Optimisation sous contrainte et convexité : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « optimisation sous contrainte et convexité », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet d’une heure trente se place à la fin du chapitre d’optimisation du second semestre. Il commence par des extrema libres : vous classerez des points critiques grâce à la hessienne, puis vous étudierez un point où elle ne permet pas de conclure. Vient ensuite un extremum lié sur une sphère, traité par les multiplicateurs de Lagrange, dont vous interpréterez aussi la valeur. Le troisième exercice prouve l’existence d’un minimum par coercivité, puis son unicité par stricte convexité. Enfin, le problème démontre l’inégalité arithmético-géométrique et en tire une propriété des triangles de périmètre donné. Ce contrôle continu valorise surtout la vérification des hypothèses de chaque théorème.
Ce qu’évalue le contrôle : optimisation sous contrainte et convexité
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Optimisation : extrema liés, Lagrange et convexité (4 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Classer les points critiques d’une fonction de deux variables à l’aide de la matrice hessienne
- Reconnaître un point critique dégénéré et prouver qu’il n’est pas un extremum local
- Résoudre un problème d’extremum lié sur une sphère par la méthode des multiplicateurs de Lagrange
- Établir l’existence d’un minimum par coercivité, puis son unicité par stricte convexité
- Démontrer l’inégalité arithmético-géométrique par optimisation et l’appliquer à l’aire d’un triangle
Avant de commencer le devoir
Avant toute méthode de Lagrange, justifiez d’abord l’existence des extrema par compacité, car le théorème ne fournit que des conditions nécessaires. Vérifiez ensuite que la contrainte est qualifiée, avec un gradient jamais nul sur l’ensemble étudié. Quand la hessienne est dégénérée, ne concluez jamais trop vite : testez plutôt des courbes bien choisies passant par le point. Enfin, résolvez les systèmes par disjonction de cas, puis relisez la liste des solutions obtenues.
Le sujet du contrôle : optimisation sous contrainte et convexité
Exercice 1 – Un col, un minimum et un faux minimum (5 points)
On considère d’abord la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(x, y) = 2x^3 + y^2 – 6xy\).
- Déterminer les points critiques de \(f\).
- Calculer la matrice hessienne de \(f\) en chacun de ces points, puis préciser leur nature.
- Existe-t-il un point du plan où \(f\) atteint sa plus grande ou sa plus petite valeur ? Justifier.
On étudie ensuite la fonction \(k\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(k(x, y) = 2y^2 – 7x^2 y + 5x^4\). La figure représente les paraboles \(y = x^2\) et \(y = \frac{5}{2}x^2\), ainsi que quelques droites passant par l’origine \(O\).
- Vérifier que \(O\) est un point critique de \(k\) et que la hessienne de \(k\) en \(O\) ne permet pas de conclure.
- Soit \((u, v)\) un vecteur non nul. Montrer que la fonction \(t \mapsto k(tu, tv)\) admet un minimum local strict en \(0\).
- Factoriser \(k(x, y)\) en produit de deux facteurs du premier degré en \(y\), puis calculer \(k(x, 2x^2)\). Conclure : l’origine est-elle un minimum local de \(k\) ?
Exercice 2 – Extrema d’une fonction sur une sphère (5 points)
On note \(S\) la sphère de \(\mathbb{R}^3\) d’équation \(x^2 + y^2 + z^2 = 12\), et \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^3\) par \(f(x, y, z) = xy + 2z\).
- Justifier que la restriction de \(f\) à \(S\) admet un maximum et un minimum.
- On pose \(g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 – 12\). Vérifier que le gradient de \(g\) ne s’annule pas sur \(S\), puis énoncer la condition nécessaire que fournit le théorème des extrema liés.
- Résoudre le système obtenu : déterminer tous les points de \(S\) qui le vérifient, avec le multiplicateur associé.
- Conclure : préciser les valeurs extrêmes de \(f\) sur \(S\) et les points qui les réalisent.
- Pour \(c > 4\), on note \(M(c)\) le maximum de \(f\) sur la sphère \(x^2 + y^2 + z^2 = c\). En reprenant la résolution précédente, montrer que \(M(c) = \frac{c}{2} + 2\). Comparer alors \(M^{\prime}(12)\) au multiplicateur trouvé au point de maximum, puis interpréter.
Exercice 3 – Minimiser par coercivité et convexité (4,5 points)
Soit \(F\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(F(x, y) = x^2 – xy + y^2 + \mathrm{e}^{x + y}\). La figure montre quelques lignes de niveau de \(F\), ainsi que la diagonale d’équation \(y = x\).
- Montrer que \(F(x, y) \geq \frac{1}{2}\left(x^2 + y^2\right)\) pour tout \((x, y)\) de \(\mathbb{R}^2\). En déduire que \(F\) est coercive.
- Démontrer que \(F\) admet un minimum global sur \(\mathbb{R}^2\), en se ramenant à un disque fermé bien choisi.
- Calculer la hessienne de \(F\) en tout point, puis montrer que \(F\) est strictement convexe.
- Justifier que ce minimum est atteint en un unique point, situé sur la diagonale. Montrer alors que son abscisse \(a\) est l’unique solution de \(x + \mathrm{e}^{2x} = 0\), que \(a\) appartient à \(\left]-\frac{1}{2}, 0\right[\), et que le minimum de \(F\) vaut \(a^2 – a\).
Exercice 4 – Problème : moyennes et triangle d’aire maximale (5,5 points)
Soit \(n \geq 2\) un entier et \(s > 0\) un réel. On note \(K_s\) l’ensemble des \(x = (x_1, \ldots, x_n)\) de \(\mathbb{R}^n\) à coordonnées positives telles que \(x_1 + \cdots + x_n = s\), et l’on pose \(P(x) = x_1 x_2 \cdots x_n\).
Partie A : un produit maximal
- Montrer que \(K_s\) est compact. En déduire que \(P\) admet sur \(K_s\) un maximum \(M(s)\), puis que \(M(s) > 0\).
- Montrer que tout point \(x\) de \(K_s\) où \(P\) atteint \(M(s)\) a des coordonnées strictement positives. Appliquer ensuite le théorème des extrema liés sur l’ouvert \(\left]0, +\infty\right[^n\) pour prouver que ces coordonnées sont égales. En déduire \(M(s) = \left(\frac{s}{n}\right)^n\).
- En déduire l’inégalité arithmético-géométrique : pour tous réels positifs \(a_1, \ldots, a_n\), on a \(\left(a_1 \cdots a_n\right)^{1/n} \leq \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n}\), le cas d’égalité se produisant exactement lorsque tous les \(a_i\) coïncident.
Partie B : application aux triangles
On admet la formule de Héron : si \(a\), \(b\), \(c\) désignent les longueurs des côtés d’un triangle et \(p\) la moitié de son périmètre, alors l’aire vaut \(\mathcal{A} = \sqrt{p(p – a)(p – b)(p – c)}\). La figure montre trois triangles de même périmètre \(12\) cm.
La figure n’est pas à l’échelle.
- Montrer que tout triangle de périmètre \(12\) cm a une aire au plus égale à \(4\sqrt{3}\) cm², avec égalité si et seulement si le triangle est équilatéral.
- Plus généralement, établir \(\mathcal{A} \leq \frac{p^2}{3\sqrt{3}}\). En déduire qu’un triangle d’aire \(9\sqrt{3}\) cm² a un périmètre d’au moins \(18\) cm.
Réviser optimisation sous contrainte et convexité avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours optimisation ; entraînez-vous sur les exercices optimisation avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
Télécharger ou imprimer cette fiche «optimisation sous contrainte et convexité : contrôle de maths en L3» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
