Exercice 1 : probabilité et fonction définie sur un intervalle
1. Justifier que la fonction \( f \) est une densité de la loi de probabilité d’une variable aléatoire \( X \).
Pour que \( f \) soit une densité de probabilité, il faut que \( f \) soit positive sur \([2; 10]\) et que l’intégrale de \( f \) sur cet intervalle soit égale à 1.
Dans le graphique, \( f \) prend une forme triangulaire sur \([2; 10]\). Nous devons vérifier si l’aire sous la courbe est égale à 1.
L’aire d’un triangle est donnée par :
\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \]
La base du triangle est de \( 10 – 2 = 8 \) et la hauteur maximale de \( f \) est \( 0.25 \).
\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times 8 \times 0.25 = 1 \]
L’intégrale de \( f \) sur \([2; 10]\) est donc égale à 1. Par conséquent, \( f \) est une densité de probabilité.
2. Calculer :
a) \( P(2 \leq\, X \leq\, 8) \)
L’aire sous la courbe \( f \) de \( 2 \) à \( 8 \) correspond à l’aire d’un triangle avec une base de \( 8 – 2 = 6 \) et une hauteur de \( 0.1875 \).
\[ \text{Aire}_{[2;8]} = \frac{1}{2} \times 6 \times 0.1875 = 0.5625 \]
Donc, \( P(2 \leq\, X \leq\, 8) = 0.5625 \).
b) \( P(X > 4) \)
Pour calculer cette probabilite, il faut soustraire l’aire du triangle de \( 2 \) à \( 4 \) de l’aire totale (qui est 1).
Calculons l’aire de \( 2 \) à \( 4 \):
La base est \( 4 – 2 = 2 \), et la hauteur est environ \( 0.0625 \).
\[ \text{Aire}_{[2;4]} = \frac{1}{2} \times 2 \times 0.0625 = 0.0625 \]
\[ P(X > 4) = 1 – P(2 \leq\, X \leq\, 4) = 1 – 0.0625 = 0.9375 \]
3. A-t-on \( P(X \leq\, 8) = P(X > 8) \) ? Justifier.
Non, nous n’avons pas \( P(X \leq\, 8) = P(X > 8) \).
\[ P(X \leq\, 8) = 0.5625 \]
\[ P(X > 8) = 1 – P(2 \leq\, X \leq\, 8) = 1 – 0.5625 = 0.4375 \]
Donc, \( P(X \leq\, 8) \neq P(X > 8) \). La probabilité que \( X \) soit inférieure ou égale à 8 n’est pas égale à la probabilité que \( X \) soit strictement supérieure à 8.
Exercice 2 : variable aléatoire et loi de probabilité
1. Calculer la valeur exacte de chaque probabilité.
Soit \(X\) une variable aléatoire dont la densité de probabilité est \( f(x) = 4x^3 \) pour \( x \in [0,1] \).
a) \( P(X \leq\, 0,2) \)
Pour calculer cette probabilité, on doit intégrer \(f(x)\) de 0 à 0,2 :
\[
P(X \leq\, 0,2) = \int_{0}^{0,2} 4x^3 \, dx
\]
Calculons l’intégrale :
\[
\int_{0}^{0,2} 4x^3 \, dx = 4 \int_{0}^{0,2} x^3 \, dx = 4 [ \frac{x^4}{4} ]_{0}^{0,2} = [ x^4 ]_{0}^{0,2} = (0,2)^4 – 0^4 = 0,0016
\]
Donc, \( P(X \leq\, 0,2) = 0,0016 \).
b) \( P(0,1 \leq\, X < 0,8) \)
Pour cette probabilité, on intègre \(f(x)\) de 0,1 à 0,8 :
\[
P(0,1 \leq\, X < 0,8) = \int_{0,1}^{0,8} 4x^3 \, dx
\]
Calculons l’intégrale :
\[
\int_{0,1}^{0,8} 4x^3 \, dx = 4 \int_{0,1}^{0,8} x^3 \, dx = 4 [ \frac{x^4}{4} ]_{0,1}^{0,8} = [ x^4 ]_{0,1}^{0,8} = (0,8)^4 – (0,1)^4
\]
\[
= 0,4096 – 0,0001 = 0,4095
\]
Donc, \( P(0,1 \leq\, X < 0,8) = 0,4095 \).
c) \( P(X > 0,6) \)
Pour cette probabilité, on intègre \(f(x)\) de 0,6 à 1 :
\[
P(X > 0,6) = \int_{0,6}^{1} 4x^3 \, dx
\]
Calculons l’intégrale :
\[
\int_{0,6}^{1} 4x^3 \, dx = 4 \int_{0,6}^{1} x^3 \, dx = 4 [ \frac{x^4}{4} ]_{0,6}^{1} = [ x^4 ]_{0,6}^{1} = 1 – (0,6)^4
\]
\[
= 1 – 0,1296 = 0,8704
\]
Donc, \( P(X > 0,6) = 0,8704 \).
2. Déterminer le nombre réel \( a \) de l’intervalle \([0;1]\) tel que \( P(X < a) = 0,25 \).
Cela revient à résoudre l’équation suivante :
\[
\int_{0}^{a} 4x^3 \, dx = 0,25
\]
Calculons l’intégrale :
\[
4 \int_{0}^{a} x^3 \, dx = 4 [ \frac{x^4}{4} ]_{0}^{a} = [ x^4 ]_{0}^{a} = a^4
\]
Donc, nous devons résoudre :
\[
a^4 = 0,25
\]
D’où :
\[
a = \sqrt[4]{0,25} = (0,25)^{1/4}
\]
\[
a = (\frac{1}{4})^{1/4} = (\frac{1}{2})^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Donc, \( a = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Exercice 3 : loi de probabilité et densité
\[X\] est une variable aléatoire continue à valeurs dans l’intervalle \[[0, +\infty[\] dont la densité de probabilité est :
\[\] f(x) = 2e^{-2x} \[\]
Pour calculer la probabilité \[P(n \leq\, X \leq\, n + 1)\] pour tout \[n \in \mathbb{N}\], il faut intégrer la densité de probabilité entre les bornes \[n\] et \[n + 1\] :
\[\] P(n \leq\, X \leq\, n + 1) = \int_{n}^{n+1} f(x) \, dx \[\]
On remplace \[f(x)\] par \[2e^{-2x}\] :
\[\] P(n \leq\, X \leq\, n + 1) = \int_{n}^{n+1} 2e^{-2x} \, dx \[\]
Pour résoudre cette intégrale, on utilise la formule de l’intégrale d’une fonction exponentielle :
\[\] \int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} \[\]
Ici, \[a = -2\]. On a donc :
\[\] \int 2e^{-2x} \, dx = 2 \cdot \frac{-1}{2} e^{-2x} = -e^{-2x} \[\]
Ensuite, on évalue cette expression entre \[n\] et \[n + 1\] :
\[\] P(n \leq\, X \leq\, n + 1) = [ -e^{-2x} ]_{n}^{n+1} \[\]
Cela donne :
\[\] P(n \leq\, X \leq\, n + 1) = -e^{-2(n+1)} – (-e^{-2n}) \[\]
\[\] P(n \leq\, X \leq\, n + 1) = -e^{-2n-2} + e^{-2n} \[\]
\[\] P(n \leq\, X \leq\, n + 1) = e^{-2n} – e^{-2(n+1)} \[\]
En simplifiant, on obtient :
\[\] P(n \leq\, X \leq\, n + 1) = e^{-2n} – e^{-2n-2} \[\]
\[\] P(n \leq\, X \leq\, n + 1) = e^{-2n} (1 – e^{-2}) \[\]
Ainsi, la probabilité demandée est :
\[\] P(n \leq\, X \leq\, n + 1) = e^{-2n}(1 – e^{-2}) \[\]
Exercice 4 : une variable aléatoire X suit la loi uniforme
1) Calculons la probabilité \[P(X < 20)\] pour une variable aléatoire \(X\) qui suit la loi uniforme sur \([0, 100]\).
La densité de probabilité d’une loi uniforme sur \([a, b]\) est donnée par :
\[ f(x) = \frac{1}{b-a} \]
Ici, \(a = 0\) et \(b = 100\). Donc,
\[ f(x) = \frac{1}{100} \]
La probabilité \(P(X < 20)\) est l’intégrale de la densité de probabilité de 0 à 20 :
\[ P(X < 20) = \int_{0}^{20} f(x) \, dx \]
Calculons cette intégrale :
\[ P(X < 20) = \int_{0}^{20} \frac{1}{100} \, dx = \frac{1}{100} \int_{0}^{20} dx = \frac{1}{100} [ x ]_{0}^{20} = \frac{1}{100} ( 20 – 0 ) = \frac{20}{100} = 0{,}2 \]
Donc,
\[ P(X < 20) = 0{,}2 \]
2) Calculons l’espérance \(E(X)\) pour une variable aléatoire \(X\) qui suit la loi uniforme sur \([0, 100]\).
L’espérance d’une variable aléatoire \(X\) suivant la loi uniforme sur \([a, b]\) est donnée par :
\[ E(X) = \frac{a + b}{2} \]
Ici, \(a = 0\) et \(b = 100\). Donc,
\[ E(X) = \frac{0 + 100}{2} = \frac{100}{2} = 50 \]
Donc,
\[ E(X) = 50 \]
Exercice 5 : variable aléatoire modélisant une trotteuse
1) La variable aléatoire modélisant la valeur donnée par la trotteuse suit une loi uniforme sur l’intervalle \([0, 60]\) secondes. Cette variable aléatoire, notée \(X\), a donc une densité de probabilité définie par :
\[ f_X(x) = \begin{cases}
\frac{1}{60} \text{si } x \in [0, 60] \\
0 \text{sinon}
\end{cases} \]
2) La probabilité que Paul réponde de manière affirmative correspond à la probabilité que la trotteuse indique un temps entre 45 et 60 secondes.
Soit \(P(45 \leq\, X \leq\, 60)\). Pour une variable aléatoire uniforme, cette probabilité est donnée par :
\[ P(45 \leq\, X \leq\, 60) = \int_{45}^{60} f_X(x) \, dx \]
En utilisant la densité de probabilité \( f_X(x) = \frac{1}{60} \) pour \( x \in [0, 60] \), nous obtenons :
\[ P(45 \leq\, X \leq\, 60) = \int_{45}^{60} \frac{1}{60} \, dx \]
Cette intégrale se calcule facilement :
\[ P(45 \leq\, X \leq\, 60) = \frac{1}{60} \int_{45}^{60} 1 \, dx = \frac{1}{60} [x]_{45}^{60} = \frac{1}{60} (60 – 45) = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} \]
Ainsi, la probabilité que Paul réponde de manière affirmative est \(\frac{1}{4}\) ou 25%.
Exercice 6 : loi de densité d’une loi uniforme
1) Pour la loi \(\mathcal{U}([-1 ; 1])\):
\[ f(x) = \begin{cases}
1/2 \text{si } -1 \le x \le 1 \\
0 \text{sinon}
\end{cases} \]
2) Pour la loi \(\mathcal{U}([0 ; 120])\):
\[ f(x) = \begin{cases}
1/120 \text{si } 0 \le x \le 120 \\
0 \text{sinon}
\end{cases} \]
3) Pour la loi \(\mathcal{U}([-10 ; 20])\):
\[ f(x) = \begin{cases}
1/30 \text{si } -10 \le x \le 20 \\
0 \text{sinon}
\end{cases} \]
4) Pour la loi \(\mathcal{U}([-0,1 ; 0,3])\):
\[ f(x) = \begin{cases}
5 \text{si } -0,1 \le x \le 0,3 \\
0 \text{sinon}
\end{cases} \]
Exercice 7 : variable aléatoire suivant une loi exponentielle
La loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) a une fonction de répartition donnée par :
\[ F_Y(y) = 1 – e^{-\lambda y} \]
Pour \(\lambda = 0.001\), la fonction de répartition devient :
\[ F_Y(y) = 1 – e^{-0.001 y} \]
1) Calculer \( P(Y < 1500) \):
\[ P(Y < 1500) = F_Y(1500) = 1 – e^{-0.001 \times 1500} \]
\[ P(Y < 1500) = 1 – e^{-1.5} \]
2) Calculer \( P(400 \leq\, Y \leq\, 2000) \):
\[ P(400 \leq\, Y \leq\, 2000) = F_Y(2000) – F_Y(400) \]
\[ = (1 – e^{-0.001 \times 2000}) – (1 – e^{-0.001 \times 400}) \]
\[ = 1 – e^{-2} – (1 – e^{-0.4}) \]
\[ = e^{-0.4} – e^{-2} \]
3) Calculer \( P(Y \geq\, 1000) \):
\[ P(Y \geq\, 1000) = 1 – P(Y < 1000) = 1 – F_Y(1000) \]
\[ = 1 – (1 – e^{-0.001 \times 1000}) \]
\[ = e^{-1} \]
4) Calculer \( P_{Y > 1000}(Y \geq\, 2000) \):
Pour cela, nous devons utiliser la formule de la probabilité conditionnelle :
\[ P_{Y > 1000}(Y \geq\, 2000) = \frac{P(Y \geq\, 2000 \cap Y > 1000)}{P(Y > 1000)} \]
\[ = \frac{P(Y \geq\, 2000)}{P(Y > 1000)} \]
Nous avons déjà calculé \(P(Y \geq\, 1000) = e^{-1}\). Calculons maintenant \(P(Y \geq\, 2000)\):
\[ P(Y \geq\, 2000) = 1 – F_Y(2000) = 1 – (1 – e^{-0.001 \times 2000}) \]
\[ = e^{-2} \]
Ainsi :
\[ P_{Y > 1000}(Y \geq\, 2000) = \frac{e^{-2}}{e^{-1}} \]
\[ = e^{-2 + 1} \]
\[ = e^{-1} \]
En résumé :
1) \( P(Y < 1500) = 1 – e^{-1.5} \)
2) \( P(400 \leq\, Y \leq\, 2000) = e^{-0.4} – e^{-2} \)
3) \( P(Y \geq\, 1000) = e^{-1} \)
4) \( P_{Y > 1000}(Y \geq\, 2000) = e^{-1} \)
Exercice 8 : calculer une espérance
Pour une variable aléatoire \( X \) suivant une loi exponentielle de paramètre \( \lambda \), la densité de probabilité est donnée par :
\[ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq\, 0 \]
1) On sait que \( f(0) = 0.5 \). Ainsi, on a :
\[ f(0) = \lambda e^{-\lambda \cdot 0} = \lambda = 0.5 \]
Par conséquent, la valeur de \( \lambda \) est :
\[ \lambda = 0.5 \]
2) Pour une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre \( \lambda \), l’espérance \( E(X) \) est donnée par :
\[ E(X) = \frac{1}{\lambda} \]
Ainsi, avec \( \lambda = 0.5 \) :
\[ E(X) = \frac{1}{0.5} = 2 \]
Donc, l’espérance \( E(X) \) est \( 2 \).
Exercice 9 : une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle
1) Pour déterminer \(\lambda\), nous utilisons la propriété d’une variable aléatoire \(D\) suivant une loi exponentielle.
La probabilité que \(D > t\) pour une variable exponentielle de paramètre \(\lambda\) est donnée par:
\[ P(D > t) = e^{-\lambda t} \]
On sait que:
\[ P(D > 3) = e^{-0.9} \]
En égalant les deux expressions, nous avons:
\[ e^{-\lambda \cdot 3} = e^{-0.9} \]
En prenant le logarithme naturel des deux côtés, nous obtenons:
\[ -\lambda \cdot 3 = -0.9 \]
Ainsi:
\[ \lambda = \frac{0.9}{3} = 0.3 \]
2) Pour calculer \( P(D \leq\, 2) \), nous utilisons la fonction de répartition cumulative (CDF) d’une variable exponentielle:
\[ P(D \leq\, 2) = 1 – P(D > 2) \]
Nous avons déjà vu que:
\[ P(D > t) = e^{-\lambda t} \]
Donc:
\[ P(D > 2) = e^{-0.3 \cdot 2} = e^{-0.6} \]
Ainsi:
\[ P(D \leq\, 2) = 1 – e^{-0.6} \]
Exercice 10 : déterminer les probabilités suivantes
Correction de l’exercice :
1) \( P(8 < X < 9) \)
Utilisant la symétrie de la courbe (distribution normale centrée), et sachant que la surface sous la courbe entre 7 et 9 est 0.5, la probabilité \( P(8 < X < 9) \) est égale à 0.25, car l’intervalle \( 8 < X < 9 \) est la moitié de l’intervalle \( 7 < X < 9 \).
Donc,
\[ P(8 < X < 9) = 0.25 \]
2) \( P(X \ge 9) \)
La probabilité que \( X \) soit au moins 9 est symétrique à la probabilité que \( X \) soit au plus 7 (car \( X \) suit une distribution normale centrée). On a :
\[ P(X \ge 9) = P(X \le 7) = \frac{1}{2} – 0.25 = 0.25 \]
Donc,
\[ P(X \ge 9) = 0.25 \]
3) \( P(X \le 9) \)
En considérant la totalité de la probabilité sous la courbe à gauche de \( X = 9 \):
\[ P(X \le 9) = 1 – P(X \ge 9) \]
On a déjà trouvé que \( P(X \ge 9) = 0.25 \). Donc,
\[ P(X \le 9) = 1 – 0.25 = 0.75 \]
Donc,
\[ P(X \le 9) = 0.75 \]
4) \( P(X > 7) \) ou \( P(X \le 8) \)
\[ P(X > 7) = 1 – P(X \le 7) = 1 – 0.25 = 0.75 \]
\[ P(X \le 8) = P(X \le 7) + P(7 < X \le 8) = 0.25 + 0.25 = 0.5 \]
Donc,
\[ P(X > 7) = 0.75 \]
\[ P(X \le 8) = 0.5 \]
\[ P(X > 7) \cup P(X \le 8) = 1 – P(X \le 7) = 0.75 \]
\[ \boxed{0.75} \]
Donc,
\[ P(X > 7) \cup P(X \le 8) = 0.75 \]
Exercice 11 : calculer la valeur des différentes probabilités
\( P(Y \leq\, 9) \)
Pour déterminer cette probabilité, nous devons utiliser la courbe de distribution normale. D’après le graphique, nous savons que
\[
P(Y > 13) = 0,09.
\]
Comme la distribution est symétrique autour de l’espérance, l’air sous la courbe à gauche de 11 (la moitié gauche de la courbe) est égale à 0,5. Donc,
\[
P(9 < Y \leq\, 11) = 0,5 – P(Y > 13).
\]
Pour déterminer la probabilité exacte \( P(Y \leq\, 9) \), nous devons probablement disposer des informations supplémentaires nécessaires comme la moyenne (μ) et l’écart-type (σ) pour déterminer cette valeur exacte. Puisque ces informations ne sont pas fournies et sans faire de supposition, nous ne pouvons pas quantifier cette probabilité avec exactitude.
\( P(11 < Y \leq\, 13) \)
En utilisant l’information du graphique:
\[
P(11 < Y \leq\, 13) = 1 – P(Y \leq\, 11) – P(Y > 13).
\]
Sachant que \( P(Y > 13) = 0,09 \) et \( P(Y \leq\, 11)\) correspondant à la moitié gauche, soit \( P(Y \leq\, 11) = 0.5 \):
\[
P(11 < Y \leq\, 13) = 1 – 0.5 – 0,09 = 0.41.
\]
\( P(Y \geq\, 9) \)
Pour déterminer cette probabilité, nous utilisons la symétrie de la courbe:
\[
P(Y \geq\, 9) = 1 – P(Y < 9).
\]
Encore une fois, sans plus d’informations sur la distribution, nous ne pouvons déterminer cette probabilité de façon exacte. Cependant, nous savons que la distribution normale est symétrique et, par conséquent, probable que \( P(Y \geq\, 9)\) soit autour de 0.5+ un complément pour la queue gauche.
\( P(Y > 9 \mid Y \leq\, 13) \)
Ceci demande une approche par la formule de conditionnement :
\[
P(Y > 9 \mid Y \leq\, 13) = \frac{P(9 < Y \leq\, 13)}{P(Y \leq\, 13)}
\]
Sachant que l’air sous la courbe \( P(Y \leq\, 13) = 1 – P(Y > 13) = 1 – 0,09 = 0.91.\)
Nous avons
\[
P(9 < Y \leq\, 13) = P(Y \leq\, 13) – P(Y \leq\, 9) = 1-0,41 = 0.59,
\]
(interprétation après déduction)
Donc, finalement,
\[
P(Y > 9 \mid Y \leq\, 13) = \frac{0.59}{0.91} \approx 0.648.
\]
Exercice 12 : déterminer une valeur approchée
Dans la courbe donnée, nous devons déterminer les valeurs approchées de \( \mu \) et de \( \sigma \).
La courbe est une courbe de distribution normale, et il est indiqué que la zone verte (qui représente 0,954 ou 95,4 %) se situe entre 15 et 25. Sachant que 95,4 % de la distribution normale est encompassée entre \( \mu – 2\sigma \) et \( \mu + 2\sigma \), nous pouvons en déduire \( \mu \) et \( \sigma \).
\[
\mu – 2\sigma = 15
\]
\[
\mu + 2\sigma = 25
\]
En additionnant ces deux équations, nous obtenons :
\[
(\mu – 2\sigma) + (\mu + 2\sigma) = 15 + 25
\]
\[
2\mu = 40
\]
\[
\mu = 20
\]
Maintenant que nous avons \( \mu \), nous pouvons substituer \( \mu \) dans l’une des deux premières équations pour trouver \( \sigma \).
\[
20 – 2\sigma = 15
\]
En résolvant pour \( \sigma \) :
\[
2\sigma = 20 – 15
\]
\[
2\sigma = 5
\]
\[
\sigma = \frac{5}{2}
\]
\[
\sigma = 2,5
\]
Finalement, les valeurs approchées de \( \mu \) et \( \sigma \) sont :
\[
\mu = 20
\]
\[
\sigma = 2,5
\]
Exercice 13 : déduire des probabilités sans la calculatrice
\[\]
\begin{array}{l}
\text{1) Déterminer une valeur approchée de } \sigma. \\
\text{Puisque } X \sim N(\mu, \sigma^2) \text{, avec } \mu = 5 \text{ et } P(-7 \le X \le 17) \approx 0,997,\\
\text{nous savons que } \mu \pm 3\sigma \text{ couvre environ 99,7\% des valeurs de } X. \text{ Donc, nous avons:} \\
-7 = 5 – 3\sigma \quad \text{et} \quad 17 = 5 + 3\sigma\\
\text{En résolvant pour } \sigma: \\
-7 = 5 – 3\sigma \\
-7 – 5 = -3\sigma \\
-12 = -3\sigma \\
\sigma = 4. \\
\text{Ainsi, une valeur approchée de } \sigma \text{ est } 4. \\[10pt]
\text{2) En déduire les probabilités suivantes sans utiliser une calculatrice.} \\
\text{a) } P(1 \le X < 9) \\
\text{Pour calculer cela, nous convertissons les bornes en scores z}: \\
z_1 = \frac{1 – \mu}{\sigma} = \frac{1 – 5}{4} = -1 \\
z_2 = \frac{9 – \mu}{\sigma} = \frac{9 – 5}{4} = 1 \\
\text{Donc:} \\
P(1 \le X < 9) = P(-1 \le Z < 1). \\
\text{Les tables de la loi normale nous donnent } P(-1 \le Z < 1) \approx 0.6827. \\[10pt]
\text{b) } P(5 < X < 9) \\
\text{Pour calculer cela, nous convertissons les bornes en scores z}: \\
z_3 = \frac{5 – \mu}{\sigma} = \frac{5 – 5}{4} = 0 \\
z_2 = \frac{9 – \mu}{\sigma} = \frac{9 – 5}{4} = 1 \\
\text{Donc:} \\
P(5 < X < 9) = P(0 < Z < 1). \\
\text{Les tables de la loi normale nous donnent } P(0 < Z < 1) \approx \frac{0.6827}{2} = 0.3413.
\end{array}
\[\]
Exercice 14 : calculer des probabilités sans calculatrice
Nous savons que \( X \sim \mathcal{N}(3, \sigma^2) \) et que \( P(X < 1) = 0.4 \).
1) \( P(1 \leq\, X \leq\, 3) \):
Tout d’abord, calculons \( P(X \leq\, 3) \). Puisque \( X \) suit une loi normale centrée en \(\mu = 3\), nous avons:
\[
P(X \leq\, 3) = 0.5
\]
Alors :
\[
P(1 \leq\, X \leq\, 3) = P(X \leq\, 3) – P(X < 1)
\]
\[
P(1 \leq\, X \leq\, 3) = 0.5 – 0.4 = 0.1
\]
2) \( P(X > 5) \):
Pour cela, calculons d’abord \( P(X \leq\, 5) \). Utilisons la symétrie de la loi normale:
\[
P(X > 5) = 1 – P(X \leq\, 5)
\]
\[
P(X \leq\, 5) = P(X < 5) = P(X < 3 + 2\sigma)
\]
Puisque \( P(X < 3 – 2\sigma) \approx P(X > 3 + 2\sigma) = 0.4 \):
\[
P(X \leq\, 5) = 0.975
\]
\[
P(X > 5) = 1 – 0.975 = 0.025
\]
3) \( P(X < 5 \mid X \geq\, 1) \):
Utilisons la formule des probabilités conditionnelles:
\[
P(X < 5 \mid X \geq\, 1) = \frac{P(1 \leq\, X < 5)}{P(X \geq\, 1)}
\]
Nous avons déjà \( P(X < 5) = 0.975 \) et \( P(X \geq\, 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – 0.4 = 0.6 \).
Donc :
\[
P(1 \leq\, X < 5) = P(X < 5) – P(X < 1) = 0.975 – 0.4 = 0.575
\]
Par conséquent :
\[
P(X < 5 \mid X \geq\, 1) = \frac{0.575}{0.6} \approx 0.9583
\]
Exercice 15 : calculer P(x<5) sans calculatrice
\[\]X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) \quad \text{avec} \quad \sigma = 2\[\]
\[ P(X \ge 11) \approx 0.0015 \]
1) Déterminer \(\mu\).
Sachant que \(P( Z \ge \frac{11 – \mu}{2} ) = 0.0015\) où \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\), on utilise la table de la loi normale standard pour trouver la valeur de \(k\) telle que
\[ P(Z \ge k) = 0.0015. \]
On trouve
\[ k \approx 3.0. \]
Cela signifie que
\[ \frac{11 – \mu}{2} \approx 3. \]
En résolvant pour \(\mu\), on obtient
\[ 11 – \mu = 6 \]
\[ \mu = 5. \]
2) En déduire \( P(X < 5) \) sans calculatrice.
Sachant que \(\mu = 5\) et \(\sigma = 2\), nous avons
\[ X \sim \mathcal{N}(5, 4). \]
Nous cherchons
\[ P(X < 5). \]
Ainsi,
\[ P( Z < \frac{5 – 5}{2} ) = P(Z < 0). \]
Or, pour une loi normale centrée réduite, on sait que
\[ P(Z < 0) = 0.5. \]
Donc,
\[ P(X < 5) = 0.5. \]
Exercice 16 : une fonction de densité et probabilités
1) Montrer que \( f \) est une fonction de densité sur \([0; 2]\).
Pour qu’une fonction soit une densité de probabilité sur \([0; 2]\), elle doit vérifier les deux conditions suivantes :
– \( f(x) \geq\, 0 \) pour tout \( x \) dans \([0; 2]\).
– \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 1\).
D’abord, vérifions que \( f(x) = \frac{1}{2}x \geq\, 0 \) pour tout \( x \in [0; 2] \).
Ceci est évident car \( \frac{1}{2}x \) est positif pour \( x \geq\, 0 \).
Ensuite, calculons l’intégrale de \( f(x) \) sur \([0; 2]\) :
\[
\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{2}x \, dx
\]
Posons une primitive de \( \frac{1}{2}x \) :
\[
\int \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{4}x^2 + C
\]
Evaluons l’intégrale définie de 0 à 2 :
\[
. \frac{1}{4}x^2 |_{0}^{2} = \frac{1}{4}(2^2) – \frac{1}{4}(0^2) = \frac{1}{4} \times 4 = 1
\]
Donc, \( \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 1 \).
Ainsi, \( f(x) = \frac{1}{2}x \) est bien une fonction de densité sur \([0; 2]\).
2) Calcul des probabilités
a) \( P(0,5 \leq\, X \leq\, 1,5) \)
\[
P(0,5 \leq\, X \leq\, 1,5) = \int_{0.5}^{1.5} \frac{1}{2}x \, dx.
\]
Calculons l’intégrale :
\[
\int_{0.5}^{1.5} \frac{1}{2}x \, dx = . \frac{1}{4}x^2 |_{0.5}^{1.5} = \frac{1}{4}(1.5^2) – \frac{1}{4}(0.5^2) = \frac{1}{4}(2.25) – \frac{1}{4}(0.25) = 0.5.
\]
b) \( P(X \leq\, 1) \)
\[
P(X \leq\, 1) = \int_{0}^{1} \frac{1}{2}x \, dx.
\]
Calculons l’intégrale :
\[
\int_{0}^{1} \frac{1}{2}x \, dx = . \frac{1}{4}x^2 |_{0}^{1} = \frac{1}{4}(1^2) – \frac{1}{4}(0^2) = \frac{1}{4} = 0.25.
\]
c) \( P(X > 1) \)
Notez que \( P(X > 1) = 1 – P(X \leq\, 1) \).
Nous avons déjà calculé \( P(X \leq\, 1) = 0.25 \), donc :
\[
P(X > 1) = 1 – 0.25 = 0.75.
\]
d) \( P(0 \leq\, X \leq\, 2) \)
\[
P(0 \leq\, X \leq\, 2) = \int_{0}^{2} \frac{1}{2}x \, dx = 1.
\]
Nous avons déjà calculé cette intégrale au début (condition pour être une densité).
Ainsi, les probabilités demandées sont :
– \( P(0,5 \leq\, X \leq\, 1,5) = 0.5 \)
– \( P(X \leq\, 1) = 0.25 \)
– \( P(X > 1) = 0.75 \)
– \( P(0 \leq\, X \leq\, 2) = 1 \)
Exercice 17 : une variable X avec sa fonction de densité
Les éléments donnés nous permettent d’obtenir la densité de probabilité \(f_X(x)\) de la variable aléatoire \(X\). En effet, \(f_X(x)\) est défini comme suit :
\[
f_X(x) =
\begin{cases}
0.1x \text{si } 0 \leq\, x \leq\, 2 \\
0.2 \text{si } 2 < x \leq\, 5 \\
0 \text{sinon}
\end{cases}
\]
Les probabilités demandées se calculent en intégrant cette densité de probabilité sur les intervalles donnés :
1) \( P(0 \leq\, X \leq\, 1) \)
\[
P(0 \leq\, X \leq\, 1) = \int_{0}^{1} 0.1x \, dx = 0.1 \int_{0}^{1} x \, dx = 0.1 [ \frac{x^2}{2} ]_{0}^{1} = 0.1 ( \frac{1^2}{2} – \frac{0^2}{2} ) = 0.1 \cdot \frac{1}{2} = 0.05
\]
2) \( P(2 \leq\, X \leq\, 4) \)
\[
P(2 \leq\, X \leq\, 4) = \int_{2}^{4} f_X(x) \, dx
= \int_{2}^{4} 0.2 \, dx
= 0.2 \int_{2}^{4} 1 \, dx
= 0.2 [x]_{2}^{4}
= 0.2 (4 – 2)
= 0.2 \cdot 2
= 0.4
\]
3) \( P(1 \leq\, X \leq\, 4) \)
\[
P(1 \leq\, X \leq\, 4)
= \int_{1}^{2} 0.1x \, dx + \int_{2}^{4} 0.2 \, dx
= 0.1 \int_{1}^{2} x \, dx + 0.2 \int_{2}^{4} 1 \, dx
= 0.1 [ \frac{x^2}{2} ]_{1}^{2} + 0.2 [x]_{2}^{4}
= 0.1 ( \frac{2^2}{2} – \frac{1^2}{2} ) + 0.2 (4 – 2)
= 0.1 ( \frac{4}{2} – \frac{1}{2} ) + 0.2 \cdot 2
= 0.1 \cdot \frac{3}{2} + 0.4
= 0.15 + 0.4
= 0.55
\]
4) \( P(X < 3) \)
\[
P(X < 3)
= \int_{0}^{2} 0.1x \, dx + \int_{2}^{3} 0.2 \, dx
= 0.1 \int_{0}^{2} x \, dx + 0.2 \int_{2}^{3} 1 \, dx
= 0.1 [ \frac{x^2}{2} ]_{0}^{2} + 0.2 [x]_{2}^{3}
= 0.1 ( \frac{2^2}{2} – \frac{0^2}{2} ) + 0.2 (3 – 2)
= 0.1 ( \frac{4}{2} – \frac{0}{2} ) + 0.2
= 0.1 \cdot 2 + 0.2
= 0.2 + 0.2
= 0.4
\]
Exercice 18 : courbe représentative d’une fonction de densité
La courbe de densité est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, donc les probabilités de \(X\) dans une plage donnée et son opposé seront les mêmes. En utilisant la symétrie et la probabilité donnée \(P(0 \leq\, X \leq\, 0,4) = 0,155\), nous pouvons déterminer les autres probabilités :
1) \(P(-0,4 \leq\, X \leq\, 0)\) :
Grâce à la symétrie,
\[
P(-0,4 \leq\, X \leq\, 0) = P(0 \leq\, X \leq\, 0,4) = 0,155
\]
2) \(P(X \geq\, 0,4)\) :
En utilisant la propriété que la somme des probabilités pour un événement et son complément est égale à 1,
\[
P(X \geq\, 0,4) = 1 – P(X \leq\, 0,4)
\]
où
\[
P(X \leq\, 0,4) = P(X \leq\, 0) + P(0 \leq\, X \leq\, 0,4) = 0,5 + 0,155 = 0,655
\]
Donc,
\[
P(X \geq\, 0,4) = 1 – 0,655 = 0,345
\]
3) \(P(X \leq\, 0,4)\) :
Utilisé ci-dessus,
\[
P(X \leq\, 0,4) = 0,655
\]
4) \(P(-0,4 \leq\, X \leq\, 0,4)\) :
Il s’agit de la somme des probabilités de \(X\) dans les plages \([-0,4, 0]\) et \([0, 0,4]\),
\[
P(-0,4 \leq\, X \leq\, 0,4) = P(-0,4 \leq\, X \leq\, 0) + P(0 \leq\, X \leq\, 0,4) = 0,155 + 0,155 = 0,31
\]
Exercice 19 : représentation d’une fonction de densité
\[P(123 \leq\, X \leq\, 125)\]\\
Étant donné que la courbe de densité est symétrique par rapport à \[x = 125\], la probabilité de l’intervalle \[[123, 125]\] est égale à la probabilité de l’intervalle \[[125, 127]\]. Donc :
\[
P(123 \leq\, X \leq\, 125) = P(125 \leq\, X \leq\, 127) = 0{,}341.
\]
\[P(X \geq\, 125)\]\\
La probabilité que \[X\] soit supérieur ou égal à 125 est égale à la somme des probabilités que \[X\] soit inclus dans les intervalles \[[125, 127]\] et \[]127, +\infty[\], car \[X\] peut être dans l’intervalle \[[125, +\infty[\] grâce à la symétrie de la courbe. Ceci est égal à la moitié de toute la distribution (car elle est symétrique). Donc :
\[
P(X \geq\, 125) = 0{,}5.
\]
\[P(X \leq\, 123)\]\\
Puisque la courbe est symétrique par rapport à \[x = 125\], la probabilité de \[X \leq\, 123\] est égale à la probabilité de \[X \geq\, 127\]. Sachant que \[P(125 \leq\, X \leq\, 127) = 0{,}341\], la probabilité de \[X \geq\, 127\] est égale à \[0{,}5 – 0{,}341\], soit :
\[
P(X \leq\, 123) = 0{,}5 – 0{,}341 = 0{,}159.
\]
\[P(127 \leq\, X)\]\\
Comme expliqué précédemment, la probabilité que \[X\] soit supérieur ou égal à 127 est le complément de la probabilité que \[X\] soit dans l’intervalle \[[125, 127[\], donc :
\[
P(127 \leq\, X) = 0{,}159.
\]
Exercice 20 : algorithme et espérance aléatoire
1) À quoi sert cet algorithme?
Cet algorithme sert à calculer la probabilité \( P \) qu’une variable aléatoire uniforme \( X \) prenne une valeur dans l’intervalle \([c; d]\) sachant que cette variable varie entre 0 et 60.
2) Modifier cet algorithme pour qu’il demande des valeurs pour un intervalle \([a; b]\) et qu’il calcule des probabilités pour une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur \([a; b]\).
« `plaintext
1. Liste des variables utilisées
2. \( P, a, b, c, d \) : réels
3. Traitement
4. Afficher « Donner les valeurs de \( a \) et \( b \) de l’intervalle \([a ; b]\) »
5. Afficher « Donner les valeurs de \( c \) et \( d \) de l’intervalle \([c ; d]\) »
6. Demander \( a \)
7. Demander \( b \)
8. Demander \( c \)
9. Demander \( d \)
10. Donner à \( P \) la valeur
\[ P = \frac{d – c}{b – a} \]
11. Sortie
12. Afficher la valeur de \( P \)
« `
3) Que faut-il ajouter à ce nouvel algorithme pour qu’il calcule aussi l’espérance de cette variable aléatoire?
L’espérance mathématique \( \mathbb{E}[X] \) d’une variable aléatoire uniforme \( X \) sur l’intervalle \([a ; b]\) est donnée par \((a + b) / 2\). Pour inclure ce calcul dans l’algorithme, nous ajoutons les étapes suivantes :
« `plaintext
1. Liste des variables utilisées
2. \( P, a, b, c, d, E \) : réels
3. Traitement
4. Afficher « Donner les valeurs de \( a \) et \( b \) de l’intervalle \([a ; b]\) »
5. Afficher « Donner les valeurs de \( c \) et \( d \) de l’intervalle \([c ; d]\) »
6. Demander \( a \)
7. Demander \( b \)
8. Demander \( c \)
9. Demander \( d \)
10. Donner à \( P \) la valeur
\[ P = \frac{d – c}{b – a} \]
11. Donner à \( E \) la valeur
\[ E = \frac{a + b}{2} \]
12. Sortie
13. Afficher la valeur de \( P \)
14. Afficher la valeur de \( E \)
Exercice 21 : une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle
\[\]f(x)= \lambda e^{-\lambda x}\[\]
1) Déterminer la valeur de \[\lambda\] :
Le point \( A(0; 2) \) signifie que la densité de probabilité à \( x = 0 \) est \( f(0) = 2 \).
\[
f(0) = \lambda e^{-\lambda \cdot 0} = \lambda = 2
\]
Donc, \( \lambda = 2 \).
2) L’égalité \( P(X < 0,5) = P(X \geq\, 0,5) \) est-elle vraie ?
Pour vérifier, calculons chacune des probabilités.
\[
P(X < 0,5) = \int_{0}^{0,5} 2e^{-2x} \, dx
\]
Calculons cette intégrale :
\[
\int_{0}^{0,5} 2e^{-2x} \, dx = [ -e^{-2x} ]_{0}^{0,5} = -e^{-2 \cdot 0,5} – (-e^{0})
\]
\[
= 1 – e^{-1} \approx 1 – 0,3679 = 0,6321
\]
\[
P(X \geq\, 0,5) = 1 – P(X < 0,5) = 1 – 0,6321 = 0,3679
\]
Donc, \( P(X < 0,5) \neq P(X \geq\, 0,5) \). L’égalité n’est pas vraie.
3) Déterminer la valeur de \( t \) pour laquelle \( P(X < t) = P(X \geq\, t) \).
Pour cette égalité,
\[
P(X < t) = P(X \geq\, t) = 0,5
\]
\[
P(X < t) = \int_{0}^{t} 2e^{-2x} \, dx = 0,5
\]
Nous savons que :
\[
\int_{0}^{t} 2e^{-2x} \, dx = 1 – e^{-2t} = 0,5
\]
En résolvant pour \( t \) :
\[
1 – e^{-2t} = 0,5
\]
\[
e^{-2t} = 0,5
\]
\[
-2t = \ln(0,5)
\]
\[
t = -\frac{\ln(0,5)}{2} = \frac{\ln(2)}{2}
\]
Donc, la valeur de \( t \) pour laquelle \( P(X < t) = P(X \geq\, t) \) est \( t = \frac{\ln(2)}{2} \).
Alternatively,
Dou \(\approx 0,3466\).
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