Espérance et indépendance en L3 de maths : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Loi de un moins la racine d’une uniforme

Soit \(X\) une variable de loi uniforme sur \([0, 1]\) et \(Y = 1 – \sqrt{X}\).

1. Calculer la fonction de répartition de \(Y\).
2. En déduire que \(Y\) admet une densité, que l’on précisera.
3. Calculer \(E[Y]\) de deux façons : avec la densité de \(Y\), puis par transfert à partir de \(X\).

Exercice 2 – Espérances par la formule de transfert

Soit \(X\) de densité \(f(x) = 3x^2\) sur \([0, 1]\), nulle ailleurs.

1. Vérifier que \(f\) est une densité. Calculer ensuite \(E[X]\) et \(\mathrm{Var}(X)\).
2. Calculer \(E[1/X]\) et \(E[\ln X]\).
3. Pour quels entiers \(k \geq 1\) la variable \(X^{-k}\) est-elle intégrable ?

Exercice 3 – Une loi discrète sans espérance

Soit \(N\) une variable à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\) telle que \(P(N = k) = \frac{1}{k(k+1)}\) pour tout \(k \geq 1\).

1. Vérifier qu’on définit ainsi une loi de probabilité.
2. Ensuite, calculer \(P(N \geq n)\) pour tout \(n \geq 1\).
3. Montrer que \(E[N] = +\infty\), alors que \(N\) est finie presque sûrement.
4. Enfin, montrer que \(E[\sqrt{N}]\) est finie.

Exercice 4 – Chiffres en base 3 d’une variable uniforme

Soit \(U\) uniforme sur \([0, 1[\). On pose \(D_1 = \lfloor 3U \rfloor\) et \(D_2 = \lfloor 9U \rfloor – 3D_1\). Ce sont les deux premiers chiffres du développement de \(U\) en base 3.

1. Justifier que \(D_1\) et \(D_2\) sont des variables aléatoires à valeurs dans \(\{0, 1, 2\}\).
2. Pour \(a, b \in \{0, 1, 2\}\), décrire l’événement \(\{D_1 = a, D_2 = b\}\) à l’aide de \(U\) et calculer sa probabilité.
3. En déduire que \(D_1\) et \(D_2\) sont indépendantes et de même loi.
4. Enfin, déterminer la loi et l’espérance de \(D_1 + D_2\).

Exercice 5 – Covariance d’un produit

Soit \(X\) de loi de Bernoulli de paramètre \(1/3\) et \(Y\) uniforme sur \(\{1, 2, 3\}\), indépendantes. On pose \(Z = XY\).

1. Calculer \(E[Z]\) et \(\mathrm{Var}(Z)\).
2. Ensuite, calculer \(\mathrm{Cov}(X, Z)\) et \(\mathrm{Cov}(Y, Z)\).
3. Les variables \(X\) et \(Z\) sont-elles indépendantes ?

Exercice 6 – Minimum de deux exponentielles indépendantes

Soit \(X\) et \(Y\) indépendantes, de lois exponentielles de paramètres respectifs 2 et 5. On pose \(M = \min(X, Y)\).

1. Calculer \(P(M > t)\) pour \(t \geq 0\). En déduire la loi de \(M\) et son espérance.
2. Par ailleurs, calculer \(P(X < Y)\).
3. Enfin, interpréter ces résultats en termes de durées de vie de deux composants.

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Espérance d’une variable positive par sa queue

1. Soit \(X \geq 0\) une variable aléatoire. Montrer, grâce au théorème de Tonelli, que \(E[X] = \int_0^{+\infty} P(X > t) \, dt\).
2. De même, montrer que \(E[X^2] = \int_0^{+\infty} 2t\,P(X > t) \, dt\).
3. Application : on suppose \(P(X > t) = (1+t)^{-3}\) pour \(t \geq 0\). Calculer \(E[X]\), \(E[X^2]\) puis \(\mathrm{Var}(X)\).
4. Enfin, pour une variable \(N\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\), en déduire que \(E[N] = \sum_{n \geq 1} P(N \geq n)\).

Exercice 8 – Logarithme d’une variable de densité 2x

Soit \(X\) de densité \(2x\) sur \(]0, 1[\).

1. Par la méthode de la fonction muette, déterminer la loi de \(Y = -\ln X\).
2. Ensuite, déterminer la loi de \(Z = X^2\).
3. En déduire \(E[Y]\) et \(E[\ln Z]\), et vérifier la cohérence des deux résultats.

Exercice 9 – Quotient de deux exponentielles par jacobien

Soit \(X\) et \(Y\) indépendantes, de loi exponentielle de paramètre 1. On pose \(U = X/Y\) et \(V = Y\).

1. Montrer que \((x, y) \mapsto (x/y, y)\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de \(]0, +\infty[^2\) sur lui-même et calculer le jacobien de sa réciproque.
2. En déduire la densité du couple \((U, V)\). Les variables \(U\) et \(V\) sont-elles indépendantes ?
3. Ensuite, montrer que \(U\) a pour densité \(\frac{1}{(1+u)^2}\) sur \(]0, +\infty[\).
4. Calculer \(P(X \leq 2Y)\). Enfin, la variable \(U\) est-elle intégrable ?

Exercice 10 – Coordonnées polaires d’un point uniforme du disque

Soit \((X, Y)\) uniforme sur le disque unité ouvert \(\mathcal{D}\), c’est-à-dire de densité \(\frac{1}{\pi}\mathbf{1}_{\mathcal{D}}\). On écrit \((X, Y) = (R\cos\Theta, R\sin\Theta)\) avec \(R \in ]0, 1[\) et \(\Theta \in ]-\pi, \pi[\), ce qui est possible presque sûrement.

1. Déterminer la densité du couple \((R, \Theta)\).
2. En déduire que \(R\) et \(\Theta\) sont indépendantes, et donner leurs lois.
3. Calculer \(E[R]\) et montrer que \(R^2\) suit la loi uniforme sur \([0, 1]\).
4. Enfin, montrer que \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes.

Exercice 11 – Indépendance lue sur une densité jointe

Dans chaque cas, le couple \((X, Y)\) a la densité \(f\) indiquée, nulle hors du domaine précisé. Déterminer les lois marginales, puis dire si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.

1. \(f(x, y) = 4xy\) sur \([0, 1]^2\).
2. \(f(x, y) = x + y\) sur \([0, 1]^2\). Calculer de plus \(\mathrm{Cov}(X, Y)\).
3. \(f(x, y) = 8xy\) sur \(\{0 < x < y < 1\}\).

Exercice 12 – Boîtes vides et covariance d’indicatrices

On lance 4 boules, indépendamment et uniformément, dans 3 boîtes numérotées. On note \(A_i\) l’événement « la boîte \(i\) est vide » et \(N\) le nombre de boîtes vides.

1. Écrire \(N\) comme une somme d’indicatrices et calculer \(E[N]\).
2. Ensuite, calculer \(\mathrm{Cov}(\mathbf{1}_{A_1}, \mathbf{1}_{A_2})\). Commenter son signe.
3. En déduire \(\mathrm{Var}(N)\).
4. Enfin, retrouver \(E[N]\) en déterminant directement la loi de \(N\).

Exercice 13 – Premier dé sachant le maximum

On lance deux dés équilibrés indépendants, dont les résultats sont \(D_1\) et \(D_2\). On pose \(M = \max(D_1, D_2)\).

1. Déterminer la loi de \(M\).
2. Pour \(1 \leq k, m \leq 6\), calculer \(P(D_1 = k, M = m)\).
3. En déduire que \(E[D_1 \mid M] = \frac{M(3M-1)}{2(2M-1)}\).
4. Enfin, vérifier que \(E\big[E[D_1 \mid M]\big] = E[D_1]\).

Exercice 14 – Espérances conditionnelles sur un triangle

Soit \((X, Y)\) uniforme sur le triangle \(T = \{(x, y) \mid 0 < y < x < 1\}\), donc de densité 2 sur \(T\).

1. Déterminer les lois marginales de \(X\) et de \(Y\).
2. Calculer \(E[Y \mid X]\) et \(E[X \mid Y]\).
3. Ensuite, calculer \(\mathrm{Cov}(X, Y)\).
4. Enfin, vérifier la formule \(E\big[E[X \mid Y]\big] = E[X]\).

Exercice 15 – Partie entière et partie fractionnaire d’une exponentielle

Soit \(X\) de loi exponentielle de paramètre 1. On pose \(K = \lfloor X \rfloor\) et \(F = X – K\).

1. Pour \(k \in \mathbb{N}\) et \(h\) borélienne bornée sur \([0, 1[\), calculer \(E[\mathbf{1}_{\{K = k\}}\,h(F)]\).
2. En déduire les lois de \(K\) et de \(F\).
3. Montrer que \(K\) et \(F\) sont indépendantes.
4. Enfin, calculer \(E[K]\) et en déduire \(E[F]\).

Pour approfondir

Exercice 16 – Somme d’une uniforme et d’une exponentielle

Soit \(X\) uniforme sur \([0, 1]\) et \(Y\) exponentielle de paramètre 1, indépendantes. On pose \(S = X + Y\).

1. À l’aide de la fonction muette et du théorème de Fubini, montrer que \(S\) a pour densité \(1 – e^{-s}\) sur \([0, 1]\) et \((e – 1)e^{-s}\) sur \(]1, +\infty[\).
2. Vérifier que cette fonction est bien une densité de probabilité.
3. Calculer \(P(S \leq 1)\) et \(P(S > 2)\).
4. Enfin, calculer \(E[S]\) de deux manières.

Exercice 17 – Variable indépendante d’elle-même

1. Soit \(\mathcal{A}\) une sous-tribu indépendante d’elle-même. Montrer que \(P(A) \in \{0, 1\}\) pour tout \(A \in \mathcal{A}\).
2. Soit \(X\) une variable réelle indépendante d’elle-même. Montrer que \(F_X\) ne prend que les valeurs 0 et 1.
3. En déduire que \(X\) est presque sûrement constante.
4. Soit \(Y\) une variable aléatoire et \(\varphi\) borélienne. On suppose \(\varphi(Y)\) indépendante de \(Y\). Montrer que \(\varphi(Y)\) est presque sûrement constante.

Exercice 18 – Espérance conditionnelle et moindres carrés

Soit \(X\) de carré intégrable et \(Y\) discrète, à valeurs dans un ensemble fini \(D\) avec \(P(Y = y) > 0\) pour tout \(y \in D\). On note \(\psi(Y) = E[X \mid Y]\).

1. Montrer que \(E[(X – \psi(Y))\,g(Y)] = 0\) pour toute fonction \(g : D \to \mathbb{R}\).
2. En déduire que \(E[(X – g(Y))^2] = E[(X – \psi(Y))^2] + E[(\psi(Y) – g(Y))^2]\).
3. Conclure que \(\psi(Y)\) est, parmi les variables de la forme \(g(Y)\), celle qui minimise l’erreur quadratique.
4. Application : \(X\) est le résultat d’un dé équilibré et \(Y = 1\) si \(X\) est pair, \(Y = 0\) sinon. Calculer \(E[X \mid Y]\) et l’erreur minimale. Comparer avec \(\mathrm{Var}(X)\).

Exercice 19 – Problème : une pièce au biais aléatoire

Soit \(U, V_1, V_2, V_3\) des variables indépendantes, uniformes sur \([0, 1]\). Pour \(i \in \{1, 2, 3\}\), on pose \(X_i = \mathbf{1}_{\{V_i \leq U\}}\). Ainsi, on choisit un biais \(U\) au hasard, puis on lance trois fois une pièce qui tombe sur pile avec probabilité \(U\).

1. Pour \(h\) borélienne bornée, montrer que \(E[h(U) X_1] = \int_0^1 h(u)\,u \, du\). En déduire \(P(X_1 = 1)\).
2. De même, calculer \(P(X_1 = 1, X_2 = 1)\). Les variables \(X_1\) et \(X_2\) sont-elles indépendantes ? Calculer \(\mathrm{Cov}(X_1, X_2)\).
3. Déterminer la loi de \(U\) sachant \(X_1 = 1\), puis sachant \(X_1 = 0\). En déduire \(E[U \mid X_1]\).
4. Ensuite, déterminer la loi de \(U\) sachant \(X_1 = X_2 = 1\) et son espérance.
5. Enfin, calculer \(P(X_3 = 1 \mid X_1 = X_2 = 1)\) et comparer avec \(P(X_3 = 1)\).

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