Raisonnement par récurrence : exercices de maths en terminale corrigés à télécharger en PDF

Soit la propriété au rang \(n\) : « \(u_{n}=8^{n+1}+3\) »

Quelle est la propriété au rang \(n+1\) ?

Soit la propriété au rang \(n\) : « \(u_{n}=2\) »

Quelle est la propriété au rang \(n+1\) ?

On considère l’algorithme ci-dessous :

1. Liste des variables utilisées

2.   a,n : entiers

3. Traitement

4.   Demander n

5.   Donner à a la valeur -11+2n

6.   Tant que (a>0) faire

7.     Donner à a la valeur a+2

8.   Fin Tant que

9. Sortie

10.   Afficher a

1) Que renvoie l’algorithme si l’utilisateur saisit \(n=2\) ?

2) Que se passe t-il si l’utilisateur saisit \(n=8\) ?

3) Pour quelles valeurs de \(n\) cet algorithme ne fournit-il pas de résultat ?

On considère la propriété : « \(u_{n}\geqslant 0\) » où \((u_{n})\) est la suite définie par \(u_{0}=-3\) et \(u_{n+1}=2u_{n}\) pour tout \(n\geqslant 0\).

1) Cette propriété est-elle initialisée au rang \(n=0\) ?

2) Cette propriété est-elle héréditaire ?

3) Cette propriété est-elle vraie pour tout entier naturel \(n\geqslant 0\) ?

On considère la propriété « \(5^{n}-2\) » est un multiple de 3.

1) Cette propriété est-elle initialisée au rang \(n=1\) ?

2) Cette propriété est-elle vraie pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\) ?

3) Cette propriété est-elle héréditaire ?

Déterminer à partir de quel rang tous les termes de la suite \((u_{n})\) sont strictement plus grands que \(A\) avec :

1) \(u_{n}=n^{2}\) et \(A=10\,000\)

2) \(u_{n}=3n+5\) et \(A=538\)

3) \(u_{n}=2\sqrt{n}\) et \(A=20\)

4) \(u_{n}=n^{2}+10n-1\) et \(A=23\)

Déterminer un encadrement de la suite \((u_{n})\) définie pour tout entier naturel strictement positif \(n\) par \(u_{n}=5+3(-1)^{n}\).

On considère la suite \((u_{n})\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_{n}=\dfrac{4n+5}{n+2}=4-\dfrac{3}{n+2}\).

1) Donner une minoration « évidente » de \((u_{n})\).

2) Montrer que la suite \((u_{n})\) est majorée par 4.

On considère la propriété « \(3^{n}\geqslant 1+2n\) » dont on souhaite démontrer qu^{\prime}elle est vraie pour tout entier \(n\geqslant 0\).

1) Montrer que la propriété est initialisée.

2) Dans cette question, on décompose le travail à faire au brouillon pour justifier l’hérédité.

a) Écrire l’hypothèse de récurrence.

b) Écrire la propriété au rang \(n+1\) (on simplifiera le membre de droite de l’inégalité).

c) Multiplier les deux membres de l’inégalité de la question 2a par 3 puis les simplifier.

d) Justifier que \(3+6n\geqslant 3+2n\) pour tout \(n\geqslant 0\).

3) Rédiger intégralement le raisonnement par récurrence permettant de justifier la propriété souhaitée.

On considère la suite \((u_{n})\) définie par \(u_{0}=5\) et \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n}+1\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

Montrer par récurrence que \(2\leqslant u_{n}\leqslant 5\) pour tout entier \(n\geqslant 0\).

On considère la suite \((w_{n})\) définie par \(w_{0}=0\) et \(w_{n}=-\dfrac{1}{3}w_{n-1}+4\) pour tout \(n\in\mathbb{N}^{*}\).

Montrer par récurrence que \(1\leqslant w_{n}\leqslant 4\) pour tout entier \(n\geqslant 1\).

Pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\), on définit \(n!\) qui se lit « \(n\) factorielle » ou « factorielle \(n\) » par :

\(1!=1\) ; \(2!=1\times 2=2\) ; \(3!=1\times 2\times 3=6\) ; etc.

1) Calculer \(6!\).

2) Montrer par récurrence que \(3^{n}\leqslant n!\) pour tout \(n\geqslant 7\).

3) Montrer que \(n!\leqslant n^{n}\) pour tout \(n\geqslant 1\).

Montrer par récurrence que \(4^{n}-1\) est un multiple de 3 pour tout \(n\geqslant 0\).

On considère la propriété « \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}\) » dont on souhaite démontrer qu^{\prime}elle est vraie pour tout \(n\geqslant 1\).

1) Recopier et compléter :

\[\sum_{k=1}^{n+1}k=\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)+\ldots\]

2) Démontrer la propriété souhaitée par récurrence.

Montrer par récurrence que pour tout entier \(n\geqslant 1\) on a

\[\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]

On a créé une feuille de tableur comme ci-dessous :

Dans la colonne A, on a écrit les premiers nombres impairs. En B1, on a écrit 1. Dans la cellule B2 est écrite la formule « =B1+A2 » qu’on a recopiée vers le bas.

1) Conjecturer une formule pour la somme des premiers nombres impairs : \(1+3+5+\cdots+(2n-1)\) pour \(n\geqslant 1\).

2) Démontrer cette égalité par récurrence.

On considère la suite arithmétique \((u_n)\) de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\).

1) Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a :

\[\sum_{k=0}^{n} u_k = \dfrac{(n+1)(2u_0 + nr)}{2}.\]

2) En déduire la somme des 101 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 8\) et de raison 50.

1) Calculer \(4!\) puis \(1 \times 1! + 2 \times 2! + 3 \times 3!\).

2) Calculer \(5!\) puis \(1 \times 1! + 2 \times 2! + 3 \times 3! + 4 \times 4!\).

3) Conjecturer une expression de \(\sum_{k=1}^{n-1} k.k!\) en fonction de \(n!\) pour \(n \geqslant 2\).

4) Démontrer cette égalité.

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n + 3\) pour tout entier \(n \geqslant 0\).

On a donc \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{1}{4}x + 3\) dont la courbe représentative est donnée ci-dessous avec la droite d’équation \(y = x\) :

1) Reproduire la figure et y construire sans calcul les points d’abscisses \(u_2\) et \(u_3\) sur l’axe des abscisses.

2) a) Entre quels entiers consécutifs peut-on conjecturer que tous les termes de la suite sont compris à partir du rang 1 ?

b) Démontrer cette conjecture.

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0{,}8\) et \(u_{n+1} = (u_n)^2\) pour tout entier \(n \geqslant 0\).

On donne ci-dessous la courbe de la fonction carrée et la droite d^{\prime}équation \(y = x\) :

1) À l^{\prime}aide du graphique ci-dessus, conjecturer les variations de la suite \((u_n)\).

2) Montrer par récurrence que \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n\) pour tout \(n \geqslant 0\).

Que peut-on en déduire sur les variations de \((u_n)\) ?

On considère la suite définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = 2u_n - 1\) pour tout entier \(n \geqslant 0\).

Montrer par récurrence que la suite \((u_n)\) est croissante.

On considère la suite \((w_n)\) définie par \(w_0 = 2\) et \(w_n = \dfrac{1}{5}w_{n-1} + \dfrac{1}{2}\) pour tout entier \(n \geqslant 1\).

Montrer que \(w_n = \dfrac{11}{8}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n + \dfrac{5}{8}\) pour tout \(n \geqslant 0\).

On considère la suite \((w_n)\) définie par \(w_0 = 4\) et par la relation de récurrence \(w_n = 2w_{n-1} - 3\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\). On donne ci-dessous la feuille de tableur donnant les premiers termes de la suite \((w_n)\).

1) Quelle formule a été écrite en B3 et recopiée vers le bas pour obtenir ces résultats ?

2) On considère la suite \((r_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(r_n = w_n - 3\).

Conjecturer une formule explicite pour \((r_n)\) puis pour \((w_n)\).

3) Démontrer cette conjecture.

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = u_n + 3n(n+1) + 1\) pour tout entier \(n \geqslant 0\).

1) À l^{\prime}aide d^{\prime}une calculatrice, conjecturer une expression explicite de \(u_n\).

2) Démontrer cette égalité en utilisant une démonstration par récurrence.

3) Soit \((v_n)\) la suite définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(v_n = n^3\).

a) Montrer que \(v_0 = u_0\).

b) Montrer que la suite \((v_n)\) satisfait la relation de récurrence de la suite \((u_n)\).

\(u\) est la suite définie par \(u_0 = 0\) et, pour tout nombre entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = \sqrt{u_n^{\,2} + 1}\).

Avec le tableur, on a obtenu ci-dessous les premières valeurs de \(u_n\) et \(u_n^{\,2}\).

a) Conjecturer une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).

b) Valider cette conjecture par un raisonnement par récurrence.

\(v\) est la suite définie par \(v_0 = 0\) et pour tout nombre entier naturel \(n\), \(v_{n+1} = v_n + 2n + 2\).

Démontrer par récurrence que pour tout nombre entier naturel \(n\), \(v_n = n(n+1)\).

\(u\) est la suite définie par \(u_0 = 2\) et, pour tout nombre entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = \sqrt{7u_n}\).

a) Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel \(n\), \(0 \leqslant u_n \leqslant 7\).

b) Démontrer par récurrence que la suite \(u\) est croissante.

Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel \(n\), \(2^n \geqslant n + 1\).

Sur cette figure :

• \(OA_0 = 1\) ;
• \(A_0A_1 = A_1A_2 = \ldots = 2\) ;
• les triangles \(OA_0A_1\), \(OA_1A_2\), … sont rectangles.

Démontrer par récurrence, que pour tout nombre entier naturel \(n\), \(OA_n = \sqrt{4n+1}\).

Pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\), \(u_n\) est le nombre de carrés nécessaires à la construction d^{\prime}une pyramide comme ci-contre à \(n\) étages. Ainsi, \(u_1 = 1\).

1. a) Déterminer \(u_2\), puis \(u_3\).

b) Justifier que les nombres de carrés à la base de la pyramide sont les termes d^{\prime}une suite arithmétique.

c) En déduire que pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\),

\[u_{n+1} = u_n + 2n + 1.\]

d) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\), \(u_n = n^2\).

2. Retrouver ce résultat à l’aide de la somme des termes d’une suite arithmétique.

Pour tout entier naturel \(n \geqslant 3\), \(d_n\) est le nombre de diagonales d^{\prime}un polygone convexe à \(n\) sommets.

1. a) Pour chaque polygone convexe ci-dessus, déterminer son nombre de diagonales, puis compléter ce tableau.

b) Dans un repère, quelle est l^{\prime}allure du nuage de points représentant la suite \((d_n)\) ?

c) On admet alors qu^{\prime}il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(d_n = an^2 + bn\). Déterminer \(a\) et \(b\).

2. a) Combien de nouvelles diagonales sont créées lors de l^{\prime}ajout d^{\prime}un sommet au polygone convexe ?

b) En déduire, pour tout entier naturel \(n \geqslant 3\), l’expression de \(d_{n+1}\) en fonction de \(d_n\).

c) Retrouver alors le résultat obtenu à la question 1. c) par récurrence.

Un roi distribue des pièces d’or à ses ministres : au premier ministre, il donne cinq pièces ; au second ministre, il donne le double du premier moins deux pièces ; au troisième ministre, il donne le double du second moins trois pièces ; et ainsi de suite …

Pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\), on note \(a_n\) le nombre de pièces d^{\prime}or distribuées au \(n\)-ième ministre.

a) Pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\), exprimer \(a_{n+1}\) en fonction de \(a_n\).

b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\), \(a_n = 2^n + n + 2\).

c) Combien de pièces d^{\prime}or recevra le \(10^{\text{e}}\) ministre ?

Algo Python

\((u_n)\) est la suite définie par \(u_0 = -1\), \(u_1 = 1\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{u_n}{4}\).

1. Voici un programme écrit en langage Python qui calcule et affiche les \(n\) premiers termes de la suite \((u_n)\).

1 n=int(input("n="))
2 uprecedent=-1
3 u=1
4 print(uprecedent)
5 print(u)
6 for i in range(2,n):
7     temp=☐
8     u=☐
9     uprecedent=temp
10     print(u)

a) Indiquer ce qui est caché sous chacun des deux cadres colorés.

b) Modifier le programme afin qu^{\prime}il affiche également les \(n\) premiers termes de la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par :

\[v_n = 2^n \times u_n.\]

c) Le saisir et le tester pour \(n = 10\).

Quelle conjecture peut-on émettre pour la suite \((v_n)\) ?

d) Selon cette conjecture, exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

2. Démontrer ce résultat par récurrence double

\((F_n)\) est la suite de Fibonacci définie par \(F_0 = 1\), \(F_1 = 1\) et pour tout entier naturel \(n\), \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\).

a) Calculer \(F_2\) et \(F_3\).

b) Démontrer par récurrence double que pour tout entier naturel \(n\), \(F_n \leqslant \left(\dfrac{5}{3}\right)^n\).

c) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\),

\[F_0^2 + F_1^2 + \ldots + F_n^2 = F_n \times F_{n+1}.\]