \lambda_k = \mu \neq 0\) et si \(H\) est le barycentre de \((A_1, \lambda_1), \dots, (A_k, \lambda_k)\), alors on peut remplacer ces \(k\) points par \((H, \mu)\) sans changer le barycentre global.

Dans le plan, prenons \(A(0, 0)\), \(B(6, 0)\) et \(C(0, 3)\). Le barycentre \(G\) de \((A, 2)\), \((B, 1)\) et \((C, -1)\) existe, car la somme des poids vaut 2. Ses coordonnées sont

\[ x_G = \frac{2 \times 0 + 1 \times 6 – 1 \times 0}{2} = 3, \qquad y_G = \frac{2 \times 0 + 1 \times 0 – 1 \times 3}{2} = -\frac{3}{2}. \]

Le poids négatif de \(C\) « repousse » le point \(G\) hors du triangle. Par ailleurs, l’isobarycentre vaut \((2, 1)\). Par associativité, c’est aussi le barycentre de \((A, 1)\) et \((I, 2)\), où \(I\) est le milieu de \([BC]\). Il se trouve donc aux deux tiers de la médiane issue de \(A\).

Pour une partie non vide de \(\mathcal{E}\), être un sous-espace affine équivaut à contenir le barycentre de toute famille finie de ses points pondérés. En particulier, la droite \((AB)\), avec \(A \neq B\), est exactement l’ensemble des barycentres de \(A\) et \(B\).

Supposons \(\mathcal{F} = A + F\). Si les \(A_i\) sont dans \(\mathcal{F}\), alors, en vectorialisant en \(A\), on a \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{\Lambda} \sum \lambda_i \overrightarrow{AA_i}\), qui est dans \(F\). Donc \(G \in \mathcal{F}\). Réciproquement, fixons \(A\) dans la partie et notons \(F\) l’ensemble des \(\overrightarrow{AM}\). Pour \(M, N\) dans la partie et \(\alpha, \beta\) réels, le point \(A + \alpha \overrightarrow{AM} + \beta \overrightarrow{AN}\) est le barycentre de \((A, 1 – \alpha – \beta)\), \((M, \alpha)\) et \((N, \beta)\). Il appartient donc à la partie, ce qui prouve que \(F\) est un sous-espace vectoriel.

Dans \(\mathbb{R}^2\), la réunion \(\mathcal{C}\) des deux axes de coordonnées contient beaucoup de droites, mais ce n’est pas un sous-espace affine. En effet, \((2, 0)\) et \((0, 2)\) sont dans \(\mathcal{C}\), alors que leur milieu \((1, 1)\) n’y est pas. Un seul barycentre manquant suffit donc à exclure une partie.

Pour démontrer que trois points \(P\), \(Q\), \(R\) sont alignés :

1. Exprimer chacun d’eux comme barycentre de points de référence, par exemple les sommets d’un triangle.
2. Chercher des réels \(\alpha, \beta\) de somme non nulle tels que \(R\) soit le barycentre de \((P, \alpha)\) et \((Q, \beta)\) ; on identifie les poids grâce à l’associativité.
3. Conclure : un barycentre de \(P\) et \(Q\) appartient à la droite \((PQ)\).
4. À défaut, calculer un déterminant de coordonnées et montrer qu’il est nul.

On se donne deux espaces affines \(\mathcal{E}\) et \(\mathcal{E}^{\prime}\), dirigés par \(E\) et \(E^{\prime}\). On dit que \(f\), de \(\mathcal{E}\) vers \(\mathcal{E}^{\prime}\), est affine lorsqu’une application linéaire \(\varphi : E \to E^{\prime}\) vérifie

\[ \overrightarrow{f(A) f(B)} = \varphi\big(\overrightarrow{AB}\big) \quad \text{pour tous points } A, B. \]

L’application \(\varphi\) est unique : c’est la partie linéaire de \(f\), notée \(\vec{f}\).

1. Dans des repères cartésiens, les applications affines sont exactement celles de la forme \(X \mapsto MX + C\). La matrice \(M\) représente \(\vec{f}\), tandis que \(C\) donne les coordonnées de \(f(O)\).
2. Une application est affine si et seulement si elle conserve les barycentres : l’image du barycentre de \((A_i, \lambda_i)\) est le barycentre de \((f(A_i), \lambda_i)\).
3. La composée de deux applications affines est affine, de partie linéaire la composée des parties linéaires. Pour qu’une application affine soit bijective, il faut et il suffit que \(\vec{f}\) le soit.
4. L’image d’un sous-espace affine \(A + F\) est le sous-espace affine \(f(A) + \vec{f}(F)\). En conséquence, une application affine transforme deux sous-espaces parallèles en deux sous-espaces parallèles.

Démontrons le sens direct du point 2. Soit \(G\) le barycentre de \((A_i, \lambda_i)\), de somme \(\Lambda\). On applique \(\vec{f}\) à l’égalité \(\sum \lambda_i \overrightarrow{GA_i} = \vec{0}\). Par linéarité, \(\sum \lambda_i \overrightarrow{f(G) f(A_i)} = \vec{0}\), ce qui caractérise \(f(G)\) comme barycentre des \((f(A_i), \lambda_i)\). Les autres points se démontrent de la même façon, en vectorialisant en un point fixé.

Soit \(f\) l’application du plan définie par \(f(x, y) = (2x – y + 1, x + 3)\). Elle est affine, de partie linéaire de matrice \(\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\), de déterminant 1. Elle est donc bijective. Cherchons ses points fixes. Le système \(x = 2x – y + 1\), \(y = x + 3\) donne \(y = x + 1\) puis \(x + 1 = x + 3\), ce qui est impossible. Ainsi, \(f\) n’a aucun point fixe. Ce n’est pas contradictoire : la partie linéaire admet ici la valeur propre 1, car son polynôme caractéristique est \((\lambda – 1)^2\).

1. La translation de vecteur \(u\) est \(t_u : M \mapsto M + u\). Sa partie linéaire est l’identité.
2. L’homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k \neq 0\) est \(h : M \mapsto \Omega + k \, \overrightarrow{\Omega M}\). Sa partie linéaire est \(k \, \mathrm{id}_E\).

Soit \(f\) une application affine de \(\mathcal{E}\) dans lui-même, de partie linéaire \(k \, \mathrm{id}_E\) avec \(k \neq 0\). Si \(k = 1\), alors \(f\) est une translation. Si \(k \neq 1\), alors \(f\) est une homothétie de rapport \(k\), et son centre est son unique point fixe.

Fixons un point \(A\). Pour tout \(M\), on a \(f(M) = f(A) + k \overrightarrow{AM}\). Si \(k = 1\), alors \(\overrightarrow{M f(M)} = \overrightarrow{A f(A)}\) pour tout \(M\) : c’est une translation. Si \(k \neq 1\), on cherche \(\Omega\) tel que \(f(\Omega) = \Omega\). Cette condition s’écrit \(\overrightarrow{A \Omega} = \overrightarrow{A f(A)} + k \overrightarrow{A \Omega}\), soit \(\overrightarrow{A \Omega} = \frac{1}{1 – k} \overrightarrow{A f(A)}\). Ce point existe et il est unique. Enfin, \(f(M) = f(\Omega) + k \overrightarrow{\Omega M} = \Omega + k \overrightarrow{\Omega M}\).

Soient deux points \(A\) et \(B\). Composons l’homothétie \(h_1\) de centre \(B\) et de rapport \(1/2\), puis l’homothétie \(h_2\) de centre \(A\) et de rapport 2. Le produit des rapports vaut 1, donc \(h_2 \circ h_1\) est une translation. Pour trouver son vecteur, on calcule l’image de \(B\). D’une part, \(h_1(B) = B\). D’autre part, \(h_2(B) = A + 2 \overrightarrow{AB}\). Ainsi le vecteur cherché est \(\overrightarrow{B h_2(B)} = \overrightarrow{AB}\).

Soient \(\mathcal{F}\) un sous-espace affine de direction \(F\) et \(G\) un supplémentaire de \(F\) dans \(E\). Pour tout point \(M\), l’ensemble \(\mathcal{F} \cap (M + G)\) contient exactement un point, noté \(p(M)\).

1. L’application \(p\) est la projection sur \(\mathcal{F}\) parallèlement à \(G\).
2. La symétrie par rapport à \(\mathcal{F}\) parallèlement à \(G\) est \(s : M \mapsto p(M) + \overrightarrow{M p(M)}\).
3. Pour un réel \(\lambda\), l’affinité de rapport \(\lambda\), qui fixe \(\mathcal{F}\) et agit parallèlement à \(G\), envoie \(M\) sur \(p(M) + \lambda \, \overrightarrow{p(M) M}\).

1. La projection \(p\) est affine, de partie linéaire la projection vectorielle sur \(F\) parallèlement à \(G\). De plus, \(p \circ p = p\), et l’ensemble de ses points fixes est \(\mathcal{F}\).
2. La symétrie \(s\) est affine et vérifie \(s \circ s = \mathrm{id}\).
3. Réciproquement, une application affine \(f\) telle que \(f \circ f = f\) est une projection, sur l’ensemble de ses points fixes. De même, une application affine involutive est une symétrie.

Dans \(\mathbb{R}^3\), projetons sur le plan \(\mathcal{P} : x + y + z = 3\) parallèlement à la droite vectorielle dirigée par \(w = (1, 1, 0)\). D’abord, \(w\) n’est pas dans la direction de \(\mathcal{P}\), car \(1 + 1 + 0 \neq 0\). Ensuite, on cherche \(p(M) = M + t w\) dans \(\mathcal{P}\). La condition \((x + t) + (y + t) + z = 3\) donne \(t = \frac{3 – x – y – z}{2}\). Par conséquent :

\[ p(x, y, z) = \Big( \frac{x – y – z + 3}{2}, \ \frac{-x + y – z + 3}{2}, \ z \Big). \]

Enfin, la symétrie associée s’obtient par \(s(M) = 2p(M) – M\) en coordonnées : \(s(x, y, z) = (-y – z + 3, -x – z + 3, z)\).

Thalès affine. Soient trois hyperplans parallèles distincts \(\mathcal{H}_1\), \(\mathcal{H}_2\), \(\mathcal{H}_3\), et deux droites \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}^{\prime}\) non parallèles à ces hyperplans. On note \(A_i\) et \(A_i^{\prime}\) leurs points d’intersection avec \(\mathcal{H}_i\). Alors

\[ \frac{\overline{A_1 A_2}}{\overline{A_1 A_3}} = \frac{\overline{A_1^{\prime} A_2^{\prime}}}{\overline{A_1^{\prime} A_3^{\prime}}}. \]

Soit \(H\) la direction commune des hyperplans. La droite \(\mathcal{D}^{\prime}\) a une direction supplémentaire de \(H\). On considère donc la projection \(p\) sur \(\mathcal{D}^{\prime}\) parallèlement à \(H\). Chaque \(\mathcal{H}_i\) est un translaté de \(H\), donc \(p(A_i) = A_i^{\prime}\). Or \(p\) est affine. Elle transforme l’égalité \(\overrightarrow{A_1 A_2} = r \overrightarrow{A_1 A_3}\) en \(\overrightarrow{A_1^{\prime} A_2^{\prime}} = r \overrightarrow{A_1^{\prime} A_3^{\prime}}\). Les deux rapports sont donc égaux.

Soit \(ABC\) un triangle non aplati. Soient \(P \in (BC)\), \(Q \in (CA)\) et \(R \in (AB)\), distincts des sommets. Les points \(P\), \(Q\), \(R\) sont alignés si et seulement si

\[ \frac{\overline{PB}}{\overline{PC}} \cdot \frac{\overline{QC}}{\overline{QA}} \cdot \frac{\overline{RA}}{\overline{RB}} = 1. \]

Notons \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) les trois rapports. Comme \(\overrightarrow{PB} = \alpha \overrightarrow{PC}\), le point \(P\) est le barycentre de \((B, 1)\) et \((C, -\alpha)\), avec \(\alpha \neq 1\). De même, \(Q\) est le barycentre de \((C, 1)\) et \((A, -\beta)\), et \(R\) celui de \((A, 1)\) et \((B, -\gamma)\).

Travaillons dans le repère \((A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\). Un point de coordonnées barycentriques \((a, b, c)\), de somme 1, a pour coordonnées cartésiennes \((b, c)\). Trois points sont alignés si et seulement si le déterminant des lignes \((1, b_i, c_i)\) est nul. Une opération sur les colonnes remplace ce déterminant par celui des lignes \((a_i, b_i, c_i)\). Enfin, multiplier une ligne par un réel non nul ne change pas sa nullité. On peut donc utiliser des poids non normalisés :

\[ \begin{vmatrix} 0 & 1 & -\alpha \\ -\beta & 0 & 1 \\ 1 & -\gamma & 0 \end{vmatrix} = 1 – \alpha \beta \gamma. \]

Ainsi, \(P\), \(Q\), \(R\) sont alignés exactement lorsque \(\alpha \beta \gamma = 1\).

Dans un triangle \(ABC\), soit \(R\) le milieu de \([AB]\) et \(Q\) le point de \([AC]\) tel que \(\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\). Où la droite \((RQ)\) coupe-t-elle \((BC)\) ? D’abord, \(\frac{\overline{RA}}{\overline{RB}} = -1\). Ensuite, \(\overrightarrow{QC} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{QA} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\), donc \(\frac{\overline{QC}}{\overline{QA}} = -2\). Ménélaüs impose alors \(\alpha \times (-2) \times (-1) = 1\), soit \(\alpha = \frac{1}{2}\). Le point \(P\) vérifie \(\overrightarrow{PB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{PC}\) : c’est le symétrique de \(C\) par rapport à \(B\).

Avec les mêmes notations, si les droites \((AP)\), \((BQ)\) et \((CR)\) sont concourantes, alors \(\alpha \beta \gamma = -1\). Réciproquement, si \(\alpha \beta \gamma = -1\), ces trois droites sont concourantes ou parallèles.

Démontrons le sens direct. Soit \(M\) le point de concours, de coordonnées barycentriques \((a, b, c)\). La droite \((AP)\) est formée des barycentres de \(A\) et de \(P\). Ses points vérifient donc \(b : c = 1 : (-\alpha)\), c’est-à-dire \(c = -\alpha b\). De même, \(a = -\beta c\) et \(b = -\gamma a\). Ici \(a\), \(b\), \(c\) sont non nuls, car \(M\) n’est sur aucun côté. En multipliant, on obtient \(abc = -\alpha \beta \gamma \, abc\), d’où \(\alpha \beta \gamma = -1\).

Une application \(f : \mathcal{E} \to \mathcal{E}\) conserve les distances si et seulement si elle est affine et sa partie linéaire est orthogonale. On dit que \(f\) est une isométrie affine. C’est un déplacement si \(\det \vec{f} = 1\), un antidéplacement si \(\det \vec{f} = -1\).

Dans le plan euclidien, les déplacements sont les translations et les rotations. Les antidéplacements sont les réflexions et les symétries glissées, composées d’une réflexion et d’une translation parallèle à son axe.

Soit \(f(x, y) = \big( \frac{3x – 4y}{5} + 2, \ \frac{4x + 3y}{5} – 1 \big)\). La matrice \(\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\) de sa partie linéaire a des colonnes orthonormées et un déterminant égal à 1. Il s’agit donc d’un déplacement, plus précisément une rotation d’angle \(\theta\) avec \(\cos \theta = \frac{3}{5}\) et \(\sin \theta = \frac{4}{5}\). Son centre est son point fixe. Le système se ramène à \(x + 2y = 5\) et \(4x – 2y = 5\), d’où \(\Omega = (2 ; 1{,}5)\).

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