Fonction exponentielle : corrigé des exercices de maths en terminale.

Exercice 1 : démontrer que la fonction est constante
Soit y un nombre réel fixé et soit h la fonction définie sur \mathbb{R} par :

h(x)\,=\,\exp(x\,%2B\,y)\,\times  \,\exp(-x).

a)\,Demontrer\,que\,la\,fonction\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fh%22\,alt=%22h est constante sur \mathbb{R}. » align= »absmiddle » />

Calculons h(x) :

h(x)\,=\,\exp(x\,%2B\,y)\,\times  \,\exp(-x).

En utilisant les propriétés des exponentielles, nous avons :

h(x)\,=\,\exp(x\,%2B\,y)\,\times  \,\exp(-x)\,=\,\exp(x\,%2B\,y\,-\,x)\,=\,\exp(y).

Puisque y est un nombre réel fixé, la valeur \exp(y) est constante. Donc, h(x) est constante et vaut \exp(y).

b)\,En\,deduire\,que%2C\,pour\,tout\,nombre\,reel\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%22\,alt=%22x, h(x)\,=\,\exp(y). » align= »absmiddle » />

De la partie a), nous avons montré que :

h(x)\,=\,\exp(y)\,\quad\,pour\,tout\,\,x\,\in\,\mathbb{R}.

c)\,Retrouver\,alors\,que\,pour\,tous\,nombres\,reels\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fx%22\,alt=%22x et y, \exp(x\,%2B\,y)\,=\,\exp(x)\,\times  \,\exp(y). » align= »absmiddle » />

Par définition de la fonction h, nous avons :

h(x)\,=\,\exp(x\,%2B\,y)\,\times  \,\exp(-x).

Puisque nous avons prouvé que h(x)\,=\,\exp(y), nous obtenons :

\exp(y)\,=\,\exp(x\,%2B\,y)\,\times  \,\exp(-x).

Multipliant chaque membre par \exp(x), nous obtenons :

\exp(y)\,\times  \,\exp(x)\,=\,\exp(x\,%2B\,y).

Ce qui démontre que :

\exp(x\,%2B\,y)\,=\,\exp(x)\,\times  \,\exp(y).

Exercice 2 : fonction dérivée et exponentielle
a) Déterminer la fonction dérivée de chacune de ces fonctions.

Soit f(x)\,=\,\exp(x)\,%2B\,\exp(-x) et g(x)\,=\,\exp(x)\,-\,\exp(-x).

Pour f(x):

f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,%5B\exp(x)\,%2B\,\exp(-x)%5D\,=\,\exp(x)\,-\,\exp(-x)

Pour g(x):

g'(x)\,=\,\frac{d}{dx}\,%5B\exp(x)\,-\,\exp(-x)%5D\,=\,\exp(x)\,%2B\,\exp(-x)

b) Expliquer pourquoi, pour tout nombre réel x:

f(x)\,=\,\frac{%5B\exp(x)%5D^2\,%2B\,1}{\exp(x)}

En partant de f(x)\,=\,\exp(x)\,%2B\,\exp(-x) :

f(x)\,=\,\exp(x)\,%2B\,\frac{1}{\exp(x)}\,=\,\frac{\exp(x)\,\cdot\,\exp(x)\,%2B\,1}{\exp(x)}\,=\,\frac{\exp(2x)\,%2B\,1}{\exp(x)}\,=\,\frac{%5B\exp(x)%5D^2\,%2B\,1}{\exp(x)}

Pour montrer la deuxième égalité :

g(x)\,=\,\frac{(\exp(x)\,-\,1)(\exp(x)\,%2B\,1)}{\exp(x)}

Ecrivons g(x)\,=\,\exp(x)\,-\,\exp(-x):

g(x)\,=\,\exp(x)\,-\,\frac{1}{\exp(x)}\,=\,\frac{\exp(x)\,\cdot\,\exp(x)\,-\,1}{\exp(x)}\,=\,\frac{\exp(2x)\,-\,1}{\exp(x)}\,=\,\frac{(\exp(x))^2\,-\,1}{\exp(x)}\,=\,\frac{(\exp(x)\,-\,1)(\exp(x)\,%2B\,1)}{\exp(x)}

Pour montrer f^2(x)\,-\,g^2(x)\,=\,4:

Calculons f^2(x) et g^2(x):

f^2(x)\,=\,(\exp(x)\,%2B\,\exp(-x))^2\,=\,\exp(2x)\,%2B\,2\,%2B\,\exp(-2x)

g^2(x)\,=\,(\exp(x)\,-\,\exp(-x))^2\,=\,\exp(2x)\,-\,2\,%2B\,\exp(-2x)

Alors,

f^2(x)\,-\,g^2(x)\,=\,%5B\exp(2x)\,%2B\,2\,%2B\,\exp(-2x)%5D\,-\,%5B\exp(2x)\,-\,2\,%2B\,\exp(-2x)%5D\,=\,4

Exercice 3 : donner l’expression avec une seule exponentielle
1. a désigne un nombre réel. Dans chaque cas, écrire l’expression avec une seule exponentielle.

a) $(e^{2a+1})^3 \times (e^{-3a})^2$

(e^{2a%2B1})^3\,\times  \,(e^{-3a})^2\,=\,e^{3(2a%2B1)}\,\cdot\,e^{2(-3a)}\,=\,e^{6a%2B3}\,\cdot\,e^{-6a}\,=\,e^{6a%2B3-6a}\,=\,e^3

b) $\frac{e^{2-3a}}{e^{1+a}}$

\frac{e^{2-3a}}{e^{1%2Ba}}\,=\,e^{2-3a-(1%2Ba)}\,=\,e^{2-3a-1-a}\,=\,e^{1-4a}

c) $\frac{e^{3a+1}}{e^4 \times e}$

\frac{e^{3a%2B1}}{e^4\,\times  \,e}\,=\,\frac{e^{3a%2B1}}{e^{4%2B1}}\,=\,\frac{e^{3a%2B1}}{e^5}\,=\,e^{3a%2B1-5}\,=\,e^{3a-4}

2. Démontrer, que pour tout nombre réel x :

e^{-x}\,-\,e^{-2x}\,=\,\frac{e^{-x}-1}{e^{2x}}

e^{-x}\,-\,e^{-2x}\,=\,\frac{e^{-x}}{e^0}\,-\,\frac{e^{-2x}}{e^0}

e^{-x}\,-\,e^{-2x}\,=\,\frac{e^{-x}\cdot\,e^{2x}\,-\,e^{-2x}\cdot\,e^{2x}}{e^{2x}}\,=\,\frac{e^{x}\,-\,1}{e^{2x}}

\frac{e^{x}\,-\,1}{e^{2x}}\,=\,\frac{e^{-x}\,-1}{e^{2x}}

Donc,
e^{-x}\,-\,e^{-2x}\,=\,\frac{e^{-x}-1}{e^{2x}}

Exercice 4 : simplifier des expressions avec des exponentielles
a) (e^x)^5\,\times  \,e^{-2x}\,=\,e^{5x}\,\times  \,e^{-2x}\,=\,e^{5x\,-\,2x}\,=\,e^{3x}

b) \frac{e^{2x%2B3}}{e^{2x-1}}\,=\,e^{(2x%2B3)\,-\,(2x-1)}\,=\,e^{2x%2B3-2x%2B1}\,=\,e^{4}

c) \frac{e^x\,%2B\,e^{-x}}{e^{-x}}\,=\,\frac{e^x}{e^{-x}}\,%2B\,\frac{e^{-x}}{e^{-x}}\,=\,e^{x-(-x)}\,%2B\,1\,=\,e^{x%2Bx}\,%2B\,1\,=\,e^{2x}\,%2B\,1

Exercice 5 : démontrer une égalité avec des exponentielles
Démontrons que, pour tout nombre réel x,

\frac{e^{2x}-1}{e^x%2B1}\,=\,e^x\,\times  \,\frac{1-e^{-2x}}{1%2Be^{-x}}.

Tout d’abord, considérons le membre de gauche de l’égalité :

\frac{e^{2x}-1}{e^x\,%2B\,1}.

Nous pouvons factoriser e^{2x}\,-\,1 :

e^{2x}\,-\,1\,=\,(e^x)^2\,-\,1\,=\,(e^x\,-\,1)(e^x\,%2B\,1).

Cela nous donne:

\frac{(e^x\,-\,1)(e^x\,%2B\,1)}{e^x\,%2B\,1}.

En simplifiant par e^x\,%2B\,1 :

\frac{(e^x\,-\,1)(e^x\,%2B\,1)}{e^x\,%2B\,1}\,=\,e^x\,-\,1.

Nous avons donc :

\frac{e^{2x}\,-\,1}{e^x\,%2B\,1}\,=\,e^x\,-\,1.

Maintenant, considérons le membre de droite de l’égalité :

e^x\,\times  \,\frac{1\,-\,e^{-2x}}{1\,%2B\,e^{-x}}.

Nous pouvons réécrire 1\,-\,e^{-2x} :

1\,-\,e^{-2x}\,=\,1\,-\,\frac{1}{e^{2x}}\,=\,\frac{e^{2x}\,-\,1}{e^{2x}}.

Cela nous donne :

e^x\,\times  \,\frac{\frac{e^{2x}\,-\,1}{e^{2x}}}{1\,%2B\,e^{-x}}.

Simplifions :

e^x\,\times  \,\frac{e^{2x}\,-\,1}{e^{2x}(1\,%2B\,e^{-x})}\,=\,e^x\,\times  \,\frac{e^{2x}\,-\,1}{e^{2x}\,%2B\,e^x}.

Nous pouvons simplifier par e^x :

\frac{e^{x}(e^{2x}\,-\,1)}{e^{2x}\,%2B\,e^x}.

Factorisons e^x dans le dénominateur :

\frac{e^{x}(e^{2x}\,-\,1)}{e^x(e^x\,%2B\,1)}\,=\,\frac{e^{x}(e^{2x}\,-\,1)}{e^x\,(e^x\,%2B\,1)}\,=\,\frac{e^{2x}\,-\,1}{e^x\,%2B\,1}.

Nous voyons que les deux membres sont égaux :

\frac{e^{2x}\,-\,1}{e^x\,%2B\,1}\,=\,e^x\,\times  \,\frac{1\,-\,e^{-2x}}{1\,%2B\,e^{-x}}.

Exercice 6 : une égalité et une fonction
Soit f(x)\,=\,\frac{e^x\,-\,1}{e^x\,%2B\,1}.

Nous devons démontrer que pour tout x\,\in\,\mathbb{R} :
f(2x)=\frac{2f(x)}{1%2B%5Bf(x)%5D^2}.

Calculons f(2x) :
f(2x)\,=\,\frac{e^{2x}\,-\,1}{e^{2x}\,%2B\,1}.

Nous allons utiliser l’identité suivante pour e^{2x}:
e^{2x}\,=\,(e^x)^2.

Pour simplifier f(2x), nous devons exprimer e^{2x} en termes de f(x). Remarquons que
f(x)\,=\,\frac{e^x\,-\,1}{e^x\,%2B\,1}.

Posons t\,=\,e^x. Nous avons donc :
f(x)\,=\,\frac{t\,-\,1}{t\,%2B\,1}.

Nous voulons trouver une relation entre t et f(2x). Observons que t^2\,=\,e^{2x}. Donc :
f(2x)\,=\,\frac{t^2\,-\,1}{t^2\,%2B\,1}.

Nous devons maintenant exprimer f(2x) en termes de f(x). Nous savons que :
f(x)\,=\,\frac{t\,-\,1}{t\,%2B\,1}.

Pour utiliser cette expression, revenons à la définition de f(x) et essayons de résoudre pour t :
f(x)(t\,%2B\,1)\,=\,t\,-\,1%2C
t\,f(x)\,%2B\,f(x)\,=\,t\,-\,1%2C
t\,f(x)\,-\,t\,=\,-1\,-\,f(x)%2C
t\,(f(x)\,-\,1)\,=\,-1\,-\,f(x)%2C
t\,=\,\frac{-1\,-\,f(x)}{f(x)\,-\,1}.

Maintenant, substituons cette expression dans f(2x):
f(2x)\,=\,\frac{(\frac{-1\,-\,f(x)}{f(x)\,-\,1})^2\,-\,1}{(\frac{-1\,-\,f(x)}{f(x)\,-\,1})^2\,%2B\,1}.

Simplifions l’expression un peu plus:
(\frac{-1\,-\,f(x)}{f(x)\,-\,1})^2\,=\,\frac{(-1\,-\,f(x))^2}{(f(x)\,-\,1)^2}\,=\,\frac{(1\,%2B\,f(x))^2}{(1\,-\,f(x))^2}.

Ainsi:
f(2x)\,=\,\frac{\frac{(1\,%2B\,f(x))^2}{(1\,-\,f(x))^2}\,-\,1}{\frac{(1\,%2B\,f(x))^2}{(1\,-\,f(x))^2}\,%2B\,1}.

Mettons maintenant le numérateur et le dénominateur sous un dénominateur commun:
f(2x)\,=\,\frac{\frac{(1\,%2B\,f(x))^2\,-\,(1\,-\,f(x))^2}{(1\,-\,f(x))^2}}{\frac{(1\,%2B\,f(x))^2\,%2B\,(1\,-\,f(x))^2}{(1\,-\,f(x))^2}}.

Simplifions les expressions:
(1\,%2B\,f(x))^2\,=\,1\,%2B\,2f(x)\,%2B\,f(x)^2%2C
(1\,-\,f(x))^2\,=\,1\,-\,2f(x)\,%2B\,f(x)^2.

Donc :
(1\,%2B\,f(x))^2\,-\,(1\,-\,f(x))^2\,=\,%5B1\,%2B\,2f(x)\,%2B\,f(x)^2%5D\,-\,%5B1\,-\,2f(x)\,%2B\,f(x)^2%5D\,=\,4f(x)%2C
(1\,%2B\,f(x))^2\,%2B\,(1\,-\,f(x))^2\,=\,%5B1\,%2B\,2f(x)\,%2B\,f(x)^2%5D\,%2B\,%5B1\,-\,2f(x)\,%2B\,f(x)^2%5D\,=\,2(1\,%2B\,f(x)^2).

Ainsi :
f(2x)\,=\,\frac{4f(x)}{2(1\,%2B\,f(x)^2)}\,=\,\frac{2f(x)}{1\,%2B\,f(x)^2}.

C’est ce qu’on voulait démontrer:
f(2x)\,=\,\frac{2f(x)}{1\,%2B\,%5Bf(x)%5D^2}.

Exercice 7 : démontrer une inégalité avec exponentielles
Pour démontrer que e^x\,-\,2\,%2B\,e^{-x}\,\geq\,\,0 pour tout x\,\in\,\mathbb{R}, nous allons utiliser la méthode suivante :

Considérons la fonction :
f(x)\,=\,e^x\,%2B\,e^{-x}

Nous devons montrer que :
f(x)\,\geq\,\,2

En effet, cela nous permettra d’affirmer que :
e^x\,%2B\,e^{-x}\,-\,2\,\geq\,\,0

Observons que la fonction f(x) peut être réécrite comme une somme et une productivité de termes qui faciliteront la dérivation :

f(x)\,=\,e^x\,%2B\,e^{-x}

Calculons la dérivée première de f(x) :
f'(x)\,=\,e^x\,-\,e^{-x}

Nous observons que :
f'(x)\,=\,0\,\implies\,e^x\,-\,e^{-x}\,=\,0\,\implies\,e^x\,=\,e^{-x}\,\implies\,e^{2x}\,=\,1\,\implies\,2x\,=\,0\,\implies\,x\,=\,0

Ainsi, x\,=\,0 est le point critique. Pour déterminer la nature de ce point critique, nous devons examiner la concavité en calculant la dérivée seconde de f(x) :

f''(x)\,=\,e^x\,%2B\,e^{-x}

Puisque e^x et e^{-x} sont toujours positifs pour tout x\,\in\,\mathbb{R}, nous avons :
f''(x)\,=\,e^x\,%2B\,e^{-x}\,>\,0 a un minimum local à x\,=\,0.

Ensuite, calculons la valeur de f(x) en x\,=\,0 :
f(0)\,=\,e^0\,%2B\,e^0\,=\,1\,%2B\,1\,=\,2

Puisque f(x) est strictement convexe et atteint son minimum global en x\,=\,0f(0)\,=\,2, nous concluons que pour tout x\,\in\,\mathbb{R} :
f(x)\,\geq\,\,2

Finalement, nous avons :
e^x\,%2B\,e^{-x}\,-\,2\,\geq\,\,0
d’où :
e^x\,-\,2\,%2B\,e^{-x}\,\geq\,\,0

La démonstration est donc terminée.

Exercice 8 : calculatrice et exponentielle
L’expression donnée est :

\frac{e^2}{1\,%2B\,e^{-3}}

Commençons par calculer e^2 à l’aide de la calculatrice :

e^2\,\approx\,7.389

Ensuite, calculons e^{-3} :

e^{-3}\,\approx\,0.0498

Maintenant, nous pouvons calculer 1\,%2B\,e^{-3} :

1\,%2B\,e^{-3}\,\approx\,1\,%2B\,0.0498\,=\,1.0498

Enfin, nous calculons le quotient :

\frac{e^2}{1\,%2B\,e^{-3}}\,\approx\,\frac{7.389}{1.0498}\,\approx\,7.038

Arrondi au millième, le résultat est :

7.038

Exercice 9 : tableau de variation et équation de la tangente
1. Déterminer une équation de la tangente T_1:

La fonction exponentielle est f(x)\,=\,e^x. On cherche l’équation de la tangente T_1 à la courbe \mathcal{C} au point d’abscisse 1.

Calculons d’abord f(1) :
f(1)\,=\,e

Calculons ensuite la dérivée f'(x) :
f'(x)\,=\,e^x

Donc, f'(1) est :
f'(1)\,=\,e

L’équation de la tangente au point d’abscisse 1 est donnée par :
y\,=\,f'(1)\,(x\,-\,1)\,%2B\,f(1)

D’où :
y\,=\,e(x\,-\,1)\,%2B\,e
y\,=\,ex\,-\,e\,%2B\,e
y\,=\,ex

Ainsi, l’équation de la tangente T_1 est :
y\,=\,ex

2. Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par :
g(x)\,=\,e^x\,-\,ex

a) Étudier les variations de la fonction g et dresser son tableau de variation :

Calculons la dérivée g'(x) :
g'(x)\,=\,e^x\,-\,e

Résolvons g'(x)\,=\,0 :
e^x\,-\,e\,=\,0
e^x\,=\,e
x\,=\,1

Étudions le signe de g'(x) :
– Pour x\,%3C\,1, g'(x)\,%3C\,0 (car e^x\,%3C\,e)
– Pour x\,>\,1 a un minimum en x\,=\,1.

Tableau de variation de g(x) :

\begin{array}{c%7Cccccc}%0D%0Ax\,%26\,-\infty\,%26\,%26\,1\,%26\,%26\,%2B\infty\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ag'(x)\,%26\,%26\,-\,%26\,0\,%26\,%2B\,%26\,\\%0D%0A\hline%0D%0Ag(x)\,%26\,\infty\,%26\,\searrow\,%26\,g(1)\,%26\,\nearrow\,%26\,\infty\,\\%0D%0A\end{array}

Calculons g(1) :
g(1)\,=\,e\,-\,e\,=\,0

b) En déduire le signe de g(x) :

– Pour x\,%3C\,1, g(x)\,>\,0 est décroissante et tend vers \infty pour x\,\to\,-\infty).
– Pour x\,>\,1 est croissante et tend vers \infty pour x\,\to\,%2B\infty).

Par conséquent, g(x)\,\geq\,\,0 pour tout x\,\in\,\mathbb{R}, avec g(x)\,=\,0 seulement en x\,=\,1.

c) Déterminer la position relative de la courbe \mathcal{C} et de la tangente T_1 :

Le signe de g(x)\,=\,e^x\,-\,ex nous indique que g(x)\,\geq\,\,0, ce qui signifie que la courbe \mathcal{C} est toujours au-dessus ou sur la tangente T_1, et touche la tangente uniquement au point d’abscisse 1.

Exercice 10 : position relative de la tangente à une courbe
a) Déterminer une équation de la tangente T.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$ a pour équation :
y\,=\,f'(0)(x\,-\,0)\,%2B\,f(0)

Calculons $f(0)$ :
f(0)\,=\,e^{-0}\,=\,1

Calculons $f'(x)$ :
f'(x)\,=\,\frac{d}{dx}(e^{-x})\,=\,-e^{-x}

Ainsi,
f'(0)\,=\,-e^{0}\,=\,-1

L’équation de la tangente en $x = 0$ est donc :
y\,=\,-1\,\cdot\,x\,%2B\,1
y\,=\,-x\,%2B\,1

b) Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la tangente T.

Pour comparer la position de la courbe $\mathcal{C}$ et de la tangente $\mathcal{T}$, nous examinons le signe de la différence $f(x) – (-x + 1)$:
f(x)\,-\,(-x\,%2B\,1)\,=\,e^{-x}\,%2B\,x\,-\,1

Étudions le signe de la fonction $g(x) = e^{-x} + x – 1$ :
g(x)\,=\,e^{-x}\,%2B\,x\,-\,1

Calculons la dérivée de $g(x)$ :
g'(x)\,=\,-e^{-x}\,%2B\,1

Cherchons les points critiques en résolvant $g'(x) = 0$ :
-e^{-x}\,%2B\,1\,=\,0
e^{-x}\,=\,1
x\,=\,0

Étudions les variations de $g(x)$ :
– Pour $x < 0$, $g'(x) = -e^{-x} + 1 < 0$ car $e^{-x} > 1$.
– Pour $x = 0$, $g'(x) = 0$.
– Pour $x > 0$, $g'(x) = -e^{-x} + 1 > 0$ car $e^{-x} < 1$.

Nous avons donc un minimum local en $x = 0$ :
g(0)\,=\,e^{0}\,%2B\,0\,-\,1\,=\,0

Ainsi, $\forall x \in \mathbb{R}$, $g(x) = e^{-x} + x – 1 \geq\, 0$.

Finalement,
f(x)\,\geq\,\,-x\,%2B\,1

Donc la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de la tangente $\mathcal{T}$ en tout point de l’intervalle considéré.

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