Bases hilbertiennes et séries de Fourier : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « bases hilbertiennes et séries de Fourier », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente porte sur la géométrie hilbertienne et sur l’analyse de Fourier, au second semestre de L3. Placez-le à la fin du chapitre, une fois les espaces L^p maîtrisés. Vous commencerez par une projection sur un convexe fermé de L2, puis vous chercherez le représentant de Riesz d’une forme linéaire sur un espace de suites. Ensuite, un créneau d’un quart de période permettra d’appliquer l’identité de Parseval pour obtenir deux sommes de séries célèbres. Un exercice court calcule aussi une transformée de Fourier dans L1. Enfin, le problème démontre le théorème de Fejér, d’où découle la totalité du système trigonométrique.
Ce qu’évalue le contrôle : bases hilbertiennes et séries de Fourier
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée1 heure 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Bases hilbertiennes, L^2 et transformée de Fourier (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Caractériser la projection sur un convexe fermé par une inégalité variationnelle et la calculer dans L2
- Identifier le représentant de Riesz d’une forme linéaire continue et calculer sa norme
- Calculer les coefficients de Fourier d’un créneau et exploiter l’identité de Parseval
- Calculer une transformée de Fourier dans L1 à l’aide d’un produit de convolution
- Démontrer le théorème de Fejér et en déduire que le système trigonométrique est une base hilbertienne
Avant de commencer le devoir
Avant tout calcul, précisez le produit scalaire utilisé, car la normalisation par \(\frac{1}{2\pi}\) change toutes les constantes. Pour une projection, ne cherchez pas à minimiser directement : vérifiez plutôt l’inégalité caractéristique, point par point. Dans l’exercice 3, classez les entiers selon leur reste modulo 4, puis regroupez les termes. Enfin, dans le problème, découpez l’intégrale en deux zones, près de 0 et loin de 0, et traitez chacune avec un argument différent.
Le sujet du contrôle : bases hilbertiennes et séries de Fourier
Exercice 1 – Projection sur un convexe de fonctions bornées (3,5 points)
Dans tout l’exercice, \(H\) est un espace de Hilbert réel. On admet que, pour toute partie \(C\) convexe, fermée et non vide de \(H\), chaque \(x \in H\) possède un unique point \(P_C(x) \in C\) tel que \(\|x – P_C(x)\| = d(x, C)\).
- Soit \(p \in C\). Montrer que \(p = P_C(x)\) si et seulement si \(\langle x – p, y – p \rangle \leq 0\) pour tout \(y \in C\).
- On prend désormais \(H = L^2(0, 1)\) et \(C = \{g \in H : -1 \leq g \leq 1 \text{ presque partout}\}\). Montrer que \(C\) est convexe et fermée, puis que \(P_C(f) = \max(-1, \min(f, 1))\) pour toute \(f \in H\).
- On considère la fonction \(f\) définie par \(f(t) = 4t – 2\), représentée ci-dessous avec la bande associée à \(C\). Déterminer \(P_C(f)\), puis calculer la distance de \(f\) à \(C\).
![Graphe de la fonction affine f(t) = 4t − 2 sur [0, 1] et bande horizontale verte entre −1 et 1 représentant le convexe C](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/controles-maths-pdf/sup/bases-hilbertiennes-series-fourier-controle-maths-l3-ex1-troncature.png)
Exercice 2 – Formes linéaires sur les suites de carré sommable (3 points)
On note \(\ell^2\) l’espace des suites réelles \(x = (x_n)_{n \geq 1}\) telles que \(\sum x_n^2\) converge, muni du produit scalaire \(\langle x, y \rangle = \sum_{n=1}^{+\infty} x_n y_n\). Pour \(k \geq 1\), \(e_k\) désigne la suite dont seul le terme de rang \(k\) vaut 1, les autres étant nuls.
- Pour \(x \in \ell^2\), on pose \(\varphi(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x_n}{2^n}\). Justifier que \(\varphi\) est une forme linéaire continue sur \(\ell^2\), déterminer son représentant de Riesz, puis calculer \(\|\varphi\|\).
- Calculer la distance de \(e_1\) à l’hyperplan \(\ker \varphi\) et préciser le point de \(\ker \varphi\) qui la réalise.
- Soit \(c_{00}\) le sous-espace des suites nulles à partir d’un certain rang, et \(\psi(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{x_n}{\sqrt{n}}\) pour \(x \in c_{00}\). Montrer que \(\psi\) n’est pas continue pour la norme de \(\ell^2\), puis expliquer pourquoi cela était prévisible au vu du théorème de Riesz.
Exercice 3 – Un créneau d’un quart de période et l’identité de Parseval (4,5 points)
On munit \(L^2(0, 2\pi)\) du produit scalaire \(\langle f, g \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \overline{g(t)} \, \mathrm{d}t\). Nous admettons ici que la famille \((e_n)_{n \in \mathbb{Z}}\), où \(e_n(t) = \mathrm{e}^{int}\), est une base hilbertienne de cet espace : le problème le démontrera. On note \(c_n(f) = \langle f, e_n \rangle\), puis \(S_N f = \sum_{|n| \leq N} c_n(f) e_n\). Soit enfin \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique qui vaut 1 sur \([0, \frac{\pi}{2}[\) et 0 sur \([\frac{\pi}{2}, 2\pi[\).
- Calculer \(c_0(f)\), puis montrer que \(c_n(f) = \frac{1 – \mathrm{e}^{-in\pi/2}}{2i\pi n}\) pour tout entier \(n \neq 0\).
- En déduire la valeur de \(|c_n(f)|^2\) selon le reste de \(n\) dans la division euclidienne par 4.
- À l’aide de l’identité de Parseval, calculer \(\sum_{p=0}^{+\infty} \frac{1}{(2p+1)^2}\), puis \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}\).
- La suite \((S_N f)\) converge-t-elle vers \(f\) dans \(L^2\) ? Converge-t-elle uniformément sur \(\mathbb{R}\) ? Justifier chaque réponse.
Exercice 4 – Transformée de Fourier d’une exponentielle tronquée (3 points)
Pour \(g \in L^1(\mathbb{R})\), on pose \(\widehat{g}(\xi) = \int_{\mathbb{R}} g(x) \mathrm{e}^{-ix\xi} \, \mathrm{d}x\). Soit \(h\) la fonction égale à \(\mathrm{e}^{-x}\) pour \(x > 0\) et nulle sinon, puis \(f(x) = x \mathrm{e}^{-x}\) pour \(x > 0\) et \(f(x) = 0\) sinon.
- Vérifier que \(h \in L^1(\mathbb{R})\) et montrer que \(\widehat{h}(\xi) = \frac{1}{1 + i\xi}\) pour tout réel \(\xi\).
- Montrer que \(f = h * h\). En déduire \(\widehat{f}\), puis vérifier que \(\widehat{f}\) tend vers 0 à l’infini, comme l’annonce le lemme de Riemann-Lebesgue.
- Justifier que \(\widehat{f}\) est de classe \(C^1\) en dérivant sous l’intégrale, puis retrouver par ce calcul direct l’expression de \(\widehat{f}^{\prime}\).
Exercice 5 – Problème : noyau de Fejér et système trigonométrique (6 points)
On note \(C_{2\pi}\) l’espace des fonctions continues et \(2\pi\)-périodiques de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\), muni de la norme \(\|f\|_\infty = \sup_{\mathbb{R}} |f|\). Les notations \(c_n(f)\), \(e_n\) et \(S_N f\) sont celles de l’exercice 3. Pour tout entier \(k \geq 0\), on pose \(D_k = \sum_{|n| \leq k} e_n\). Pour \(N \geq 0\), on définit ensuite le noyau de Fejér et la moyenne de Cesàro :
\[K_N = \frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^{N} D_k, \qquad \sigma_N f = \frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^{N} S_k f.\]
La figure montre \(K_2\), \(K_5\) et \(K_9\) sur \([-\pi, \pi]\). On y voit que le noyau se concentre autour de 0 quand \(N\) grandit.
- Soit \(f \in C_{2\pi}\). Montrer que, pour tout réel \(x\), \(\sigma_N f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x – t) K_N(t) \, \mathrm{d}t\).
- Établir que \(K_N = \sum_{|n| \leq N} \left(1 – \frac{|n|}{N+1}\right) e_n\), puis que, pour tout \(t \notin 2\pi\mathbb{Z}\) :
\[K_N(t) = \frac{1}{N+1} \left( \frac{\sin\left(\frac{(N+1)t}{2}\right)}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)} \right)^2.\]
On pourra d’abord calculer \(\sin\left(\frac{t}{2}\right) D_k(t)\). - Montrer que \(K_N \geq 0\), que \(\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} K_N(t) \, \mathrm{d}t = 1\) et que, pour tout \(\delta \in \left]0, \pi\right]\), on a \(K_N(t) \leq \frac{1}{(N+1) \sin^2(\delta/2)}\) dès que \(\delta \leq |t| \leq \pi\).
- Démontrer le théorème de Fejér : pour toute \(f \in C_{2\pi}\), \(\|\sigma_N f – f\|_\infty\) tend vers 0 quand \(N\) tend vers \(+\infty\).
- En admettant que \(C_{2\pi}\) est dense dans \(L^2(0, 2\pi)\), en déduire que \((e_n)_{n \in \mathbb{Z}}\) est une base hilbertienne de \(L^2(0, 2\pi)\). Montrer enfin qu’une fonction de \(C_{2\pi}\) dont tous les coefficients de Fourier sont nuls est la fonction nulle.
Réviser bases hilbertiennes et séries de Fourier avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours bases hilbertiennes, l^2 et transformée de fourier ; entraînez-vous sur les exercices bases hilbertiennes, l^2 et transformée de fourier avant de retenter le sujet.
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