Périmètres et aires des figures usuelles : corrigé du contrôle de maths en 6ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 6ème sur le thème « périmètres et aires des figures usuelles », question par question.
Dans cette correction, chaque réponse est rédigée comme sur une copie : la formule écrite en mots, puis le calcul en ligne, puis une phrase avec l’unité. Les multiplications par 3,14 sont détaillées. Ainsi, tu peux repérer une erreur de virgule. Pour les conversions, on rappelle combien de fois on multiplie par 10 ou par 100, selon qu’il s’agit de longueurs ou d’aires. La pelouse du dernier exercice est redessinée avec son découpage en rectangle et demi-disque. Le barème placé après chaque exercice indique ce qui rapporte des points. Les pièges signalés sont ceux que l’on rencontre sur presque toutes les copies.
L’énoncé complet se trouve ici : Périmètres et aires des figures usuelles : contrôle de maths en 6ème.
Barème du contrôle corrigé : périmètres et aires des figures usuelles
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Trois figures sur un quadrillage | 4 points |
| 2. Les formules en action | 4 points |
| 3. Cercle, disque et roue de vélo | 4 points |
| 4. Conversions de longueurs et d’aires | 3 points |
| 5. La pelouse de M. Diallo | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : périmètres et aires des figures usuelles
Exercice 1 – Trois figures sur un quadrillage (4 points)
- D’abord, on compte les carreaux de 1 cm². On coupe en deux les carreaux traversés en diagonale.
Figure A : 4 carreaux sur 3, soit \(4 \times 3 = 12\) carreaux : aire de A = 12 cm².
Figure B : 6 carreaux en bas et 2 carreaux au-dessus à gauche, soit \(6 + 2 = 8\) carreaux : aire de B = 8 cm².
Figure C : c’est la moitié d’un rectangle de 4 carreaux sur 3, soit \(12 \div 2 = 6\) carreaux : aire de C = 6 cm². - Figure A : \(4 + 3 + 4 + 3 = 14\), donc périmètre de A = 14 cm.
Figure B : en partant du coin en bas à gauche et en tournant : \(6 + 1 + 5 + 2 + 1 + 3 = 18\), donc périmètre de B = 18 cm. - La figure A a une aire plus grande que B (\(12\text{ cm}^2 > 8\text{ cm}^2\)), mais un périmètre plus petit (\(14\text{ cm} < 18\text{ cm}\)). Lina a tort : la figure qui a la plus grande aire n’a pas forcément le plus grand périmètre.
Piège classique : pour la figure B, on oublie souvent les deux petits côtés intérieurs du « coin ». Ils mesurent 2 cm et 1 cm.
Exercice 2 – Les formules en action (4 points)
- Périmètre du carré \(= 4 \times \text{côté} = 4 \times 7 = 28\), donc 28 cm.
Aire du carré \(= \text{côté} \times \text{côté} = 7 \times 7 = 49\), donc 49 cm². - Périmètre du rectangle \(= 2 \times (8{,}5 + 4) = 2 \times 12{,}5 = 25\), donc 25 m.
Aire du rectangle \(= 8{,}5 \times 4 = 34\), donc 34 m². - Aire du triangle \(= \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \dfrac{BC \times AH}{2} = \dfrac{10 \times 6}{2} = \dfrac{60}{2} = 30\).
L’aire du triangle ABC est 30 cm².
Piège classique : oublier de diviser par 2 pour le triangle, ou utiliser un côté oblique comme hauteur.
Exercice 3 – Cercle, disque et roue de vélo (4 points)
- Longueur du cercle \(= 2 \times \pi \times \text{rayon} \approx 2 \times 3{,}14 \times 5\).
\(2 \times 5 = 10\) et \(10 \times 3{,}14 = 31{,}4\).
La longueur du cercle est environ 31,4 cm. - Aire du disque \(= \pi \times \text{rayon} \times \text{rayon} \approx 3{,}14 \times 5 \times 5\).
\(5 \times 5 = 25\) et \(3{,}14 \times 25 = 78{,}5\).
L’aire du disque est environ 78,5 cm². - a) En un tour, le vélo avance de la longueur du tour de la roue : \(\pi \times \text{diamètre} \approx 3{,}14 \times 60 = 188{,}4\).
En un tour de roue, le vélo parcourt environ 188,4 cm.
b) \(188{,}4 \times 10 = 1\,884\) cm, et \(1\,884\text{ cm} = 18{,}84\text{ m}\).
En 10 tours, le vélo parcourt environ 18,84 m.
Piège classique : multiplier par 2 pour l’aire du disque (\(2 \times 3{,}14 \times 5\)) : ce calcul donne la longueur du cercle, pas l’aire.
Exercice 4 – Conversions de longueurs et d’aires (3 points)
- 1 m = 100 cm, donc \(3{,}5 \times 100 = 350\) : 3,5 m = 350 cm.
- 1 m = 1 000 mm, donc \(2\,400 \div 1\,000 = 2{,}4\) : 2 400 mm = 2,4 m.
- 1 m² est un carré de 100 cm sur 100 cm, donc 1 m² = \(100 \times 100 = 10\,000\) cm².
\(5 \times 10\,000 = 50\,000\) : 5 m² = 50 000 cm². - Aire du champ \(= 250 \times 80 = 20\,000\), donc 20 000 m².
1 ha = 10 000 m², donc \(20\,000 \div 10\,000 = 2\) : le champ mesure 2 ha.
Piège classique : écrire 5 m² = 500 cm² en multipliant par 100. Pour les aires, chaque unité vaut 100 fois la suivante.
Exercice 5 – La pelouse de M. Diallo (5 points)
- La bordure suit les deux grands côtés du rectangle, le côté de gauche et le demi-cercle. Le côté de droite est à l’intérieur de la pelouse.
Longueur du demi-cercle \(= \dfrac{\pi \times 6}{2} \approx \dfrac{3{,}14 \times 6}{2} = \dfrac{18{,}84}{2} = 9{,}42\), donc \(9{,}42\) m.
Longueur de la bordure \(\approx 8 + 8 + 6 + 9{,}42 = 31{,}42\).
La bordure mesure environ 31,42 m. - Aire du rectangle \(= 8 \times 6 = 48\), donc 48 m².
Le demi-disque a pour rayon \(6 \div 2 = 3\) m.
Aire du demi-disque \(= \dfrac{\pi \times 3 \times 3}{2} \approx \dfrac{3{,}14 \times 9}{2} = \dfrac{28{,}26}{2} = 14{,}13\), donc \(14{,}13\) m².
Aire de la pelouse \(\approx 48 + 14{,}13 = 62{,}13\).
L’aire de la pelouse est environ 62,13 m². - 3 sacs couvrent \(3 \times 20 = 60\) m², ce qui ne suffit pas car \(60 < 62{,}13\). Il faut donc un sac de plus : 4 sacs, qui couvrent 80 m².
Prix : \(4 \times 12{,}50 = 50\).
M. Diallo doit acheter 4 sacs et paiera 50 €.
Piège classique : compter dans la bordure le côté de 6 m qui sépare le rectangle du demi-disque. Autre erreur : répondre « 3,1 sacs », alors qu’on achète un nombre entier de sacs.
À retenir de ce contrôle
- Le périmètre est la longueur du tour d’une figure et s’exprime en cm ou en m ; l’aire mesure sa surface et s’exprime en cm² ou en m².
- Aire d’un triangle : base multipliée par la hauteur relative à cette base, le tout divisé par 2.
- Longueur d’un cercle : 2 × π × rayon, ou π × diamètre ; aire d’un disque : π × rayon × rayon.
- Pour les aires, on passe d’une unité à la suivante en multipliant ou en divisant par 100, et 1 ha = 10 000 m².
- Deux figures peuvent avoir des aires rangées dans un ordre et des périmètres rangés dans l’ordre inverse.
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