Différentielles en dimension infinie : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « différentielles en dimension infinie », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente évalue le chapitre du second semestre de L3 consacré à la différentielle de Fréchet. Vous partirez d’abord de la définition pour différencier un polynôme matriciel, puis l’inversion matricielle et le déterminant, en utilisant la règle de la chaîne sur des exemples explicites. Ensuite, vous quitterez la dimension finie avec une fonctionnelle intégrale sur les fonctions continues, où interviennent les accroissements finis. Enfin, le problème étudie l’opérateur qui compose une fonction continue avec l’exponentielle, jusqu’à sa différentielle seconde et une formule de Taylor. Traitez ce sujet dès que le cours sur les différentielles d’ordre supérieur est terminé, mais avant les chapitres d’optimisation.
Ce qu’évalue le contrôle : différentielles en dimension infinie
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée1 heure 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Différentielle de Fréchet et formules de Taylor (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer une différentielle de Fréchet en majorant explicitement le reste
- Différencier l’inversion matricielle et le déterminant, puis appliquer la règle de la chaîne
- Différencier une fonctionnelle intégrale ou un opérateur de composition sur les fonctions continues
- Appliquer l’inégalité des accroissements finis sur un convexe d’un espace normé
- Écrire un développement de Taylor à l’ordre 2 et identifier une différentielle seconde
Avant de commencer le devoir
Dans chaque question, écrivez d’abord l’accroissement \(F(x + h) – F(x)\), puis séparez la partie linéaire en h du reste. Ensuite, majorez ce reste par une constante fois \(\|h\|^2\), car une simple affirmation « c’est un petit o » ne rapporte rien. Avec des matrices, gardez l’ordre des facteurs : le produit ne commute pas. Enfin, contrôlez vos dérivées sur les figures, par exemple la pente d’une tangente.
Le sujet du contrôle : différentielles en dimension infinie
Exercice 1 – Le cube matriciel corrigé d’un terme linéaire (3 points)
Dans tout le sujet, \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est muni d’une norme subordonnée \(\|\cdot\|\), qui vérifie donc \(\|AB\| \leq \|A\|\,\|B\|\). On considère l’application \(F : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) définie par \(F(M) = M^3 – 2M\).
- Développer \(F(M + H) – F(M)\), puis montrer à partir de la définition que \(F\) est différentiable en tout \(M\), avec \(\mathrm{d}F(M)(H) = M^2 H + MHM + HM^2 – 2H\). Le reste sera majoré par une expression explicite en \(\|M\|\) et \(\|H\|\).
- Simplifier \(\mathrm{d}F(M)(H)\) lorsque \(M\) et \(H\) commutent, puis déterminer \(\mathrm{d}F(I_n)\).
- On prend ici \(n = 2\) et \(N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\). Pour \(H = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), calculer \(\mathrm{d}F(N)(H)\), puis montrer que \(\mathrm{d}F(N)\) est un automorphisme de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
Exercice 2 – Inversion matricielle et chemin affine (4 points)
On note \(\iota\) l’application \(M \mapsto M^{-1}\), définie sur l’ouvert \(GL_n(\mathbb{R})\). Soit \(M\) inversible, et soit \(H\) une matrice telle que \(\|M^{-1}\|\,\|H\| \leq \frac{1}{2}\). On admet alors que \(M + H\) est inversible et que \(\|(M + H)^{-1}\| \leq 2\|M^{-1}\|\).
- Établir l’égalité \((M + H)^{-1} – M^{-1} + M^{-1} H M^{-1} = (M + H)^{-1} H M^{-1} H M^{-1}\). En déduire que \(\iota\) est différentiable en \(M\), avec \(\mathrm{d}\iota(M)(H) = -M^{-1} H M^{-1}\).
- On pose \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) et \(\varphi(t) = (A + tB)^{-1}\). Justifier que \(\varphi\) est définie et dérivable au voisinage de 0, calculer \(A^{-1}\), puis \(\varphi^{\prime}(0)\) grâce à la règle de la chaîne. Comparer ensuite avec les pentes visibles sur la figure.
- Montrer que \(\iota\) est de classe \(C^1\), puis qu’elle est deux fois différentiable, avec \(\mathrm{d}^2\iota(M)(H, K) = M^{-1} H M^{-1} K M^{-1} + M^{-1} K M^{-1} H M^{-1}\).
Exercice 3 – Le déterminant et la trace de l’inverse (3,5 points)
On étudie l’application \(\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}\), qui est polynomiale en les coefficients, donc de classe \(C^1\).
- En développant \(\det(I_n + H)\) par la formule de Leibniz, montrer que \(\det(I_n + H) = 1 + \mathrm{tr}(H) + O(\|H\|^2)\), puis en déduire \(\mathrm{d}\det(I_n)\).
- Soit \(M\) inversible. Écrire \(M + H = M(I_n + M^{-1}H)\), puis prouver que \(\mathrm{d}\det(M)(H) = \det(M)\,\mathrm{tr}(M^{-1}H)\).
- On pose \(M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}\) et \(p(t) = \det(M + tI_3)\). Calculer \(\det M\), puis \(p^{\prime}(0)\) de deux façons : avec la question 2 d’une part, en développant \(p(t)\) d’autre part.
- En déduire, sans inverser \(M\), la valeur de \(\mathrm{tr}(M^{-1})\).
Exercice 4 – Une fonctionnelle logarithmique sur les fonctions continues (4 points)
L’espace \(E = C([0, 1], \mathbb{R})\) est muni de la norme \(\|f\|_\infty = \sup_{t \in [0, 1]} |f(t)|\). On pose \(g(x) = \ln(1 + x^2)\) pour \(x\) réel, puis, pour \(f \in E\) :
\[J(f) = \int_0^1 t\, g\big(f(t)\big)\,\mathrm{d}t.\]
La figure trace \(g\) ainsi que ses deux premières dérivées.
- Calculer \(g^{\prime}\) et \(g^{\prime\prime}\), puis montrer que \(|g^{\prime}(x)| \leq 1\) et \(|g^{\prime\prime}(x)| \leq 2\) pour tout réel \(x\).
- À l’aide de la formule de Taylor-Lagrange appliquée à \(g\), montrer que \(J\) est différentiable en tout \(f \in E\), avec \(\mathrm{d}J(f)(h) = \int_0^1 t\, g^{\prime}\big(f(t)\big)\, h(t)\,\mathrm{d}t\). On établira que le reste est majoré par \(\frac{1}{2}\|h\|_\infty^2\).
- Montrer que \(|J(f) – J(k)| \leq \frac{1}{2}\|f – k\|_\infty\) pour toutes \(f\) et \(k\) de \(E\). Ensuite, en calculant \(\mathrm{d}J(\mathbf{1})(\mathbf{1})\), où \(\mathbf{1}\) désigne la fonction constante égale à 1, prouver que la constante \(\frac{1}{2}\) ne peut pas être remplacée par une constante plus petite.
- Établir que \(0 \leq u – \ln(1 + u) \leq \frac{u^2}{2}\) pour \(u \geq 0\). Puis, en admettant que \(J\) est de classe \(C^2\), en déduire \(\mathrm{d}^2 J(0)(h, h)\).
Exercice 5 – Problème : l’opérateur exponentiel de composition (5,5 points)
On garde l’espace \(E = C([0, 1], \mathbb{R})\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\), et l’on définit \(\mathcal{N} : E \to E\) par \(\mathcal{N}(f) = \exp \circ f\), autrement dit \(\mathcal{N}(f)(t) = \mathrm{e}^{f(t)}\). Pour \(u \in E\), on note aussi \(T_u\) l’opérateur de multiplication \(h \mapsto uh\) sur \(E\).
- Montrer que, pour tout réel \(y\), on a \(|\mathrm{e}^{y} – 1 – y| \leq \frac{y^2}{2}\,\mathrm{e}^{|y|}\), comme le suggère la figure.
- Prouver que \(\mathcal{N}\) est différentiable en tout \(f\), avec \(\mathrm{d}\mathcal{N}(f) = T_{\mathrm{e}^{f}}\). Puis montrer que la norme subordonnée de \(T_u\) vaut \(\|u\|_\infty\), et en déduire \(\|\mathrm{d}\mathcal{N}(f)\| = \mathrm{e}^{\max f}\).
- Justifier que \(\mathcal{N}\) est de classe \(C^1\). Ensuite, en remarquant que \(u \mapsto T_u\) est linéaire et continue, montrer que \(\mathcal{N}\) est deux fois différentiable et que \(\mathrm{d}^2\mathcal{N}(f)(h, k) = \mathrm{e}^{f}\, hk\).
- Soit \(r > 0\). Montrer que \(\|\mathcal{N}(f) – \mathcal{N}(k)\|_\infty \leq \mathrm{e}^{r}\,\|f – k\|_\infty\) pour \(f\) et \(k\) dans la boule fermée \(\overline{B}(0, r)\). Grâce à des fonctions constantes, vérifier enfin que la constante \(\mathrm{e}^{r}\) est optimale.
- Soit \(V : E \to E\) défini par \(V(f)(x) = \int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t\), et \(G = V \circ \mathcal{N}\). Justifier que \(V\) est linéaire continue, donner \(\mathrm{d}G(f)\), puis calculer \(\mathrm{d}G(f_0)(h_0)\) pour \(f_0(t) = t\) et \(h_0(t) = 1 – t\).
Réviser différentielles en dimension infinie avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours différentielle de fréchet et formules de taylor ; entraînez-vous sur les exercices différentielle de fréchet et formules de taylor avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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