Opérateurs continus en dimension infinie : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « opérateurs continus en dimension infinie », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet d’une heure trente porte sur les applications linéaires continues entre espaces normés de dimension infinie, chapitre du premier semestre de L3. Vous calculerez d’abord des normes subordonnées sur l’espace des suites sommables, puis sur les fonctions continues munies de la norme uniforme, en vous demandant si la borne est atteinte. Ensuite, la dérivation fournira un opérateur non continu, avec un contre-exemple explicite. Le quatrième exercice exploite la complétude à travers la série de Neumann. Enfin, le problème démontre le lemme de Riesz, qui interdit à la boule unité d’être compacte en dimension infinie. Traitez ce contrôle dès la fin du chapitre sur les espaces de Banach.
Ce qu’évalue le contrôle : opérateurs continus en dimension infinie
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée1 heure 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Espaces de Banach et opérateurs linéaires continus (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer la norme subordonnée d’un opérateur sur un espace de suites ou de fonctions continues
- Montrer qu’une norme d’opérateur n’est pas atteinte grâce à un argument de continuité
- Prouver qu’une application linéaire n’est pas continue à l’aide d’une suite explicite
- Utiliser la convergence des séries absolument convergentes dans un espace de Banach
- Démontrer le lemme de Riesz et en déduire que la boule unité fermée n’est pas compacte
Avant de commencer le devoir
Pour calculer une norme d’opérateur, commencez par borner l’image de chaque vecteur, puis cherchez des vecteurs tests qui rendent cette borne optimale. Ensuite, pour montrer qu’un opérateur n’est pas continu, exhibez une suite dont le rapport des normes n’est pas borné. Écrivez chaque contre-exemple avec des formules explicites, car une idée vague ne rapporte rien. Enfin, vérifiez vos valeurs sur les figures.
Le sujet du contrôle : opérateurs continus en dimension infinie
Exercice 1 – Un opérateur diagonal sur les suites sommables (3 points)
L’espace \(\ell^1\) est formé des suites réelles \(u = (u_n)_{n \geq 1}\) pour lesquelles la somme \(\|u\|_1 = \sum_{n=1}^{+\infty} |u_n|\) est finie. Pour \(k \geq 1\), \(e_k\) désigne la suite dont seul le terme de rang \(k\) vaut 1. On pose ensuite \(a_n = 1 – \frac{1}{2n}\) pour \(n \geq 1\), puis \(T(u) = (a_n u_n)_{n \geq 1}\) pour \(u \in \ell^1\). La figure représente ainsi les premiers coefficients \(a_n\) et leurs inverses.
- Montrer que \(T\) est un endomorphisme continu de \(\ell^1\), avec \(\|T(u)\|_1 \leq \|u\|_1\) pour tout \(u\).
- Calculer \(\|T(e_n)\|_1\), puis en déduire la norme subordonnée de \(T\).
- Montrer que, pour tout \(u \neq 0\), \(\|T(u)\|_1 < \|u\|_1\). Que peut-on alors en conclure ?
- Prouver que \(T\) est bijectif, que son inverse est continu, et calculer enfin la norme de \(T^{-1}\).
Exercice 2 – Une forme linéaire à poids affine (3,5 points)
On munit \(C([0, 1])\) de la norme \(\|f\|_\infty = \sup_{t \in [0, 1]} |f(t)|\), et l’on pose \(w(t) = 1 – 3t\), puis \(\varphi(f) = \int_0^1 f(t)\,w(t)\,\mathrm{d}t\).
- Calculer \(\int_0^1 |w(t)|\,\mathrm{d}t\). En déduire que la forme linéaire \(\varphi\) est continue, avec \(|\varphi(f)| \leq \frac{5}{6}\|f\|_\infty\).
- Pour \(n \geq 3\), la fonction \(f_n\) vaut 1 sur \(\left[0, \frac{1}{3} – \frac{1}{n}\right]\), vaut \(-1\) sur \(\left[\frac{1}{3} + \frac{1}{n}, 1\right]\) et est affine entre les deux, comme sur la figure. Montrer que \(\varphi(f_n) = \frac{5}{6} – \frac{1}{n^2}\), puis déterminer \(\|\varphi\|\).
- Montrer qu’aucune fonction \(f\) de \(C([0, 1])\) telle que \(\|f\|_\infty \leq 1\) ne vérifie \(|\varphi(f)| = \frac{5}{6}\).
Exercice 3 – La dérivation et ses deux normes (4 points)
Soit \(E = C^1([0, 1])\), et soit \(D : E \to C([0, 1])\) l’application linéaire qui associe à \(f\) sa dérivée. Pour \(n \geq 1\), on pose \(w_n(x) = \dfrac{x^{2n}}{\sqrt{n}}\). La figure trace \(w_1\), \(w_4\) et \(w_9\) : leur hauteur diminue, alors que leur pente en 1 augmente.
- Les deux espaces sont d’abord munis de la norme uniforme. Calculer \(\|w_n\|_\infty\) et \(\|D(w_n)\|_\infty\), puis montrer que \(D\) n’est pas continue.
- On admet ensuite que \(N(f) = \left|f\left(\frac{1}{2}\right)\right| + \sup_{[0, 1]} |f^{\prime}|\) est une norme sur \(E\). Montrer que \(D\), de \(E\) muni de \(N\) vers \(C([0, 1])\) muni de la norme uniforme, est continue, et calculer sa norme.
- Établir que \(\|f\|_\infty \leq N(f)\) pour tout \(f \in E\). Les normes \(N\) et \(\|\cdot\|_\infty\) sont-elles pour autant équivalentes sur \(E\) ?
- Pour \(n \geq 1\), on pose enfin \(r_n(x) = \sqrt{x + \frac{1}{n^2}}\). Vérifier que \(0 \leq r_n(x) – \sqrt{x} \leq \frac{1}{n}\) sur \([0, 1]\). Que peut-on en déduire sur la complétude de \(E\) pour la norme uniforme ?
Exercice 4 – Série de Neumann et décalage pondéré (3,5 points)
Dans cet exercice, \((E, \|\cdot\|)\) est un espace de Banach. De plus, on admet que l’espace \(\mathcal{L}_c(E)\) des endomorphismes continus de \(E\), muni de la norme subordonnée, est lui aussi complet.
- Soit \((x_k)\) une suite de \(E\) telle que \(\sum \|x_k\|\) converge. Montrer que la série \(\sum x_k\) converge alors dans \(E\).
- Soit \(A \in \mathcal{L}_c(E)\) tel que \(\|A\| < 1\). Prouver que \(\mathrm{Id} – A\) est inversible dans \(\mathcal{L}_c(E)\), d’inverse \(\sum_{k=0}^{+\infty} A^k\), et que \(\left\|(\mathrm{Id} – A)^{-1}\right\| \leq \frac{1}{1 – \|A\|}\).
- Dans \(\ell^1\), on définit \(S(u) = \left(0, \frac{u_1}{2}, \frac{u_2}{2}, \frac{u_3}{2}, \ldots\right)\). Calculer \(\|S\|\), puis \(v = (\mathrm{Id} – S)^{-1}(e_1)\). En déduire la valeur exacte de \(\left\|(\mathrm{Id} – S)^{-1}\right\|\).
Exercice 5 – Problème : la boule unité et le théorème de Riesz (6 points)
Dans tout le problème, \(B(c, r)\) désigne une boule ouverte et \(\overline{B}\) la boule fermée centrée en 0 de rayon 1. Par ailleurs, une partie compacte peut toujours, quel que soit \(r > 0\), être recouverte par un nombre fini de boules ouvertes de rayon \(r\) ; ce rappel sera utilisé librement.
Partie A – Des puissances qui se fuient
Dans \(C([0, 1])\) muni de la norme uniforme, on considère, pour \(k \in \mathbb{N}\), la fonction \(p_k : t \mapsto t^{2^k}\). Ainsi \(p_0(t) = t\), \(p_1(t) = t^2\), \(p_2(t) = t^4\), et ainsi de suite.
- Soit \(j < k\). En posant \(s = t^{2^j}\), montrer que \(p_j(t) – p_k(t) \geq s – s^2\) pour tout \(t \in [0, 1]\). En déduire que \(\|p_j – p_k\|_\infty \geq \frac{1}{4}\).
- Combien de fonctions \(p_k\) une boule ouverte de rayon \(\frac{1}{8}\) peut-elle contenir ? Conclure que \(\overline{B}\) n’est pas une partie compacte de \(C([0, 1])\).
Partie B – Le cas général
Désormais, \((E, \|\cdot\|)\) est un espace normé quelconque.
- Lemme de Riesz. On se donne un sous-espace \(F\) de \(E\), fermé et strict, ainsi qu’un réel \(\varepsilon \in \left]0, 1\right[\). Démontrer l’existence d’un vecteur unitaire \(x\) dont la distance à \(F\) est au moins \(1 – \varepsilon\). On pourra d’abord fixer un vecteur \(y\) hors de \(F\).
- On suppose \(E\) de dimension infinie. Construire par récurrence une suite \((x_n)_{n \geq 1}\) de vecteurs unitaires telle que \(\|x_n – x_m\| \geq \frac{1}{2}\) pour tous \(n \neq m\).
- Conclure : lorsque \(E\) est de dimension infinie, aucune boule fermée de rayon strictement positif n’est compacte (théorème de Riesz).
Réviser opérateurs continus en dimension infinie avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours espaces de banach et opérateurs linéaires continus ; entraînez-vous sur les exercices espaces de banach et opérateurs linéaires continus avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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