Exercice 1 : un lombricomposteur de jardin
Nous savons que la population double tous les trois mois, donc tous les 3 mois, la population est multipliée par \(2\). En un an, il y a \(12\) mois. Donc il y a:
\[ \frac{12}{3} = 4 \]
périodes de trois mois.
a. Pour la masse des lombrics :
La masse initiale est de \(500\) g et elle double tous les \(3\) mois. Donc après un an (4 périodes de 3 mois):
\[ M_{\text{final}} = M_{\text{initial}} \times 2^n \]
\[ M_{\text{final}} = 500 \times 2^4 \]
\[ M_{\text{final}} = 500 \times 16 \]
\[ M_{\text{final}} = 8000 \text{ g } \]
Donc, la masse des lombrics au bout d’un an sera de \(8000\) g.
b. Pour le nombre de lombrics :
Le nombre de lombrics initial est \(1000\) et il double tous les \(3\) mois. Donc après un an (4 périodes de 3 mois):
\[ N_{\text{final}} = N_{\text{initial}} \times 2^n \]
\[ N_{\text{final}} = 1000 \times 2^4 \]
\[ N_{\text{final}} = 1000 \times 16 \]
\[ N_{\text{final}} = 16000 \]
Donc, le nombre de lombrics au bout d’un an sera de \(16000\).
Exercice 2 : des champignons microscopiques
Correction de l’exercice :
Pour traiter 30 m² de son potager, il lui faut :
– 50 g d’ail
– 650 g d’oignons
– 10 L d’eau
a. Pour traiter 75 m² de son potager, on doit multiplier les quantités nécessaires pour 30 m² par le facteur \(\frac{75}{30}\).
\[
\frac{75}{30} = 2.5
\]
Quantité d’ail nécessaire :
\[
50 \, \text{g} \times 2.5 = 125 \, \text{g}
\]
Quantité d’oignons nécessaire :
\[
650 \, \text{g} \times 2.5 = 1625 \, \text{g} = 1.625 \, \text{kg}
\]
b. Zolan a 150 g d’ail et 2 kg d’oignons. On doit vérifier quelle est la quantité d’ail ou d’oignons qui limitera la superficie à traiter.
Pour l’ail :
\[
\frac{150 \, \text{g}}{50 \, \text{g} / 30 \, \text{m}^2} = 150 \, \text{g} \times \frac{30 \, \text{m}^2}{50 \, \text{g}} = 90 \, \text{m}^2
\]
Pour les oignons :
\[
\frac{2000 \, \text{g}}{650 \, \text{g} / 30 \, \text{m}^2} = 2000 \, \text{g} \times \frac{30 \, \text{m}^2}{650 \, \text{g}} \approx 92.31 \, \text{m}^2
\]
Donc, l’ingrédient limitant est l’ail, et ainsi, Zolan peut traiter au maximum :
\[
90 \, \text{m}^2
\]
Exercice 3 : problème du potager
{Correction de l’exercice :}
{a.} Coût des 30 kg de pommes de terre au prix du magasin :
\[
30 \, \text{kg} \times 1{,}60 \, \text{€/kg} = 48 \, \text{€}
\]
Coût pour planter et récolter les pommes de terre :
\[
7 \, \text{€}
\]
Économie réalisée :
\[
48 \, \text{€} – 7 \, \text{€} = 41 \, \text{€}
\]
{b.} Calcul de l’économie réalisée pour les autres fruits et légumes :
1. {Tomates :}
\[
\text{Rendement} \, \text{par} \, 1 \, \text{m}^2 \,: \, 6{,}5 \, \text{kg}
\]
\[
\text{Coût en magasin} \, : \, 6{,}5 \, \text{kg} \times 2{,}80 \, \text{€/kg} = 18{,}20 \, \text{€}
\]
\[
\text{Coût des graines} \, : \, 7{,}50 \, \text{€}
\]
\[
\text{Économie réalisée} \, : 18{,}20 \, \text{€} – 7{,}50 \, \text{€} = 10{,}70 \, \text{€}
\]
2. {Carottes :}
\[
\text{Rendement} \, \text{par} \, 1 \, \text{m}^2 \,: \, 20 \, \text{kg}
\]
\[
\text{Coût en magasin} \, : \, 20 \, \text{kg} \times 1{,}60 \, \text{€/kg} = 32 \, \text{€}
\]
\[
\text{Coût des graines} \, : \, 7{,}50 \, \text{€}
\]
\[
\text{Économie réalisée} \, : 32 \, \text{€} – 7{,}50 \, \text{€} = 24{,}50 \, \text{€}
\]
3. {Haricots :}
\[
\text{Rendement} \, \text{par} \, 1 \, \text{m}^2 \,: \, 5 \, \text{kg}
\]
\[
\text{Coût en magasin} \, : \, 5 \, \text{kg} \times 5 \, \text{€/kg} = 25 \, \text{€}
\]
\[
\text{Coût des graines} \, : \, 7{,}50 \, \text{€}
\]
\[
\text{Économie réalisée} \, : 25 \, \text{€} – 7{,}50 \, \text{€} = 17{,}50 \, \text{€}
\]
4. {Laitues :}
\[
\text{Rendement} \, \text{par} \, 1 \, \text{m}^2 \,: \, 15 \, \text{unités}
\]
\[
\text{Coût en magasin} \, : \, 15 \, \text{unités} \times 0{,}80 \, \text{€/unité} = 12 \, \text{€}
\]
\[
\text{Coût des graines} \, : \, 7{,}50 \, \text{€}
\]
\[
\text{Économie réalisée} \, : 12 \, \text{€} – 7{,}50 \, \text{€} = 4{,}50 \, \text{€}
\]
5. \text{Courgettes :}
\[
\text{Rendement} \, \text{par} \, 1 \, \text{m}^2 \,: \, 10 \, \text{unités}
\]
\[
\text{Coût en magasin} \, : \, 10 \, \text{unités} \times 1{,}10 \, \text{€/unité} = 11 \, \text{€}
\]
\[
\text{Coût des graines} \, : \, 7{,}50 \, \text{€}
\]
\[
\text{Économie réalisée} \, : 11 \, \text{€} – 7{,}50 \, \text{€} = 3{,}50 \, \text{€}
\]
Exercice 4 : problème du verger
{Correction:}
L’estimation de la population française est de 60 millions d’habitants.
[a.] {Combien de Français possèdent un jardin ?}
\\[2mm]
\(63\% \text{ de } 60 \text{ millions} = 0.63 \times 60\,000\,000 = 37\,800\,000\)
[b.] {Combien de Français cultivent un potager ou un verger ? Cela représente-t-il plus ou moins que la moitié des Français ?}
\\[2mm]
\(67\% \text{ de } 37\,800\,000 = 0.67 \times 37\,800\,000 = 25\,326\,000\)
Pour répondre à la deuxième partie de la question :
\\[2mm]
La moitié de la population française : \( \frac{60\,000\,000}{2} = 30\,000\,000\)
\\[2mm]
Comparaison: \(25\,326\,000 < 30\,000\,000\)
\\[2mm]
Donc, cela représente moins que la moitié des Français.
[c.] {Combien de Français cultivent uniquement un potager ? Uniquement un verger ? Les deux ?}
\\[2mm]
Uniquement un potager:
\\[2mm]
\(37\% \text{ de } 25\,326\,000 = 0.37 \times 25\,326\,000 = 9\,370\,620\)
\\[2mm]
Uniquement un verger:
\\[2mm]
\(38\% \text{ de } 25\,326\,000 = 0.38 \times 25\,326\,000 = 9\,620\,880\)
\\[2mm]
Un potager et un verger:
\\[2mm]
\(25\% \text{ de } 25\,326\,000 = 0.25 \times 25\,326\,000 = 6\,331\,500\)
Exercice 5 : problème du trou
a. Pour réaliser le plan de dessus et le plan de coupe à l’échelle 1:10, il faut d’abord dessiner les dimensions réelles des deux parties du trou : le pavé droit supérieur et le cube inférieur.
### Plan de dessus :
Nous mettons les dimensions à l’échelle 1:10 (1 cm pour 10 cm réels).
– Le pavé supérieur a pour dimensions \[1,60 \, m \times 1,60 \, m\], ce qui donne des dimensions à l’échelle 1:10 de \[16 \, cm \times 16 \, cm\].
– Le cube inférieur a pour dimensions \[0,90 \, m \times 0,90 \, m\], ce qui donne des dimensions à l’échelle 1:10 de \[9 \, cm \times 9 \, cm\].
### Plan de coupe :
Nous considérons la profondeur de chaque partie.
– La hauteur du pavé droit supérieur est \[0,30 \, m\], soit à l’échelle 1:10 une hauteur de \[3 \, cm\].
– La hauteur du cube inférieur est \[0,90 \, m\], soit à l’échelle 1:10 une hauteur de \[9 \, cm\].
Voici la représentation en LaTeX pour le plan de coupe :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
% Dessin du pavé droit supérieur
\draw (0,0) rectangle (1.6,1.6); % Vue de dessus
\node at (0.8, 1.7) {Pavé supérieur};
\draw (0,1.6) — (0,0) — (1.6,0) — (1.6,1.6); % Bords visibles
\node at (0.8, 1.6) {\[16 \, cm\]};
\node at (-0.3, 0.8) [rotate=90] {\[16 \, cm\]};
% Dessin du cube inférieur
\draw (0.35,0.35) rectangle (1.25,1.25); % Vue de dessus
\node at (0.8, 1.4) {Cube inférieur};
\draw (0.35,1.25) — (0.35,0.35) — (1.25,0.35) — (1.25,1.25); % Bords visibles
\node at (0.8, 1.3) {\[9 \, cm\]};
\node at (0.2, 0.8) [rotate=90] {\[9 \, cm\]};
\end{tikzpicture}
\end{center}
b. Pour déterminer le nombre de seaux de sable de \[3 \, L\] extraits de ce trou, nous devons calculer les volumes des deux parties du trou et ensuite diviser le volume total par la capacité d’un seau.
### Volume de la partie supérieure (pavé droit) :
\[ V_{sup} = 1,60 \, m \times 1,60 \, m \times 0,30 \, m = 0.768 \, m^3 \]
### Volume de la partie inférieure (cube) :
\[ V_{inf} = 0,90 \, m \times 0,90 \, m \times 0,90 \, m = 0.729 \, m^3 \]
### Volume total du trou :
\[ V_{total} = V_{sup} + V_{inf} = 0.768 \, m^3 + 0.729 \, m^3 = 1.497 \, m^3 \]
### Conversion en litres :
\[ 1 \, m^3 = 1000 \, L \]
\[ V_{total} = 1.497 \, m^3 \times 1000 \, L/m^3 = 1497 \, L \]
### Nombre de seaux :
Capacité d’un seau = \[3 \, L\]
\[ Nombre \, de \, seaux = \frac{Volume \, total}{Capacité \, d’un \, seau} = \frac{1497 \, L}{3 \, L/seau} = 499 \, seaux \]
Donc, 499 seaux de sable de 3 L ont été extraits de ce trou.
Exercice 6 : problème de l’appartement
Pour répondre à la demande de Zolan et Chama, nous devons vérifier les critères suivants pour chaque appartement :
1. L’appartement doit disposer d’au moins 2 chambres.
2. La superficie doit être comprise entre 50 m² et 70 m².
3. Le loyer ne doit pas dépasser 650 €.
Examinons chaque appartement selon ces critères :
– \[\]Appart. A1\[\] :
– Nombre de chambres : 2 (Répond au critère)
– Superficie : 70 m² (Répond au critère)
– Loyer : 660 € (Ne répond pas au critère)
Conclusion : Appart. A1 ne convient pas.
– \[\]Appart. A2\[\] :
– Nombre de chambres : 1 (Ne répond pas au critère)
– Superficie : 56 m² (Répond au critère)
– Loyer : 490 € (Répond au critère)
Conclusion : Appart. A2 ne convient pas.
– \[\]Appart. A3\[\] :
– Nombre de chambres : 2 (Répond au critère)
– Superficie : 50 m² (Répond au critère)
– Loyer : 610 € (Répond au critère)
Conclusion : Appart. A3 convient.
– \[\]Appart. A4\[\] :
– Nombre de chambres : 1 (Ne répond pas au critère)
– Superficie : 58 m² (Répond au critère)
– Loyer : 450 € (Répond au critère)
Conclusion : Appart. A4 ne convient pas.
– \[\]Appart. A5\[\] :
– Nombre de chambres : 3 (Répond au critère)
– Superficie : 85 m² (Ne répond pas au critère)
– Loyer : 520 € (Répond au critère)
Conclusion : Appart. A5 ne convient pas.
– \[\]Appart. A6\[\] :
– Nombre de chambres : 2 (Répond au critère)
– Superficie : 64 m² (Répond au critère)
– Loyer : 1 200 € (Ne répond pas au critère)
Conclusion : Appart. A6 ne convient pas.
Le seul appartement qui répond à tous les critères requis par Zolan et Chama est :
\[\]Appart. A3\[\]
\[\boxed{\text{Appart. A3}} \]
Les justificatifs étant :
– Nombre de chambres : 2 (répond au critère)
– Superficie : 50 m² (répond au critère)
– Loyer : 610 € (répond au critère)
Exercice 7 : nombre de bébé nommés Ruby
{a. Complète le diagramme en barres.}
| année | 1988 | 1989 | 1990 | 1991 | 1992 | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 |
|——-|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|
| nb | 8 | 6 | 7 | 7 | 10 | 11 | 7 | 5 | 10 | 9 | 17 | 5 | 15 | 13 | 18 | 24 | 22 | 35 | 44 | 36 | 50 | 30 | 34 |
Complétez le diagramme en barres avec les valeurs du tableau ci-dessus.
{b. Décris l’évolution du nombre de bébés se prénommant Ruby au cours de ces années.}
L’évolution du nombre de bébés prénommés Ruby entre 1988 et 2010 peut être décrite comme suit :
– De 1988 à 1994, le nombre de bébés prénommés Ruby varie entre 5 et 11, sans tendance claire.
– En 1995, on observe une légère baisse avec seulement 5 naissances, suivie d’une augmentation progressive, atteignant 17 en 1997.
– De 1997 à 1999, on constate une diminution marquée, avec le nombre de bébés prénommés Ruby tombant à 5 en 1999.
– L’année 2000 montre une reprise avec 15 naissances, suivie d’une légère baisse en 2001, puis d’une augmentation régulière jusqu’en 2003 où on atteint 24 naissances.
– De 2004 à 2007, il y a une fluctuation avec une tendance globale à la hausse, culminant à 50 bébés prénommés Ruby en 2008.
– Après 2008, le nombre de naissances de bébés prénommés Ruby baisse légèrement, atteignant 34 en 2010 mais reste bien au-dessus des niveaux des années 90.
Ainsi, on peut conclure que, malgré quelques fluctuations, le nombre de bébés prénommés Ruby a globalement augmenté au fil des années, en particulier après l’an 2000.
Exercice 8 : le biberon de lait
Correction de l’exercice :
### Partie a
Pour compléter la troisième colonne du tableau, nous devons vérifier que la quantité d’eau est proportionnelle au nombre de mesurettes. On a déjà les données pour « 0 à 1 mois » :
Pour 90 mL d’eau, il faut 3 mesurettes. Cela signifie que chaque mesurette correspond à \( \frac{90}{3} = 30 \) mL d’eau.
Nous allons vérifier cette proportionnalité et compléter la colonne :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Âge} & \text{Quantité d’eau par biberon en mL} & \text{Nombre de mesurettes de lait} & \text{Nombre de biberons par 24 h} \\
\hline
0 à 1 mois & 90 & 3 & 6 \\
1 à 2 mois & 120 & \frac{120}{30} = 4 & 6 \\
2 à 3 mois & 150 & \frac{150}{30} = 5 & 5 \\
3 à 4 mois & 180 & \frac{180}{30} = 6 & 5 \\
4 à 5 mois & 210 & \frac{210}{30} = 7 & 4 \\
5 à 6 mois & 240 & \frac{240}{30} = 8 & 4 \\
\hline
\end{array}
\]
### Partie b
Calculons maintenant les litres d’eau nécessaires pour les six premiers mois.
Pour chaque tranche d’âge, nous calculons d’abord la consommation totale d’eau par jour et ensuite pour un mois (30 jours).
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Âge} & \text{Quantité d’eau par jour} & \text{Quantité d’eau par mois (30 jours)} \\
\hline
0 à 1 mois & 90 \times 6 = 540 \text{ mL} & 540 \times 30 = 16200 \text{ mL} = 16,2 \text{ L} \\
1 à 2 mois & 120 \times 6 = 720 \text{ mL} & 720 \times 30 = 21600 \text{ mL} = 21,6 \text{ L} \\
2 à 3 mois & 150 \times 5 = 750 \text{ mL} & 750 \times 30 = 22500 \text{ mL} = 22,5 \text{ L} \\
3 à 4 mois & 180 \times 5 = 900 \text{ mL} & 900 \times 30 = 27000 \text{ mL} = 27,0 \text{ L} \\
4 à 5 mois & 210 \times 4 = 840 \text{ mL} & 840 \times 30 = 25200 \text{ mL} = 25,2 \text{ L} \\
5 à 6 mois & 240 \times 4 = 960 \text{ mL} & 960 \times 30 = 28800 \text{ mL} = 28,8 \text{ L} \\
\hline
\end{array}
\]
Total de l’eau nécessaire :
\[
16,2 + 21,6 + 22,5 + 27,0 + 25,2 + 28,8 = 141,3 \text{ L}
\]
### Partie c
Calculons également le nombre de mesurettes nécessaires pour les six premiers mois.
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Âge} & \text{Nombre de mesurettes par jour} & \text{Nombre de mesurettes par mois (30 jours)} \\
\hline
0 à 1 mois & 3 \times 6 = 18 & 18 \times 30 = 540 \\
1 à 2 mois & 4 \times 6 = 24 & 24 \times 30 = 720 \\
2 à 3 mois & 5 \times 5 = 25 & 25 \times 30 = 750 \\
3 à 4 mois & 6 \times 5 = 30 & 30 \times 30 = 900 \\
4 à 5 mois & 7 \times 4 = 28 & 28 \times 30 = 840 \\
5 à 6 mois & 8 \times 4 = 32 & 32 \times 30 = 960 \\
\hline
\end{array}
\]
Total des mesurettes nécessaires :
\[
540 + 720 + 750 + 900 + 840 + 960 = 4710
\]
Exercice 9 : couches jetables et lavables
a. Pendant 2 ans et demi, 750 000 enfants consomment \( 750,000 \times 3,600 = 2,700,000,000 \) couches jetables, ce qui engendre \( 750,000 \times 468 = 351,000,000 \) kg de déchets qui coûtent en traitement \( 750,000 \times 28 = 21,000,000 \) €.
b. Coût total des couches jetables pour la crèche par an :
\[
46 \times 179 = 8,234 \, \text{€}
\]
Coût total des couches lavables pour la crèche par an :
\[
46 \times 110 = 5,060 \, \text{€}
\]
Économie par an :
\[
8,234 – 5,060 = 3,174 \, \text{€}
\]
Économie sur 2 ans :
\[
3,174 \times 2 = 6,348 \, \text{€}
\]
c. Quantité d’électricité consommée par la crèche en un an :
\[
46 \times 29 = 1,334 \, \text{kWh}
\]
Quantité d’électricité consommée en 2 ans :
\[
1,334 \times 2 = 2,668 \, \text{kWh}
\]
Exercice 10 : des relevés du sommeil
1) \[\]Calcul de la durée totale de sommeil de Ruby à 1 semaine et à 3 mois.\[\]
Pour la semaine 1 :
– Sommeil diurne : \(1h56 + 1h47 + 2h08 + 1h58 + 1h45 = 9h34\)
– Sommeil nocturne : \(3h12 + 2h52 + 3h04 = 9h08\)
Durée totale de sommeil de Ruby à 1 semaine :
\[
9h34 + 9h08 = 18h42
\]
Pour 3 mois :
– Sommeil diurne : \(2h16 + 2h42 + 2h03 + 2h15 = 9h16\)
– Sommeil nocturne : \(6h18 + 1h + 1h = 8h18\)
Durée totale de sommeil de Ruby à 3 mois :
\[
9h16 + 8h18 = 17h34
\]
2) \[\]Durée de sommeil nocturne de Ruby à 6 mois.\[\]
La durée totale de sommeil de Ruby à 6 mois est de 15h20.
D’après l’illustration, la durée de sommeil diurne est :
\(2h07 + 1h57 + 1h32 = 5h36\)
Donc, la durée de sommeil nocturne est calculée comme suit :
\[
15h20 – 5h36 = 9h44
\]
Ainsi, la durée de sommeil nocturne de Ruby à 6 mois est de \(9h44\).
Exercice 11 : problème du tour en forêt
a. Pour déterminer le temps que Freesper et Zolan mettent à parcourir 7,8 km en courant à une vitesse constante de 12 km/h, on utilise la formule :
\[ t = \frac{d}{v} \]
où \( t \) est le temps, \( d \) est la distance et \( v \) est la vitesse. Ici, \( d = 7,8 \) km et \( v = 12 \) km/h.
\[ t = \frac{7,8}{12} = 0,65 \text{ heures} \]
Pour convertir \( 0,65 \) heures en minutes :
\[ 0,65 \times 60 = 39 \text{ minutes} \]
Donc, Freesper et Zolan mettent 39 minutes pour parcourir 7,8 km.
b. Pour déterminer le temps que Chama met à parcourir 7,8 km à vélo à une vitesse constante de 18 km/h, on utilise de nouveau la formule :
\[ t = \frac{d}{v} \]
où \( d = 7,8 \) km et \( v = 18 \) km/h.
\[ t = \frac{7,8}{18} \approx 0,4333 \text{ heures} \]
Pour convertir \( 0,4333 \) heures en minutes :
\[ 0,4333 \times 60 = 26 \text{ minutes} \]
Donc, Chama met environ 26 minutes pour parcourir 7,8 km.
c. Ils partent tous ensemble à 10 h 47.
– Freesper et Zolan arriveront après 39 minutes :
\[ 10\,h\,47 \, \min + 39 \, \min = 11\,h\,26 \, \min \]
– Chama arrivera après 26 minutes :
\[ 10\,h\,47 \, \min + 26 \, \min = 11\,h\,13 \, \min \]
Donc, Freesper et Zolan arrivent à 11 h 26, et Chama arrive à 11 h 13.
Exercice 12 : problème des champignons
### Correction de l’exercice
#### Partie a.
En 2013, Zolan prépare différents bocaux de cèpes. Nous allons d’abord déterminer la masse de cèpes utilisée pour chacun des bocaux :
– 16 bocaux de 1 L :
\[
16 \times 1 \, \text{kg} = 16 \, \text{kg}
\]
– 6 bocaux de 0,2 L :
\[
6 \times 0{,}2 \, \text{kg} = 1{,}2 \, \text{kg}
\]
– 24 bocaux de 0,5 L :
\[
24 \times 0{,}5 \, \text{kg} = 12 \, \text{kg}
\]
En additionnant ces quantités, on obtient la masse totale de cèpes :
\[
16 \, \text{kg} + 1{,}2 \, \text{kg} + 12 \, \text{kg} = 29{,}2 \, \text{kg}
\]
#### Partie b.
En 2014, la récolte est moins bonne, avec seulement 14,8 kg de cèpes.
1. Si Zolan n’utilise que des bocaux de 0,2 L :
Chaque bocal de 0,2 L utilise 0,2 kg de cèpes. Le nombre de bocaux nécessaires est donc :
\[
\frac{14{,}8 \, \text{kg}}{0{,}2 \, \text{kg}} = 74
\]
Il aura donc besoin de 74 bocaux de 0,2 L.
2. Si Zolan utilise des bocaux de 0,2 L, 0,5 L et 1 L, il faut minimiser le nombre total de bocaux.
– Utilisons un maximum de bocaux de 1 L (chaque bocal de 1 L contenant 1 kg de cèpes) :
\[
\lfloor \frac{14{,}8}{1} \rfloor = 14 \, \text{bocaux de 1 L}
\]
Il reste :
\[
14{,}8 – 14 \times 1 = 0{,}8 \, \text{kg}
\]
– Utilisons ensuite des bocaux de 0,5 L (chaque bocal contenant 0,5 kg de cèpes) :
\[
\lfloor \frac{0{,}8}{0{,}5} \rfloor = 1 \, \text{bocal de 0,5 L}
\]
Il reste :
\[
0{,}8 – 0{,}5 = 0{,}3 \, \text{kg}
\]
– Utilisons enfin des bocaux de 0,2 L :
\[
\frac{0{,}3}{0{,}2} = 1{,}5 \Rightarrow 2 \, \text{bocaux de 0,2 L}
\]
En conclusion, Zolan utilisera \[\]14 bocaux de 1 L\[\], \[\]1 bocal de 0,5 L\[\] et \[\]2 bocaux de 0,2 L\[\] pour un total de :
\[
14 + 1 + 2 = 17 \, \text{bocaux}
\]
Exercice 13 : problème du papier peint
a. Pour tracer le mur en utilisant une échelle de 16 cm pour 4 m (soit 400 cm) dans la réalité, nous pouvons utiliser la proportion suivante :
\[
\frac{16 \text{ cm}}{400 \text{ cm}} = \frac{x \text{ cm}}{1 \text{ cm}}
\]
Ainsi, 1 cm dans la réalité correspond à :
\[
x = \frac{16}{400} = 0,04 \text{ cm}
\]
b. Pour déterminer combien de rouleaux Chama doit acheter, nous devons d’abord calculer la surface du mur à tapisser, puis diviser cette surface par la surface d’un rouleau de papier peint.
La surface du mur est donnée par :
\[
\text{Hauteur} \times \text{Largeur} = 2,5 \text{ m} \times 4 \text{ m} = 10 \text{ m}^2
\]
La surface d’un rouleau de papier peint est donnée par :
\[
\text{Largeur} \times \text{Longueur} = 0,53 \text{ m} \times 10,05 \text{ m} = 5,3265 \text{ m}^2
\]
Le nombre de rouleaux nécessaires est donc :
\[
N = \frac{\text{Surface du mur}}{\text{Surface d’un rouleau}} = \frac{10}{5,3265} \approx 1,88
\]
Chama doit donc acheter 2 rouleaux, car on ne peut pas acheter une fraction de rouleau.
c. Pour déterminer la longueur de papier d’un rouleau qui restera après avoir utilisé ce qui est nécessaire, nous devons d’abord calculer combien de longueurs de rouleau sont nécessaires pour couvrir la hauteur du mur.
La hauteur du mur est de 2,5 m, et la largeur d’un rouleau est de 0,53 m, donc le nombre de bandes nécessaires est :
\[
B = \frac{\text{Largeur du mur}}{\text{Largeur d’un rouleau}} = \frac{4}{0,53} \approx 7,55
\]
Ce nombre doit être arrondi à l’entier supérieur, d’où :
\[
B = 8 \text{ bandes}
\]
La longueur totale de papier utilisée de chaque rouleau est :
\[
L_{\text{utilisé}} = \text{Hauteur du mur} \times B = 2,5 \times 8 = 20 \text{ m}
\]
Puisque chaque rouleau fait 10,05 m, cela signifie que nous aurons besoin de :
\[
\frac{20 \text{ m}}{10,05 \text{ m par rouleau}} \approx 1,99 \text{ rouleaux}
\]
En réalité, chaque bande utilise une longueur du rouleau de 2,5 m, donc il restera :
\[
\text{Restant} \text{ pour chaque rouleau de 10,05 m} = 10,05 \text{ m} – 2,5 \text{ m} \times 4 = 0,05 \text{ m}
\]
Puisque nous avons calculé qu’il faut 2 rouleaux pour la hauteur totale :
\[
\text{Longueur restante totale} = 0,05 \text{ m} \times 4 = 0,10 \text{ m}
\]
Exercice 14 : problème de la chambre
Correction de l’exercice :
\[\]Partie a :\[\]
Pour tracer le plafond de cette chambre en prenant 16 cm sur ton dessin pour 4 m dans la réalité, on utilise l’échelle suivante :
\[
\text{Échelle} = \frac{16 \text{ cm}}{4 \text{ m}} = \frac{16 \text{ cm}}{400 \text{ cm}} = \frac{1}{25}
\]
Cela signifie que chaque centimètre sur le dessin représente 25 centimètres dans la réalité.
\[\]Partie b :\[\]
Pour calculer l’aire du plafond de la pièce, on suppose que la longueur et la largeur sont données par leurs dimensions réelles:
\[
\text{Aire} = \text{longueur} \times \text{largeur} = 4 \text{ m} \times 3 \text{ m} = 12 \text{ m}^2
\]
\[\]Partie c :\[\]
Chama décide de peindre le plafond de deux couches de peinture. Étant donné que l’aire totale à peindre est de 12 \( \text{m}^2 \) et qu’un litre de peinture couvre environ 10 \( \text{m}^2 \), le nombre total de litres nécessaires pour deux couches est calculé comme suit :
\[
\text{Aire totale à peindre} = 12 \text{ m}^2 \times 2 = 24 \text{ m}^2
\]
\[
\text{Nombre de litres nécessaires} = \frac{24 \text{ m}^2}{10 \text{ m}^2/\text{litre}} = 2,4 \text{ litres}
\]
\[\]Partie d :\[\]
D’après la promotion, un pot de peinture contient 2,5 L + 20 % supplémentaires.
Calculons d’abord la quantité totale de peinture dans le pot avec la promotion :
\[
2,5 \text{ L} + 0,2 \times 2,5 \text{ L} = 2,5 \text{ L} + 0,5 \text{ L} = 3 \text{ L}
\]
Chama aura donc assez de peinture, car 3 L est supérieur à 2,4 L nécessaires.
\[\]Partie e :\[\]
Sans la promotion, cette peinture coûte 20,88 € le litre.
1. Le prix au litre de cette peinture avec la promotion est calculé comme suit :
\[
\text{Prix total} = 2,5 \text{ L} \times 20,88 €/\text{L} = 52,20 €
\]
\[
\text{Prix au litre avec la promotion} = \frac{52,20 €}{3 \text{ L}} \approx 17,40 €/\text{L}
\]
2. L’économie réalisée par Chama par litre de peinture est :
\[
\text{Économie par litre} = 20,88 €/\text{L} – 17,40 €/\text{L} = 3,48 €/\text{L}
\]
Exercice 15 : les horaires de la bibliothèque
\[\]Correction de l’exercice\[\]
a. Calculons la durée totale d’ouverture de chaque bibliothèque.
\[\]Bibliothèque du Mont\[\]:
– Mardi : \( 10\,h – 17\,h \Rightarrow 7\,h \)
– Mercredi : \( 10\,h – 12\,h \Rightarrow 2\,h \) et \( 13\,h\,30 – 19\,h \Rightarrow 5\,h\,30 \) donc \[ 2\,h + 5\,h\,30 = 7\,h\,30 \]
– Jeudi : \( 13\,h\,30 – 19\,h \Rightarrow 5\,h\,30 \)
– Vendredi : \( 10\,h – 12\,h \Rightarrow 2\,h \) et \( 13\,h\,30 – 19\,h \Rightarrow 5\,h\,30 \) donc \[ 2\,h + 5\,h\,30 = 7\,h\,30 \]
– Samedi : \( 10\,h – 17\,h \Rightarrow 7\,h \)
Total pour la semaine :
\[ 7\,h + 7\,h\,30 + 5\,h\,30 + 7\,h\,30 + 7\,h = 34\,h\,30 = 34,5\,h \]
\[\]Bibliothèque du Val\[\]:
– Mardi : \( 9\,h\,30 – 12\,h \Rightarrow 2\,h\,30 \) et \( 13\,h\,30 – 18\,h \Rightarrow 4\,h\,30 \) donc \[ 2\,h\,30 + 4\,h\,30 = 7\,h \]
– Mercredi : \( 9\,h\,30 – 12\,h\,30 \Rightarrow 3\,h \) et \( 14\,h – 19\,h \Rightarrow 5\,h \) donc \[ 3\,h + 5\,h = 8\,h \]
– Jeudi : \( 14\,h – 18\,h \Rightarrow 4\,h \)
– Vendredi : \( 9\,h\,30 – 12\,h \Rightarrow 2\,h\,30 \) et \( 14\,h – 18\,h \Rightarrow 4\,h \) donc \[ 2\,h\,30 + 4\,h = 6\,h\,30 \]
– Samedi : \( 9\,h\,30 – 12\,h\,30 \Rightarrow 3\,h \) et \( 14\,h – 17\,h \Rightarrow 3\,h \) donc \[ 3\,h + 3\,h = 6\,h \]
Total pour la semaine :
\[ 7\,h + 8\,h + 4\,h + 6\,h\,30 + 6\,h = 31\,h\,30 = 31,5\,h \]
\[\]Durées totales :\[\]
– Bibliothèque du Mont : \( 34,5\,h \)
– Bibliothèque du Val : \( 31,5\,h \)
b. Plages horaires d’ouverture communes aux deux bibliothèques :
– Mardi : \( 10\,h – 12\,h \)
– Mercredi : \( 10\,h – 12\,h \) et \( 14\,h – 19\,h \)
– Jeudi : \( 14\,h – 18\,h \)
– Vendredi : \( 10\,h – 12\,h \) et \( 14\,h – 18\,h \)
– Samedi : \( 10\,h – 12\,h \) et \( 14\,h – 17\,h \)
c. Durée d’ouverture commune aux deux bibliothèques :
– Mardi : \( 2\,h \)
– Mercredi : \( 3\,h \) (le matin de 10h à 12h) + \( 5\,h \) (l’après-midi de 14h à 19h) donc \[ 2\,h + 5\,h = 7\,h \]
– Jeudi : \( 4\,h \)
– Vendredi : \( 2\,h \) (le matin de 10h à 12h) + \( 4\,h \) (l’après-midi de 14h à 18h) donc \[ 2\,h + 4\,h = 6\,h \]
– Samedi : \( 2\,h \) (le matin de 10h à 12h) + \( 3\,h \) (l’après-midi de 14h à 17h) donc \[ 2\,h + 3\,h = 5\,h \]
Durée totale commune sur la semaine :
\[ 2\,h (Mardi) + 8\,h (Mercredi) + 4\,h (Jeudi) + 6\,h (Vendredi) + 5\,h (Samedi) = 27\,h \]
Exercice 16 : le cross départemental
Correction de l’exercice :
Pour chaque course, nous utiliserons les longueurs suivantes :
– Petite boucle : \( 875 \) m
– Grande boucle : \( 1998 \) m
Course n°1 : 1 Grande boucle
\[
\text{Longueur} = 1998 \, \text{m}
\]
Course n°2 : 1 Petite + 1 Grande
\[
\text{Longueur} = 875 \, \text{m} + 1998 \, \text{m} = 2873 \, \text{m}
\]
Course n°3 : 2 Petites + 1 Grande
\[
\text{Longueur} = 2 \times 875 \, \text{m} + 1998 \, \text{m} = 1750 \, \text{m} + 1998 \, \text{m} = 3748 \, \text{m}
\]
Course n°4 : 1 Petite + 2 Grandes
\[
\text{Longueur} = 875 \, \text{m} + 2 \times 1998 \, \text{m} = 875 \, \text{m} + 3996 \, \text{m} = 4871 \, \text{m}
\]
Course n°5 : 1 Petite boucle
\[
\text{Longueur} = 875 \, \text{m}
\]
Course n°6 : 1 Petite + 3 Grandes
\[
\text{Longueur} = 875 \, \text{m} + 3 \times 1998 \, \text{m} = 875 \, \text{m} + 5994 \, \text{m} = 6869 \, \text{m}
\]
Ainsi, les longueurs de chaque course sont :
– Course n°1 : \( 1998 \) m
– Course n°2 : \( 2873 \) m
– Course n°3 : \( 3748 \) m
– Course n°4 : \( 4871 \) m
– Course n°5 : \( 875 \) m
– Course n°6 : \( 6869 \) m
Exercice 17 : course départementale
Correction de l’exercice :
### Longueur de chaque course
1. \[\]Course n°1 : 1 Grande Boucle\[\]
\[
1 \times 1998 \, \text{m} = 1998 \, \text{m}
\]
2. \[\]Course n°2 : 1 Petite + 1 Grande\[\]
\[
1 \times 875 \, \text{m} + 1 \times 1998 \, \text{m} = 875 \, \text{m} + 1998 \, \text{m} = 2873 \, \text{m}
\]
3. \[\]Course n°3 : 2 Petites + 1 Grande\[\]
\[
2 \times 875 \, \text{m} + 1 \times 1998 \, \text{m} = 2 \times 875 \, \text{m} + 1998 \, \text{m} = 1750 \, \text{m} + 1998 \, \text{m} = 3748 \, \text{m}
\]
4. \[\]Course n°4 : 1 Petite + 2 Grandes\[\]
\[
1 \times 875 \, \text{m} + 2 \times 1998 \, \text{m} = 875 \, \text{m} + 3996 \, \text{m} = 4871 \, \text{m}
\]
5. \[\]Course n°5 : 1 Petite Boucle\[\]
\[
1 \times 875 \, \text{m} = 875 \, \text{m}
\]
6. \[\]Course n°6 : 1 Petite + 3 Grandes\[\]
\[
1 \times 875 \, \text{m} + 3 \times 1998 \, \text{m} = 875 \, \text{m} + 5994 \, \text{m} = 6869 \, \text{m}
\]
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