Multiples, diviseurs et problèmes à étapes : corrigé du contrôle de maths en CM2
Voici le corrigé du contrôle de maths en CM2 sur le thème « multiples, diviseurs et problèmes à étapes », question par question.
Cette correction reprend les cinq exercices avec une rédaction complète, telle qu’on l’attend sur une copie de CM2. Pour les diviseurs, elle montre comment les trouver par paires de produits, afin de n’en oublier aucun. Les critères de divisibilité sont justifiés par le dernier chiffre ou par la somme des chiffres.
La frise des grenouilles est redessinée avec les multiples communs repérés, et le schéma en barres de la facture est complété avec les deux montants. Dans les problèmes, chaque étape a son calcul et sa phrase-réponse. Ensuite, le barème détaille les points ; lis aussi les pièges signalés, comme l’oubli du dernier car quand la division a un reste.
L’énoncé complet se trouve ici : Multiples, diviseurs et problèmes à étapes : contrôle de maths en CM2.
Barème du contrôle corrigé : multiples, diviseurs et problèmes à étapes
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Les rangements de 24 jetons | 4 points |
| 2. Les critères de divisibilité | 4 points |
| 3. Les deux grenouilles | 4 points |
| 4. La commande de fournitures | 4 points |
| 5. La sortie au zoo | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : multiples, diviseurs et problèmes à étapes
Exercice 1 – Les rangements de 24 jetons (4 points)
- Le rangement A a 3 rangées de 8 jetons, et le rangement B a 4 rangées de 6 jetons. \(3 \times 8 = 24\) et \(4 \times 6 = 24\).
- On cherche d’autres produits égaux à 24 : \(1 \times 24 = 24\) et \(2 \times 12 = 24\). Salomé peut faire 1 rangée de 24 jetons, ou 2 rangées de 12 jetons.
- On a donc les paires 1 et 24 ; 2 et 12 ; 3 et 8 ; 4 et 6. Ensuite, 5 ne divise pas 24, et après 6 on retrouve des nombres déjà écrits.
Les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24. - 5 n’est pas dans la liste des diviseurs de 24. En effet, \(24 = 5 \times 4 + 4\) : il resterait 4 jetons. Non, les rangées de 5 ne tombent pas juste.
Piège classique : oublier 1 et 24 dans la liste. Pourtant, tout nombre est divisible par 1 et par lui-même.
Exercice 2 – Les critères de divisibilité (4 points)
- On regarde le dernier chiffre pour 2, 5 et 10, puis la somme des chiffres pour 3 et 9.
135 : se termine par 5 ; \(1 + 3 + 5 = 9\). Donc par 2 : non ; par 3 : oui ; par 5 : oui ; par 9 : oui ; par 10 : non.
270 : se termine par 0 ; \(2 + 7 + 0 = 9\). Donc oui pour 2, 3, 5, 9 et 10.
402 : se termine par 2 ; \(4 + 0 + 2 = 6\). Donc par 2 : oui ; par 3 : oui ; par 5 : non ; par 9 : non ; par 10 : non.
918 : se termine par 8 ; \(9 + 1 + 8 = 18\). Donc par 2 : oui ; par 3 : oui ; par 5 : non ; par 9 : oui ; par 10 : non.
1 045 : se termine par 5 ; \(1 + 0 + 4 + 5 = 10\). Donc par 2 : non ; par 3 : non ; par 5 : oui ; par 9 : non ; par 10 : non.
Seul 270 est divisible par les cinq nombres. - Les multiples de 9 entre 50 et 60 sont 54 seulement, car \(9 \times 6 = 54\) et \(9 \times 7 = 63\). Or 54 est pair. Le nombre cherché est 54.
- La somme des chiffres est \(4 + 7 + 2 + 5 = 18\), et 18 est dans la table de 9 : 4 725 est donc divisible par 9. En revanche, il se termine par 5, qui est impair. 4 725 est divisible par 9, mais pas par 2.
Piège classique : croire que 402 est divisible par 9 parce qu’il est divisible par 3. Au contraire, la somme 6 n’est pas dans la table de 9.
Exercice 3 – Les deux grenouilles (4 points)
- On cherche les produits par paires.
\(18 = 1 \times 18 = 2 \times 9 = 3 \times 6\).
\(30 = 1 \times 30 = 2 \times 15 = 3 \times 10 = 5 \times 6\).
Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18. Diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. - On garde les nombres présents dans les deux listes. Les diviseurs communs sont 1, 2, 3 et 6 ; le plus grand est 6.
- On lit les cases où chaque grenouille se pose.
Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48.
Multiples de 8 : 8, 16, 24, 32, 40, 48. - Les nombres présents dans les deux listes sont 24 et 48 : ce sont les cases communes. Les grenouilles se posent toutes les deux sur 24 et sur 48 ; le plus petit multiple commun non nul de 6 et de 8 est 24.
Piège classique : répondre 48 en multipliant \(6 \times 8\). C’est bien un multiple commun, mais ce n’est pas le plus petit.
Exercice 4 – La commande de fournitures (4 points)
- Chaque paquet coûte 8 €, donc \(12 \times 8 = 96\). Les cahiers coûtent 96 €.
- La facture totale est la somme des deux parts du schéma : \(276 – 96 = 180\). Les boîtes de feutres coûtent 180 € en tout.
- Les 15 boîtes sont identiques, donc on partage : \(180 \div 15 = 12\), car \(15 \times 12 = 180\). Une boîte de feutres coûte 12 €.
- Il reste \(300 – 276 = 24\) € dans le budget. Ensuite, 2 boîtes coûtent \(2 \times 12 = 24\) €. Oui, elle peut acheter exactement 2 boîtes de plus, et il ne lui restera rien.
Exercice 5 – La sortie au zoo (4 points)
- Élèves : \(27 + 26 + 25 = 78\). Puis, avec les adultes : \(78 + 6 = 84\). 84 personnes partent au zoo.
- On divise 84 par 32 : \(84 = 32 \times 2 + 20\). Deux cars transportent donc 64 personnes, mais il en reste 20 à placer. Il faut réserver 3 cars.
- On cherche un diviseur de 78 compris entre 10 et 15.
78 n’est divisible ni par 10, ni par 11, ni par 12. En revanche, \(13 \times 6 = 78\). Enfin, 78 n’est divisible ni par 14, ni par 15.
Chaque groupe compte 13 élèves, et il y a 6 groupes. - Élèves : \(78 \times 7 = 546\) €. Adultes : \(6 \times 11 = 66\) €. Ainsi : \(546 + 66 = 612\). Les entrées coûtent 612 € en tout.
Piège classique : répondre « 2 cars » en ne gardant que le quotient. Or les 20 personnes du reste doivent aussi voyager, donc il faut un car de plus.
À retenir de ce contrôle
- Un nombre est divisible par 3 quand la somme de ses chiffres est divisible par 3 ; de même pour 9.
- Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8, et par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
- On trouve tous les diviseurs d’un nombre en cherchant les produits égaux à ce nombre, rangés par paires.
- Un multiple commun à deux nombres est un nombre qu’on atteint en avançant de l’un ou de l’autre de ces nombres.
- Quand on partage des personnes dans des cars, le reste de la division impose un car de plus.
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Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon les opérations posées puis problèmes et calculs ; entraîne-toi sur la fiche opérations et calculs et problèmes et calculs.
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