Bissectrice et angles dans les figures : corrigé du contrôle de maths en 6ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 6ème sur le thème « bissectrice et angles dans les figures », question par question.
Cette correction reprend chaque question comme une copie modèle. Pour chaque angle calculé, tu trouveras l’égalité écrite avant le calcul, puis la phrase-réponse avec l’unité, car c’est ce que ton professeur attend. Deux figures montrent la construction de la bissectrice au compas avec ses arcs, et le découpage de l’angle du carré surmonté de son triangle.
Compare d’abord ta démarche à celle proposée, puis ton résultat : une bonne méthode avec une erreur de calcul rapporte déjà des points. Le barème détaillé te permet de noter ta copie, et les encadrés « Piège classique » signalent les erreurs les plus fréquentes sur ce chapitre, en particulier la confusion entre angle total et demi-angle.
L’énoncé complet se trouve ici : Bissectrice et angles dans les figures : contrôle de maths en 6ème.
Barème du contrôle corrigé : bissectrice et angles dans les figures
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. La demi-droite qui partage | 3 points |
| 2. Construire une bissectrice | 4 points |
| 3. Un éventail d’angles adjacents | 4,5 points |
| 4. Le carré surmonté d’un toit | 4 points |
| 5. Horloge et rose des vents | 4,5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : bissectrice et angles dans les figures
Exercice 1 – La demi-droite qui partage (3 points)
- « La demi-droite \([Oz)\) est la bissectrice de l’angle \(\widehat{xOy}\) car elle partage cet angle en deux angles de même mesure. »
- La bissectrice partage l’angle en deux angles égaux, donc chacun mesure la moitié de \(64^\circ\) :
\(\widehat{xOz} = 64^\circ \div 2 = 32^\circ\).
\(\widehat{xOz} = 32^\circ\) et \(\widehat{zOy} = 32^\circ\). - Chacun des deux angles formés par la bissectrice mesure la moitié de \(150^\circ\) :
\(150^\circ \div 2 = 75^\circ\).
Comme \(75^\circ < 90^\circ\), chacun de ces angles est aigu. Nadia a raison.
Piège classique : répondre « 128° » en doublant au lieu de diviser. La bissectrice coupe l’angle en deux. Ainsi, chaque moitié est plus petite que l’angle de départ.
Exercice 2 – Construire une bissectrice (4 points)
- On trace d’abord \([BC)\). Ensuite, on place le centre du rapporteur sur \(B\) et son zéro sur \([BC)\). On marque alors la graduation \(110\) de la même échelle, puis on trace \([BA)\). Enfin, on place \(A\) et \(C\) à \(6\text{ cm}\) de \(B\). L’angle \(\widehat{ABC}\) est obtus et mesure \(110^\circ\).
- \(110^\circ \div 2 = 55^\circ\). La bissectrice formera deux angles de \(55^\circ\) chacun.
- On trace d’abord l’arc de centre \(B\), puis les deux arcs de même rayon, et enfin la demi-droite. Ordre : S, puis T, puis R.
- On construit l’arc de centre \(B\) qui coupe les côtés en \(P\) et \(Q\). Puis on trace deux arcs de même rayon, centrés en \(P\) et en \(Q\), qui se coupent en \(M\). Enfin, on trace \([BM)\). Au rapporteur, on lit \(\widehat{ABM} = 55^\circ\), ce qui confirme le calcul de la question 2.
Piège classique : lire la mauvaise graduation du rapporteur et tracer un angle de \(70^\circ\) au lieu de \(110^\circ\). Un angle de \(110^\circ\) est obtus : il doit être plus ouvert qu’un angle droit.
Exercice 3 – Un éventail d’angles adjacents (4,5 points)
- Les angles \(\widehat{AOB}\) et \(\widehat{BOC}\) sont adjacents, donc :
\(\widehat{AOC} = \widehat{AOB} + \widehat{BOC} = 35^\circ + 55^\circ = 90^\circ\).
\(\widehat{AOC} = 90^\circ\) : c’est un angle droit. - Les points \(D\), \(O\) et \(A\) sont alignés, donc \(\widehat{AOD}\) est un angle plat de \(180^\circ\). Les angles \(\widehat{AOC}\) et \(\widehat{COD}\) sont adjacents, donc :
\(\widehat{COD} = 180^\circ – 90^\circ = 90^\circ\).
\(\widehat{COD} = 90^\circ\). - \([OE)\) est la bissectrice de \(\widehat{COD}\), donc :
\(\widehat{COE} = 90^\circ \div 2 = 45^\circ\).
Les angles \(\widehat{AOC}\) et \(\widehat{COE}\) sont adjacents, donc :
\(\widehat{AOE} = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ\).
\(\widehat{COE} = 45^\circ\) et \(\widehat{AOE} = 135^\circ\). - Les angles \(\widehat{BOC}\) et \(\widehat{COD}\) sont adjacents, donc :
\(\widehat{BOD} = 55^\circ + 90^\circ = 145^\circ\).
On vérifie : \(\widehat{AOB} + \widehat{BOD} = 35^\circ + 145^\circ = 180^\circ\), c’est bien l’angle plat.
\(\widehat{BOD} = 145^\circ\) : c’est un angle obtus, car \(90^\circ < 145^\circ < 180^\circ\).
Piège classique : mesurer les angles sur la figure au lieu de les calculer. La figure n’est pas à l’échelle, donc seule la justification par les angles adjacents est acceptée.
Exercice 4 – Le carré surmonté d’un toit (4 points)
- \(ABCD\) est un carré : ses quatre angles sont droits, donc \(\widehat{ADC} = 90^\circ\). De plus, \(DCE\) est un triangle équilatéral : chacun de ses angles mesure \(60^\circ\), donc \(\widehat{DCE} = 60^\circ\).
- Le triangle \(DCE\) est équilatéral, donc \(\widehat{CDE} = 60^\circ\). De plus, les angles \(\widehat{ADC}\) et \(\widehat{CDE}\) sont adjacents, donc :
\(\widehat{ADE} = \widehat{ADC} + \widehat{CDE} = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ\).
\(\widehat{ADE} = 150^\circ\). - De même, \(\widehat{BCD} = 90^\circ\) (angle du carré) et \(\widehat{DCE} = 60^\circ\) sont adjacents, donc :
\(\widehat{BCE} = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ\).
\([CG)\) est la bissectrice de \(\widehat{BCE}\), donc :
\(\widehat{BCG} = 150^\circ \div 2 = 75^\circ\).
\(\widehat{BCE} = 150^\circ\) et \(\widehat{BCG} = 75^\circ\).
Piège classique : oublier que l’angle \(\widehat{BCE}\) contient aussi l’angle du carré et répondre \(60^\circ \div 2 = 30^\circ\). Repère bien les deux côtés \([CB)\) et \([CE)\) sur la figure.
Exercice 5 – Horloge et rose des vents (4,5 points)
- Un tour complet du cadran mesure \(360^\circ\). Il est partagé en 12 angles égaux :
\(360^\circ \div 12 = 30^\circ\).
Deux graduations d’heures consécutives forment un angle de \(30^\circ\). - À 3 h, la grande aiguille est sur 12. La petite est sur 3, donc il y a 3 intervalles : \(3 \times 30^\circ = 90^\circ\).
À 4 h, il y a 4 intervalles, donc \(4 \times 30^\circ = 120^\circ\).
Horloge 1 : \(90^\circ\) ; horloge 2 : \(120^\circ\). - Un angle plat mesure \(180^\circ\) et \(180^\circ \div 30^\circ = 6\) intervalles. À 6 h pile.
- Les directions Nord et Est forment un angle droit, et le Nord-Est en est la bissectrice :
\(90^\circ \div 2 = 45^\circ\).
L’angle entre le Nord et le Nord-Est mesure \(45^\circ\). - Salomé passe d’abord du Nord-Est à l’Est (\(45^\circ\)). Ensuite, elle passe de l’Est au Sud (angle droit, \(90^\circ\)) :
\(45^\circ + 90^\circ = 135^\circ\).
Salomé a tourné de \(135^\circ\).
Piège classique : compter les graduations au lieu des intervalles. Entre le 12 et le 4, on voit 5 nombres mais seulement 4 intervalles de \(30^\circ\).
À retenir de ce contrôle
- La bissectrice d’un angle est la demi-droite issue du sommet qui partage cet angle en deux angles de même mesure, chacun égal à la moitié.
- Quand deux angles sont adjacents, la mesure de l’angle formé par leurs côtés extérieurs est la somme de leurs deux mesures.
- Trois points alignés avec le sommet au milieu forment un angle plat de 180°, ce qui permet de trouver un angle par soustraction.
- Sur un cadran d’horloge, deux graduations d’heures consécutives sont séparées par un angle de 360° divisé par 12, soit 30°.
- Pour construire une bissectrice au compas, on garde le même écartement pour les deux arcs tracés depuis les points des côtés.
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