Équations du second degré : corrigé du contrôle de maths en première
Voici le corrigé du contrôle de maths en première sur le thème « équations du second degré », question par question.
Cette correction détaille chaque étape comme on l’attend sur une copie de première. Pour chaque équation, elle indique d’abord les coefficients, puis calcule le discriminant et conclut sur le nombre de solutions. Les passages à la forme canonique sont développés ligne par ligne, afin que tu puisses repérer l’endroit exact d’une erreur.
Deux tableaux de signes dessinés accompagnent l’exercice sur les inéquations. Lis donc chaque barème pour estimer ta note, puis retiens les pièges signalés, car ils reviennent souvent dans l’épreuve anticipée. Enfin, refais sans aide les questions manquées une semaine plus tard pour fixer la méthode.
L’énoncé complet se trouve ici : Équations du second degré : contrôle de maths en première.
Barème du contrôle corrigé : équations du second degré
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Les trois visages d’un trinôme | 4 points |
| 2. Quatre équations à résoudre | 4 points |
| 3. Trois paraboles à identifier | 3 points |
| 4. Signe et inéquations | 4 points |
| 5. Le potager d’Hugo | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : équations du second degré
Exercice 1 – Les trois visages d’un trinôme (4 points)
- On développe la forme proposée :
\(2(x – 1)^2 – 8 = 2(x^2 – 2x + 1) – 8\)
\(= 2x^2 – 4x + 2 – 8 = 2x^2 – 4x – 6\).
On retrouve bien \(f(x)\), donc \(f(x) = 2(x – 1)^2 – 8\). - On factorise d’abord par 2, puis on reconnaît une différence de deux carrés :
\(f(x) = 2\left[(x – 1)^2 – 4\right] = 2\left[(x – 1)^2 – 2^2\right]\)
\(= 2(x – 1 – 2)(x – 1 + 2)\).
\(f(x) = 2(x – 3)(x + 1)\). - Avec la forme développée, \(f(0) = -6\). Ensuite, la forme canonique montre que \(f(x) \geq -8\) car \(2(x – 1)^2 \geq 0\), avec égalité pour \(x = 1\). Enfin, la forme factorisée donne un produit nul : \(x – 3 = 0\) ou \(x + 1 = 0\).
\(f(0) = -6\) ; le minimum de \(f\) vaut \(-8\), atteint en 1 ; les solutions de \(f(x) = 0\) sont \(-1\) et 3.
Piège classique : oublier de multiplier le 1 par 2 en développant \(2(x – 1)^2\). En effet, on obtiendrait \(2x^2 – 4x – 7\), ce qui ne correspond plus à \(f(x)\).
Exercice 2 – Quatre équations à résoudre (4 points)
- Ici \(a = 3\), \(b = -5\) et \(c = 2\), donc \(\Delta = (-5)^2 – 4 \times 3 \times 2 = 25 – 24 = 1\). Comme \(\Delta > 0\), il y a deux solutions :
\(x_1 = \frac{5 – 1}{6} = \frac{2}{3}\) et \(x_2 = \frac{5 + 1}{6} = 1\).
\(S = \{\frac{2}{3} \,;\, 1\}\). - Ici \(\Delta = 6^2 – 4 \times 1 \times 9 = 36 – 36 = 0\) : une seule solution, \(x_0 = \frac{-6}{2} = -3\). On peut aussi reconnaître \((x + 3)^2 = 0\). \(S = \{-3\}\).
- Ici \(\Delta = 1^2 – 4 \times 2 \times 5 = 1 – 40 = -39\). Or \(\Delta < 0\), donc l’équation n’a pas de solution réelle. L’ensemble des solutions est vide.
- On remplace \(x\) par 1 : \(3 \times 1^2 + 4 \times 1 – 7 = 3 + 4 – 7 = 0\), donc 1 est bien solution. De plus, le produit des racines vaut \(\frac{c}{a} = \frac{-7}{3}\). Ainsi \(1 \times x_2 = -\frac{7}{3}\). \(S = \{-\frac{7}{3} \,;\, 1\}\).
Piège classique : écrire \(-5^2 = -25\) dans le calcul de \(\Delta\). Pourtant, \(b^2\) est toujours positif : \((-5)^2 = 25\).
Exercice 3 – Trois paraboles à identifier (3 points)
- Pour \(f\) : \(a = 1 > 0\) et \(\Delta = 4 + 12 = 16 > 0\).
Pour \(g\) : \(a = -1 < 0\) et \(\Delta = 16 – 4 \times (-1) \times (-4) = 16 – 16 = 0\).
Pour \(h\) : \(a = \frac{1}{2} > 0\) et \(\Delta = 1 – 4 \times \frac{1}{2} \times 2 = 1 – 4 = -3 < 0\).
f : a positif, Δ positif ; g : a négatif, Δ nul ; h : a positif, Δ négatif. - Seule \(g\) a un coefficient \(a\) négatif, donc sa parabole est tournée vers le bas : c’est \(C_3\), qui touche l’axe en un seul point, car \(\Delta = 0\). Ensuite, \(f\) a deux racines, donc sa courbe coupe l’axe deux fois : c’est \(C_2\). Enfin, \(h\) n’a pas de racine, par conséquent sa courbe reste au-dessus de l’axe : c’est \(C_1\). \(f \to C_2\), \(g \to C_3\) et \(h \to C_1\).
Exercice 4 – Signe et inéquations (4 points)
- Ici \(a = -2\), \(b = 2\) et \(c = 12\), donc \(\Delta = 4 – 4 \times (-2) \times 12 = 4 + 96 = 100 = 10^2\). Les racines sont :
\(x_1 = \frac{-2 + 10}{-4} = -2\) et \(x_2 = \frac{-2 – 10}{-4} = 3\).
Puisque \(a < 0\), le trinôme est négatif à l’extérieur des racines et positif entre elles. Le tableau de signes est dessiné ci-dessous (première ligne).
- D’après le tableau, \(p(x) \geq 0\) entre les racines, bornes comprises. \(S = [-2 \,;\, 3]\).
- On ramène tout dans un membre : \(x^2 < 4x – 3\) équivaut à \(x^2 – 4x + 3 < 0\). Alors \(\Delta = 16 – 12 = 4\), d’où \(x_1 = \frac{4 – 2}{2} = 1\) et \(x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\). Comme \(a = 1 > 0\), le trinôme est négatif strictement entre ses racines. \(S = \,]1 \,;\, 3[\).
Piège classique : garder les crochets fermés dans une inéquation stricte. Ici, 1 et 3 annulent le trinôme, donc ils ne vérifient pas \(x^2 – 4x + 3 < 0\).
Exercice 5 – Le potager d’Hugo (5 points)
- Le périmètre vaut \(2(\ell + L) = 34\), donc \(\ell + L = 17\). De même, l’aire donne \(\ell \times L = 72\). Ainsi \(L = 17 – \ell\), puis \(\ell(17 – \ell) = 72\), c’est-à-dire \(17\ell – \ell^2 = 72\). Donc \(\ell^2 – 17\ell + 72 = 0\) : \(\ell\) est solution de l’équation.
- On calcule \(\Delta = (-17)^2 – 4 \times 72 = 289 – 288 = 1\). Les solutions sont \(\frac{17 – 1}{2} = 8\) et \(\frac{17 + 1}{2} = 9\). Comme \(\ell \leq L\), on a \(\ell = 8\) et \(L = 17 – 8 = 9\). Vérification : \(8 \times 9 = 72\). Le potager mesure 8 m de large et 9 m de long.
- Les nouvelles dimensions sont \(8 + x\) et \(9 + x\), donc :
\((8 + x)(9 + x) = 110\)
\(72 + 8x + 9x + x^2 = 110\)
\(x^2 + 17x – 38 = 0\).
On obtient bien l’équation demandée. - On a \(\Delta = 17^2 + 4 \times 38 = 289 + 152 = 441 = 21^2\). D’où \(x_1 = \frac{-17 + 21}{2} = 2\) et \(x_2 = \frac{-17 – 21}{2} = -19\). Or \(x\) est une longueur positive, donc on garde \(x = 2\). En effet, \(10 \times 11 = 110\). Hugo doit ajouter 2 m : le potager mesure alors 10 m sur 11 m.
Piège classique : garder la solution \(-19\). Pourtant, une longueur ajoutée ne peut pas être négative : il faut toujours confronter les solutions au contexte.
À retenir de ce contrôle
- Pour un trinôme ax² + bx + c, on calcule Δ = b² − 4ac : deux racines si Δ est positif, une seule s’il est nul, aucune s’il est négatif.
- La forme canonique a(x − α)² + β donne directement le sommet de la parabole, de coordonnées α et β.
- Un trinôme est du signe de a à l’extérieur de ses racines et du signe contraire entre elles.
- Quand x₁ est une racine évidente, le produit des racines vaut c/a, ce qui donne l’autre racine sans discriminant.
- Avant de résoudre une inéquation, on regroupe tous les termes dans un seul membre pour comparer à zéro.
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