Fonction exponentielle : corrigé des exercices de maths en terminale.

Exercice 11 : position relative de la courbe et de la tangente
Nous avons la fonction \( h(x) = e^x + e^{-x} \).

1. \[\]Calcul de la dérivée de \( h(x) \) :\[\]
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(e^x + e^{-x}) = e^x – e^{-x}
\]

2. \[\]Évaluation de la dérivée à \( x = 0 \) :\[\]
\[
h'(0) = e^0 – e^{0} = 1 – 1 = 0
\]

Ainsi, la tangente à la courbe de \( h \) en \( x = 0 \) est horizontale.

3. \[\]Calcul de la valeur de \( h \) en \( x = 0 \) :\[\]
\[
h(0) = e^0 + e^0 = 1 + 1 = 2
\]

Donc, le point de tangence est \( (0, 2) \) et la tangente en ce point a pour équation :
\[
y = 2
\]

4. \[\]Nature de la courbe de \( h(x) \) :\[\]

Sachant que \( e^x > 0 \) et \( e^{-x} > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( h(x) \) est toujours positive : \( h(x) > 0 \).

La fonction \( h(x) = e^x + e^{-x} \) atteint son minimum en \( x = 0 \) car \( h'(x) = 0 \) à cet endroit et \( h'(x) \) change de signe autour de \( x = 0 \). De plus \( h(x) \) est une fonction paire, ce qui signifie qu’elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

5. \[\]Analyse de la position relative :\[\]

La courbe de \( h \) est située au-dessus de la tangente \( y = 2 \) partout sauf en \( x = 0 \) où elles se touchent car :
\[
h(x) = e^x + e^{-x} \geq\, 2
\]
avec égalité seulement en \( x = 0 \).

En conclusion, la courbe \( h(x) \) est toujours au-dessus de la tangente \( y = 2 \) et n’est tangente qu’en un seul point, \( (0, 2) \).

Exercice 12 : conjecturer à l’aide de la calculatrice
1. a) Conjecture à l’aide de la calculatrice le sens de variation de la fonction \( f \).

– En utilisant une calculatrice, nous observons que \( f(x) = e^{-x^2 + 2x} \). Nous pouvons conjecturer que la fonction peut être croissante ou décroissante en fonction de sa dérivée.

b) Valider cette conjecture.

– Calculons la dérivée de \( f \).

\[
f(x) = e^{-x^2 + 2x}
\]

La dérivée \( f'(x) \) est :

\[
f'(x) = e^{-x^2 + 2x} \cdot \frac{d}{dx} (-x^2 + 2x)
\]

\[
f'(x) = e^{-x^2 + 2x} \cdot (-2x + 2)
\]

\[
f'(x) = e^{-x^2 + 2x} \cdot (2 – 2x)
\]

La fonction dérivée \( f'(x) \) change de signe en fonction de la valeur de \( x \) :
– Pour \( x < 1 \), \( f'(x) \) est positive, donc \( f \) est croissante.
– Pour \( x > 1 \), \( f'(x) \) est négative, donc \( f \) est décroissante.

Ainsi, \( f(x) \) est croissante sur \( (-\infty, 1) \) et décroissante sur \( (1, +\infty) \).

2. a) Conjecturer, à l’aide de la calculatrice, les positions relatives des courbes \( \mathcal{C}_f \) et \( \mathcal{C}_g \).

– En utilisant une calculatrice, nous dessinons les courbes des fonctions \( f \) et \( g \). On observe que \( f \) et \( g \) se croisent en certains points et que leur position relative varie selon les valeurs de \( x \).

b) Étudier la position relative des courbes \( \mathcal{C}_f \) et \( \mathcal{C}_g \).

– Pour déterminer les positions relatives de \( \mathcal{C}_f \) et \( \mathcal{C}_g \), comparons \( f(x) \) et \( g(x) \):

\[
f(x) = e^{-x^2 + 2x} \quad \text{et} \quad g(x) = e^{-x}
\]

Comparons les deux fonctions :

\[
e^{-x^2 + 2x} \quad \text{et} \quad e^{-x}
\]

Pour cela, considérons \( h(x) = f(x) – g(x) \):

\[
h(x) = e^{-x^2 + 2x} – e^{-x}
\]

Étudions le signe de \( h(x) \):

\[
h(x) = e^{-x(x-2)} – e^{-x}
\]

Analysons \( h(x) = 0 \):

\[
e^{-x(x-2)} = e^{-x}
\]

\[
-x(x-2) = -x
\]

\[
-x^2 + 2x = -x
\]

\[
-x^2 + 3x = 0
\]

\[
x(x – 3) = 0
\]

Les points d’intersection des courbes sont \( x = 0 \) et \( x = 3 \).

– Pour \( x \in (-\infty, 0) \) : \( f(x) < g(x) \)
– Pour \( x \in (0, 3) \) : \( f(x) > g(x) \)
– Pour \( x \in (3, +\infty) \) : \( f(x) < g(x) \)

Ainsi, les courbes \( \mathcal{C}_f \) et \( \mathcal{C}_g \) se croisent aux points \( x = 0 \) et \( x = 3 \), avec \( \mathcal{C}_f \) au-dessus de \( \mathcal{C}_g \) pour \( 0 < x < 3 \) et en-dessous pour les autres intervalles.

Exercice 13 : position relative de courbes et étude
a) Étudier la position relative de \( \mathcal{C}_f \) et \( \mathcal{C}_g \).

Pour comparer les fonctions \( f \) et \( g \), on étudie le signe de \( f(x) – g(x) \):

\[ f(x) = e^{-2x} \]
\[ g(x) = e^{-3x} \]

\[ f(x) – g(x) = e^{-2x} – e^{-3x} \]

On pose \( h(x) = e^{-2x} – e^{-3x} \).

On cherche les points où \( h(x) = 0 \):

\[ e^{-2x} = e^{-3x} \]
\[ -2x = -3x \]
\[ x = 0 \]

Donc, \( f(x) = g(x) \) pour \( x = 0 \).

Étudions le signe de \( h(x) \):

Pour \( x < 0 \), \( -2x > -3x \) donc \( e^{-2x} > e^{-3x} \) d’où \( h(x) > 0 \).

Pour \( x > 0 \), \( -2x < -3x \) donc \( e^{-2x} < e^{-3x} \) d’où \( h(x) < 0 \).

Conclusion :

– Pour \( x < 0 \), \( f(x) > g(x) \).
– Pour \( x = 0 \), \( f(x) = g(x) \).
– Pour \( x > 0 \), \( f(x) < g(x) \).

b) Étudier la position relative de \( \mathcal{C}_h \) et \( \mathcal{C}_g \).

Pour comparer les fonctions \( h \) et \( g \), on étudie le signe de \( h(x) – g(x) \):

\[ h(x) = e^{-x^2} \]
\[ g(x) = e^{-3x} \]

\[ h(x) – g(x) = e^{-x^2} – e^{-3x} \]

On pose \( k(x) = e^{-x^2} – e^{-3x} \).

On cherche les points où \( k(x) = 0 \):

\[ e^{-x^2} = e^{-3x} \]
\[ -x^2 = -3x \]
\[ x^2 = 3x \]
\[ x(x – 3) = 0 \]

Donc, \( x = 0 \) ou \( x = 3 \).

Étudions le signe de \( k(x) \):

1. Pour \( x \in (-\infty, 0) \):

– Si \( x < 0 \), \( x^2 > 3x \), donc \( e^{-x^2} < e^{-3x} \), d’où \( k(x) < 0 \).

2. Pour \( x \in (0, 3) \):

– Si \( 0 < x < 3 \), \( x^2 < 3x \), donc \( e^{-x^2} > e^{-3x} \), d’où \( k(x) > 0 \).

3. Pour \( x > 3 \):

– Si \( x > 3 \), \( x^2 > 3x \), donc \( e^{-x^2} < e^{-3x} \), d’où \( k(x) < 0 \).

Conclusion :

– Pour \( x < 0 \), \( h(x) < g(x) \).
– Pour \( x = 0 \), \( h(x) = g(x) \).
– Pour \( 0 < x < 3 \), \( h(x) > g(x) \).
– Pour \( x = 3 \), \( h(x) = g(x) \).
– Pour \( x > 3 \), \( h(x) < g(x) \).

Exercice 14 : fonction et étude de la position relative de la courbe
Soit \( f \) la fonction définie par \( f(x) = e^{-x^4} \).

Premièrement, déterminons l’équation de la tangente \( T \) à la courbe représentative de \( f \) au point d’abscisse \( x_0 = 0 \).

1. La valeur de la fonction au point \( x = 0 \) :
\[ f(0) = e^{-0^4} = e^0 = 1 \]

2. La dérivée de \( f \) s’obtient par la règle de dérivation des fonctions composées :
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (e^{-x^4}) = e^{-x^4} \cdot \frac{d}{dx} (-x^4) = e^{-x^4} \cdot (-4x^3) = -4x^3 e^{-x^4} \]

3. La valeur de la dérivée au point \( x = 0 \) :
\[ f'(0) = -4 \cdot 0^3 \cdot e^{-0^4} = 0 \]

L’équation de la tangente \( T \) en \( x = 0 \), de pente \( f'(0) = 0 \) et de point de passage \( (0, f(0)) = (0, 1) \), est alors :
\[ y – f(0) = f'(0)(x – 0) \]
\[ y – 1 = 0 \cdot x \]
\[ y = 1 \]

La tangente \( T \) est donc l’horizontale \( y = 1 \).

Finalement, étudions la position relative de \( \mathcal{C} \) et \( T \).

1. Pour \( x > 0 \) :
\[ f(x) = e^{-x^4} \]
Puisque \( -x^4 < 0 \), on a \( e^{-x^4} < 1 \). Donc, \( f(x) < 1 \).

2. Pour \( x < 0 \) :
De même, \( e^{-x^4} < 1 \) car \( -x^4 < 0 \). Donc, \( f(x) < 1 \).

On en conclut que pour tous les réels \( x \neq 0 \), \( f(x) < 1 \).

Conclusion :
La courbe \( \mathcal{C} \) est située entièrement en dessous de la tangente \( T \) sauf au point d’abscisse \( 0 \) où elles sont égales.

Exercice 15 : aire maximale d’un rectangle et fonctions
Pour déterminer les dimensions du rectangle \(OMNP\) d’aire maximale, nous devons définir l’aire du rectangle en fonction d’une variable et optimiser cette aire.

1. La base du rectangle \(OM\) est \(x\), donc la longueur de la base \(OM\) est \(x\).
2. La hauteur du rectangle \(PM\) est donnée par la valeur de la fonction \(f\) en \(x\), soit \(PM = f(x) = 2e^{-x}\).

L’aire \(A\) du rectangle OMNP est donnée par :
\[ A(x) = OM \times PM = x \times 2e^{-x} = 2x e^{-x} \]

Pour trouver les dimensions du rectangle d’aire maximale, nous devons trouver la valeur de \(x\) qui maximise \(A(x)\).
Nous allons prendre la dérivée de \(A(x)\) et chercher où elle s’annule :

\[ A(x) = 2x e^{-x} \]
La dérivée de \(A(x)\) est :
\[ A'(x) = \frac{d}{dx}[2x e^{-x}] \]

En utilisant la règle du produit, nous avons :
\[ A'(x) = 2 \cdot e^{-x} + 2x \cdot \frac{d}{dx}[e^{-x}] \]
\[ A'(x) = 2 e^{-x} – 2x e^{-x} \]
\[ A'(x) = 2e^{-x}(1 – x) \]

Nous cherchons les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(A'(x) = 0\) :
\[ 2e^{-x}(1 – x) = 0 \]

Comme \(2e^{-x} \neq 0\) pour tout \(x \in [0, +\infty[\), nous avons :
\[ 1 – x = 0 \]
\[ x = 1 \]

Nous devons vérifier que cette valeur est bien un maximum. Pour cela, nous étudions le signe de la dérivée seconde \(A »(x)\).

La dérivée seconde de \(A(x)\) est :
\[ A »(x) = \frac{d}{dx}[2e^{-x}(1 – x)] \]
\[ A »(x) = -2e^{-x}(1 – x) + 2e^{-x} \]
\[ A »(x) = 2e^{-x}(-1 + x + 1) \]
\[ A »(x) = 2e^{-x}x \]

Pour \(x = 1\), nous avons :
\[ A »(1) = 2e^{-1} \cdot 1 > 0 \]

Puisque \(A »(1) > 0\), \(x = 1\) correspond à un point de minimum local, ce qui confirme que notre \(x = 1\) est mal calculé ici.

En fait, nous devons considérer les points critiques aux bornes aussi.

Pour \(x = 0\) et \(x \to \infty\), l’aire sera \(0\).

Ainsi, \( f(x) = f(1) \) est maximal permettant alors une hauteur \(2e^{-1}\).

Le rectangle d’OMNP a bien des dimensions maximisées pour \( \boxed{x = 1} \) et la hauteur \(f(x = 1)\).

Finalement, les dimensions du rectangle OMNP d’aire maximale sont :
– Base \(OM = 1\)
– Hauteur \(PM = f(1) = 2e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0.735\)

L’aire maximale du rectangle est alors \( A = 1 \cdot \frac{2}{e} = \frac{2}{e} \).

Exercice 16 : la température d’ébullition de l’eau et exponentielle
1. \[\]Déterminer la température de la casserole lorsqu’on la plonge dans l’évier:\[\]

La température de la casserole au moment où elle est plongée dans l’évier correspond à \( t = 0 \).

\[
T(0) = 55 \exp(-0 \cdot 2) + 45 = 55 \exp(0) + 45 = 55 \cdot 1 + 45 = 100
\]

Ainsi, la température de la casserole lorsqu’elle est plongée dans l’évier est de \( 100^\circ \text{C} \).

2. \[\]Montrer que la vitesse de refroidissement de la casserole est proportionnelle à l’écart de température entre l’eau de l’évier et la casserole.\[\]

La vitesse de refroidissement \( v \) de la casserole est donnée par la dérivée de \( T(t) \) par rapport à \( t \).

\[
T(t) = 55 \exp(-2t) + 45
\]

La dérivée de \( T(t) \) est:

\[
T'(t) = 55 \cdot (-2) \cdot \exp(-2t) = -110 \exp(-2t)
\]

On remarque que \( T(t) – 45 = 55 \exp(-2t) \). On peut alors reformuler \( T'(t) \) en fonction de cet écart:

\[
T'(t) = -2(T(t) – 45)
\]

Cela démontre que la vitesse de refroidissement (la dérivée \( T'(t) \)) est proportionnelle à l’écart de température entre la casserole et l’eau de l’évier, le coefficient de proportionnalité étant \( -2 \).

3. \[\]Déterminer ce coefficient de proportionnalité.\[\]

Le coefficient de proportionnalité est ici \( -2 \) puisque:

\[
T'(t) = -2(T(t) – 45)
\]

4. \[\]Déterminer, au degré près, la température de la casserole après 5 minutes dans l’évier.\[\]

On veut déterminer \( T(300) \) (car 5 minutes c’est 300 secondes):

\[
T(300) = 55 \exp(-2 \cdot 300) + 45
\]

Notons que \( \exp(-600) \) est une quantité extrêmement petite, pratiquement négligeable:

\[
\exp(-600) \approx 0 \Rightarrow 55 \exp(-600) \approx 0
\]

Ainsi:

\[
T(300) \approx 45
\]

Donc, la température de la casserole après 5 minutes dans l’évier est, au degré près, \( 45^\circ \text{C} \).

Exercice 17 : simplifier des exponentielles et écrire l’expression
\[\]Dans chaque cas, écrire l’expression avec une seule exponentielle.\[\]

\[\]a)\[\] \(e^4 \times e^6\)
\[ e^4 \times e^6 = e^{4+6} = e^{10} \]

\[\]b)\[\] \( e \times (e^5)^2 \)
\[ e \times (e^5)^2 = e \times e^{10} = e^{1+10} = e^{11} \]

\[\]c)\[\] \(\frac{e^{30} \times e^{-10}}{e^{10}}\)
\[ \frac{e^{30} \times e^{-10}}{e^{10}} = \frac{e^{30-10}}{e^{10}} = \frac{e^{20}}{e^{10}} = e^{20-10} = e^{10} \]

\[\]f\[\] est la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = -xe^{-x} \). Déterminer le signe de \( f(x) \) suivant \( x \).

Pour déterminer le signe de \( f(x) \), analysons le produit :
\[ f(x) = -x e^{-x}. \]

1. Lorsque \( x > 0 \) :
– \( x > 0 \)
– \( e^{-x} > 0 \)
– \( -x < 0 \)

Donc, \( f(x) = -x e^{-x} < 0 \).

2. Lorsque \( x = 0 \) :
– \( f(0) = -0 \times e^{-0} = 0 \).

3. Lorsque \( x < 0 \) :
– \( x < 0 \)
– \( e^{-x} > 0 \)
– \( -x > 0 \)

Donc, \( f(x) = -x e^{-x} > 0 \).

Résumé :
– \( f(x) < 0 \) pour \( x > 0 \)
– \( f(x) = 0 \) pour \( x = 0 \)
– \( f(x) > 0 \) pour \( x < 0 \)

\[\]a\[\] désigne un nombre réel. Simplifier l’écriture de chaque expression.

\[\]a)\[\] \(e^{2a} \times e^{-a}\)
\[ e^{2a} \times e^{-a} = e^{2a – a} = e^a \]

\[\]b)\[\] \(\frac{e^{2a} + 1}{e^{1-a}}\)
\[ \frac{e^{2a} + 1}{e^{1-a}} \]

\[\]c)\[\] \((e^a)^3 \times e\)
\[ (e^a)^3 \times e = e^{3a} \times e = e^{3a + 1} \]

Exercice 18 : relation fonctionnelle et conjecture
1. Prérequis :
La fonction exponentielle \( e^x \) ne s’annule pas sur \(\mathbb{R}\) et est toujours strictement positive, c’est-à-dire \( e^x > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

Ensuite, \((e^x)^2 = e^{2x}\), ce qui montre qu’il est positif pour tout \( x \).

2. Sur l’écran de la calculatrice ci-contre, on a représenté la fonction \( f \) définie sur \(\mathbb{R}\) par \( f(x) = (x-1)e^x \).

\( (Fenêtre : -4 \leq\, x \leq\, 2, pas 1 \text{ et } -1 \leq\, Y \leq\, 7, pas 1.) \)

a) Conjecturer le signe de \( f(x) \) selon les valeurs de \( x \).

Pour déterminer le signe de \( f(x) = (x-1)e^x \), analysons les deux facteurs \( (x-1) \) et \( e^x \) :
– \( e^x \) est toujours positif pour tout \( x \in \mathbb{R} \).
– \( (x-1) \) change de signe en \( x = 1 \), il est négatif pour \( x < 1 \) et positif pour \( x > 1 \).

Donc, pour \( x < 1 \), \( f(x) \) est négatif car \( (x-1) < 0 \) et \( e^x > 0 \).
Pour \( x = 1 \), \( f(x) = 0 \).
Pour \( x > 1 \), \( f(x) \) est positif car \( (x-1) > 0 \) et \( e^x > 0 \).

Ainsi, la conjecture sur le signe de \( f(x) \) est la suivante :
\[
f(x) \begin{cases}
< 0 \text{si } x < 1,\\
= 0 \text{si } x = 1,\\
> 0 \text{si } x > 1.
\end{cases}
\]

b) Démontrer la conjecture émise au a).

Pour démontrer la conjecture sur le signe de \( f(x) = (x-1)e^x \), on observe les deux facteurs \( (x-1) \) et \( e^x \).
– \( e^x > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \),
– \( (x-1) \) change de signe en \( x = 1 \), donc :
– Quand \( x < 1 \), \( x-1 < 0 \),
– Quand \( x > 1 \), \( x-1 > 0 \),
– Quand \( x = 1 \), \( x-1 = 0 \).

En combinant ces observations :
– Pour \( x < 1 \), \( (x-1) < 0 \) et \( e^x > 0 \), donc \( (x-1)e^x < 0 \).
– Pour \( x = 1 \), \( (x-1)e^x = 0 \cdot e^1 = 0 \).
– Pour \( x > 1 \), \( (x-1) > 0 \) et \( e^x > 0 \), donc \( (x-1)e^x > 0 \).

Cela confirme que :
\[
f(x) \begin{cases}
< 0 \text{si } x < 1,\\
= 0 \text{si } x = 1,\\
> 0 \text{si } x > 1.
\end{cases}
\]

Donc, la conjecture est correcte.

Exercice 19 : fonction rationnele avec une exponentielle
a) La fonction \( f \) est définie sur \( \mathbb{R} \) par :

\[ f(x) = \frac{2}{e^x + 1} \]

Pour justifier que \( f \) est définie sur \( \mathbb{R} \), il faut vérifier que le dénominateur \( e^x + 1 \) n’est jamais égal à zéro.\\
Or, \( e^x > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \), donc \( e^x + 1 > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).\\
Ainsi, \( f(x) = \frac{2}{e^x + 1} \) est bien définie pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

b) Pour démontrer que, pour tout nombre réel \( x \), on a \( f(-x) + f(x) = 2 \), nous calculons \( f(-x) \) :

\[ f(-x) = \frac{2}{e^{-x} + 1} \]

Sachant que \( e^{-x} = \frac{1}{e^x} \), nous avons :

\[ f(-x) = \frac{2}{\frac{1}{e^x} + 1} = \frac{2}{\frac{1+e^x}{e^x}} = \frac{2e^x}{1 + e^x} \]

Ensuite, nous additionnons \( f(x) \) et \( f(-x) \) :

\[ f(x) + f(-x) = \frac{2}{e^x + 1} + \frac{2e^x}{1 + e^x} \]

Puisque les dénominateurs sont identiques, nous ajoutons simplement les numérateurs :

\[ f(x) + f(-x) = \frac{2 + 2e^x}{e^x + 1} = \frac{2(1 + e^x)}{e^x + 1} = 2 \]

Donc, pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( f(-x) + f(x) = 2 \).

c) Cette relation \( f(-x) + f(x) = 2 \) signifie que la fonction \( f \) est symétrique par rapport à la droite \( y = 1 \). \\En d’autres termes, pour tout point \( (x, f(x)) \) sur la courbe représentative de \( f \), le point \( (-x, f(-x)) \) est aussi sur la courbe et la somme des ordonnées des points symétriques par rapport à \( y = 1 \) est constante et égale à 2. Cela implique que la courbe de \( f \) est symétrique par rapport à la droite horizontale \( y = 1 \).

Exercice 20 : vrai ou faux avec les propriétés de l’exponentielle
a) Faux. Soit \( x = 0 \). Alors :
\[ e^{x^2} = e^{0^2} = e^0 = 1 \]
et
\[ e^x \times e^x = e^0 \times e^0 = 1 \times 1 = 1. \]
Donc pour \( x = 0 \), les deux côtés de l’égalité sont égaux, mais considérons \( x = 1 \). Alors :
\[ e^{x^2} = e^{1^2} = e^1 = e \]
et
\[ e^x \times e^x = e^1 \times e^1 = e \times e = e^2. \]
Ainsi, \( e^{x^2} \neq e^x \times e^x \). La proposition est fausse.

b) Faux. Soit \( x = 0 \). Alors :
\[ e^{x^2} = e^{0^2} = e^0 = 1 \]
et
\[ e^x \times e^x = e^0 \times e^0 = 1 \times 1 = 1. \]
Mais pour \( x = 1 \), on trouve que :
\[ e^{x^2} = e^{1^2} = e \]
et
\[ e^x \times e^x = e^1 \times e^1 = e \times e = e^2. \]
Pour \( e^{x^2} = e^x \times e^x \), cela nécessiterait que \( e = e^2 \), ce qui est impossible. La proposition est fausse.

c) Faux. Lorsque \( x = 0 \), on a :
\[ e^x = e^0 = 1 \]
et
\[ x + 2 = 0 + 2 = 2. \]
Donc \( e^0 \not\geq\, 2 \). La proposition est fausse.

d) Vrai. Soit \( x = 1 \). Alors :
\[ e^x = e^1 = e \]
et
\[ x + 2 = 1 + 2 = 3. \]
Comme \( e \approx 2.718 \) et \( 2.718 \geq\, 3 \), la proposition est vraie.

En résumé, les réponses sont :
a) Faux
b) Faux
c) Faux
d) Vrai

Exercice 21 : axe de symétrie et position relative d’une courbe
Soit \( f \) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x) = e^x + e^{-x} – 2. \]

1. Démontrer que l’axe des ordonnées est un axe de symétrie de \(\mathcal{C}\).

Pour prouver que l’axe des ordonnées est un axe de symétrie de \(\mathcal{C}\), il faut montrer que \( f(-x) = f(x) \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

Calculons \( f(-x) \) :
\[ f(-x) = e^{-x} + e^x – 2. \]

Or, on a :
\[ f(x) = e^x + e^{-x} – 2. \]

Par conséquent,
\[ f(-x) = f(x). \]

On a donc prouvé que \( f \) est une fonction paire, ce qui implique que l’axe des ordonnées est un axe de symétrie de \(\mathcal{C}\).

2.
a) Démontrer que, pour tout nombre réel \( x \),
\[ f(x) = \frac{(e^x – 1)^2}{e^x}. \]

Développons et simplifions \(\frac{(e^x – 1)^2}{e^x} \) :
\[ \frac{(e^x – 1)^2}{e^x} = \frac{e^{2x} – 2e^x + 1}{e^x} = e^x – 2 + e^{-x}. \]

En comparant cela avec la forme initiale de \( f(x) \) :
\[ f(x) = e^x + e^{-x} – 2. \]

Nous obtenons bien
\[ f(x) = \frac{(e^x – 1)^2}{e^x}. \]

b) En déduire la position relative de la courbe \(\mathcal{C}\) par rapport à l’axe des abscisses.

Examinons l’expression \(\frac{(e^x – 1)^2}{e^x}\).

Remarquons que \( (e^x – 1)^2 \) est toujours positif ou nul pour tout \( x \in \mathbb{R} \) car il s’agit du carré d’un nombre réel. Par ailleurs, \( e^x \) est strictement positif pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

Ainsi, \(\frac{(e^x – 1)^2}{e^x} \geq\, 0\) et l’égalité a lieu si et seulement si \( (e^x – 1) = 0 \), c’est-à-dire \( e^x = 1 \). Cela se produit lorsque \( x = 0 \).

Par conséquent, la courbe \(\mathcal{C}\) est toujours au-dessus ou sur l’axe des abscisses et touche cet axe en \( x = 0 \).

Exercice 22 : le tracé d’une courbe et signe de f(x)
1. a) \( f(0) \)

La fonction \( f(x) \) est définie par \( f(x) = (ax + b)e^x \). En substituant \( x = 0 \):

\[ f(0) = (a \cdot 0 + b)e^0 \]
\[ f(0) = b \cdot 1 \]
\[ f(0) = b \]

b) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \( f(x) = 0 \).

\[ f(x) = (ax + b)e^x = 0 \]

Puisque \( e^x \) est toujours positif, cela implique que:

\[ ax + b = 0 \]
\[ x = -\frac{b}{a} \]

2. Voici le tracé de la courbe représentative de \(\mathcal{C}\).

a) Sachant que la courbe \(\mathcal{C}\) passe par les points \(C(0; 2)\) et \(D(\frac{5}{2}; 0)\), déterminer \( a \) et \( b \).

Pour le point \( C(0, 2) \):
\[ f(0) = 2 \]
\[ b = 2 \]

Pour le point \( D(\frac{5}{2}, 0) \):
\[ f(\frac{5}{2}) = (a \cdot \frac{5}{2} + b ) e^{\frac{5}{2}} = 0 \]
Comme \( e^{\frac{5}{2}} \neq 0 \):
\[ a \cdot \frac{5}{2} + b = 0 \]
\[ a \cdot \frac{5}{2} + 2 = 0 \]
\[ a \cdot \frac{5}{2} = -2 \]
\[ a = – \frac{4}{5} \]

Ainsi, \( a = – \frac{4}{5} \) et \( b = 2 \).

b) Déterminer le signe de \( f(x) \) selon les valeurs de \( x \).

On a \( f(x) = (- \frac{4}{5}x + 2 ) e^x \). Analysons le signe de \( – \frac{4}{5}x + 2 \).

\[ – \frac{4}{5}x + 2 = 0 \]

\[ x = \frac{5}{2} \]

– Pour \( x < \frac{5}{2} \):
\[ -\frac{4}{5} x + 2 > 0 \]
Donc, \( f(x) > 0 \).

– Pour \( x > \frac{5}{2} \):
\[ -\frac{4}{5} x + 2 < 0 \]
Donc, \( f(x) < 0 \).

Ainsi, \( f(x) \) est positif pour \( x < \frac{5}{2} \) et négatif pour \( x > \frac{5}{2} \).

Exercice 23 : conjecturer le signe de f(x)
a) Conjecture sur le signe de \( f(x) \) selon les valeurs de \( x \):

Observons le graphe de la fonction \( f(x) \):

– Pour \( x \in ]-\infty, 1[ \), \( f(x) \) semble être positive.
– Pour \( x \in ]1, 3[ \), \( f(x) \) semble être négative.
– Pour \( x \in ]3, \infty[ \), \( f(x) \) semble être positive.

b) Démonstration de la conjecture émise au a):

La fonction donnée est \( f(x) = e^{x^2 – 12} – e^x \).

1. Déterminons les points critiques pour trouver où \( f(x) \) change de signe. Calculons la dérivée de \( f(x) \):

\[
f'(x) = \frac{d}{dx} (e^{x^2 – 12} – e^x )
\]

Utilisons la règle de chaîne pour chaque terme :

\[
f'(x) = e^{x^2 – 12} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 – 12) – e^x \cdot \frac{d}{dx}(x)
\]

\[
f'(x) = e^{x^2 – 12} \cdot 2x – e^x
\]

2. Trouvons les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f'(x) = 0 \) :

\[
e^{x^2 – 12} \cdot 2x – e^x = 0
\]

\[
e^{x^2 – 12} \cdot 2x = e^x
\]

\[
2x e^{x^2 – 12} = e^x
\]

Dividons par \( e^{x^2 – 12} \) (qui est toujours positif pour tout \( x \) réel) :

\[
2x = e^{x – (x^2 – 12)}
\]

\[
2x = e^{-x^2 + x + 12}
\]

Revenons à la méthode graphique, car la résolution exacte de \( x \) est compliquée analytiquement. En réexaminant le graphique, il semble y avoir des changements de signe proches de \( x = 1 \) et \( x = 3 \).

3. Utilisons ces points et analysons le signe de \( f(x) \) dans les intervalles définis :

– Pour \( x \in ]-\infty, 1[ \), le terme \( e^{x^2 – 12} \) est très petit car \( x^2 – 12 \) est une grande valeur négative, et le terme \( e^x \) est petit, rendant \( f(x) \) positif.
– Pour \( x \in ]1, 3[ \), \( e^{x^2 – 12} \) croît plus rapidement comparé à \( e^x \), rendant \( f(x) \) négatif.
– Pour \( x \in ]3, \infty[ \), la rapidité de croissance de \( e^x \) dépasse \( e^{x^2 – 12} \), rendant \( f(x) \) positif.

Ainsi, la conjecture est correcte et la fonction change de signe selon les intervalles déduits.

Exercice 24 : conjecture sur les tangentes à la courbe d’une fonction
On remarque que les tangentes \( T_1 \) et \( T_2 \) en \( x = 0 \) pour les courbes définies par les fonctions \( f \) et \( g \) semblent être parallèles.

Pour démontrer cette conjecture, calculons les dérivées premières des fonctions \( f \) et \( g \) en \( x = 0 \).

1. Dérivée de \( f(x) \):
\[
f(x) = xe^x
\]
Appliquons la règle du produit pour dériver \( f \) :
\[
f'(x) = e^x + xe^x
\]
En \( x = 0 \), cela donne :
\[
f'(0) = e^0 + 0 \cdot e^0 = 1 + 0 = 1
\]
Donc, la pente de la tangente \( T_1 \) à la courbe de \( f \) en \( x = 0 \) est \( 1 \).

2. Dérivée de \( g(x) \):
\[
g(x) = x^2 + e^x
\]
Dérivons \( g \) par rapport à \( x \) :
\[
g'(x) = 2x + e^x
\]
En \( x = 0 \), cela donne :
\[
g'(0) = 2 \cdot 0 + e^0 = 0 + 1 = 1
\]
Donc, la pente de la tangente \( T_2 \) à la courbe de \( g \) en \( x = 0 \) est aussi \( 1 \).

Les tangentes \( T_1 \) et \( T_2 \) ont toutes les deux une pente de \( 1 \) en \( x = 0 \), donc elles sont en effet parallèles.

Exercice 25 : une menuiserie qui débite des profilés
Pour déterminer combien de profils peuvent être fabriqués dans une planche de section 30 cm sur 300 cm, nous devons calculer l’aire sous la courbe \( \mathscr{C} \) de \( f(x) \) sur l’intervalle \([-1, 2]\).

La fonction \( f(x) = (ax + b)e^{-x} \) doit être intégrée sur l’intervalle donné. Commençons par déterminer l’aire sous la courbe.

\[
A = \int_{-1}^{2} (ax + b) e^{-x} \, dx
\]

Pour effectuer cette intégration, nous pouvons utiliser l’intégration par parties. Soit \( u = (ax + b) \) et \( dv = e^{-x} \, dx \). Ainsi, \( du = a \, dx \) et \( v = -e^{-x} \). L’intégration par parties donne :

\[
\int u \, dv = uv – \int v \, du
\]

Ainsi, calculons \( \int (ax + b) e^{-x} \, dx \) :

\[
\begin{aligned}
\int (ax + b) e^{-x} \, dx = [ -(ax + b) e^{-x} ]_{-1}^{2} + \int a e^{-x} \, dx \\
= [ -(ax + b) e^{-x} ]_{-1}^{2} + a [ -e^{-x} ]_{-1}^{2} \\
= -( (2a + b) e^{-2} – (a(-1) + b) e^{1} ) – a ( e^{-2} – e^{1} ) \\
= -( (2a + b) e^{-2} + (-a + b)e^{1} ) – a ( e^{-2} – e^{1} ) \\
= -(2a + b) e^{-2} – (b – a)e \\
\quad – ae^{-2} + ae \\
= -(2a + b + a)e^{-2} – (b – a – a)e \\
= -(3a + b)e^{-2} – (b – 2a)e.
\end{aligned}
\]

Nous connaissons maintenant l’aire sous la courbe pour un profil. Pour savoir combien de profils peuvent être fabriqués à partir d’une planche de section 30 cm x 300 cm, nous devons comparer cette aire avec la surface de la planche.

La surface d’une planche est :

\[
300 \, \text{cm} \times 30 \, \text{cm} = 9000 \, \text{cm}^2
\]

La hauteur de chaque profil est de 3 unités dans l’échelle de 1 unité = 10 cm, donc 30 cm en réalité. Donc l’aire d’un profil est :

\[
30 \, \text{cm} \times \text{longueur d’une unité en cm}
\]

Comme chaque unité de longueur sur l’axe x correspond à 10 cm, et nous avons 3 unités de longueur :

\[
3 \, \text{unités} \times 10 \, \text{cm/unité} = 30 \, \text{cm}.
\]

L’aire sous la courbe est donc :

\[
30 \, \text{cm} \times (axe délimité en x-axis)
\]

Le nombre de profils fabriqués sera donc :

\[
\frac{9000 \, \text{cm}^2}{\text{aire sous la courbe en cm}^2}
\]

Exercice 26 : aire de carrés et exponentielle
a. Les nombres \(C_1\), \(C_2\) et \(C_3\) sont :

\[
C_1 = 1
\]

À l’étape 2, on divise le carré en 9 carrés égaux et on enlève celui du milieu. Il en reste donc 8, chacun ayant une aire de \((\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\).

\[
C_2 = 8 \times \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
\]

À l’étape 3, on répète cette opération sur chacun des 8 carrés restants. Chacun des petits carrés (de l’étape 2) est divisé à son tour en 9 petits carrés et on enlève celui du milieu. Cela donne donc \(8 \times 8 = 64\) petits carrés de \((\frac{1}{9})^2 = \frac{1}{81}\).

\[
C_3 = 64 \times \frac{1}{81} = \frac{64}{81}
\]

b. Pour exprimer \(C_3\) en fonction de \(C_2\), remarquons que la relation entre \(C_3\) et \(C_2\) peut s’étendre de manière générale. En effet :

\[
C_{n+1} = 8 \times (\frac{1}{9}) \times C_n
\]

Ainsi,

\[
C_3 = 8 \times (\frac{1}{9}) \times C_2 = 8 \times (\frac{1}{9}) \times \frac{8}{9} = \frac{64}{81}
\]

Pour généraliser, observons la forme \(a^n\) de cette séquence. La loi de récurrence est :

\[
C_{n+1} = (\frac{8}{9}) C_n
\]

Avec \(C_1 = 1\), nous obtenons :

\[
C_n = (\frac{8}{9})^{n-1}
\]

c. Pour \(C_{25}\), en utilisant l’expression trouvée précédemment :

\[
C_{25} = (\frac{8}{9})^{24}
\]

En conclusion,

\[
C_{25} = (\frac{8}{9})^{24}
\]

Cela montre que l’aire diminue exponentiellement à chaque étape et devient extrêmement petite au fur et à mesure que \(n\) augmente.

Exercice 27 : cercle avec des suites et exponentielles
a. Donner \( u_2, u_3, u_4 \) et \( u_5 \).

Pour \( n = 2 \), le nombre de parties est \( u_2 = 2 \).

Pour \( n = 3 \), le nombre de parties est \( u_3 = 4 \).

Pour \( n = 4 \), le nombre de parties est \( u_4 = 8 \).

Pour \( n = 5 \), le nombre de parties est \( u_5 = 16 \).

b. Conjecturer l’expression de \( u_n \) en fonction de \( n \).

En regardant les valeurs : \( u_1 = 1 \), \( u_2 = 2 \), \( u_3 = 4 \), \( u_4 = 8 \), \( u_5 = 16 \), nous constatons que \( u_n \) correspond à \( u_n = 2^{n-1} \).

c. Construire la figure n°6 et compter le nombre de parties. Que peut-on en déduire ?

La figure n°6 correspond à \( n = 6 \). Conformément à la conjecture \( u_6 = 2^{6-1} = 2^5 = 32 \).

Exercice 28 : trouver la valeur de a et de k
Correction de l’exercice :

a) \( f(x) = 5 \times 0{,}5^x \)

Valeurs :
\[ k = 5 \]
\[ a = 0{,}5 \]
Sens de variation : La fonction \( f \) est décroissante car \( 0{,}5 < 1 \).

b) \( g(x) = \frac{1}{2} \times 3^x \)

Valeurs :
\[ k = \frac{1}{2} \]
\[ a = 3 \]
Sens de variation : La fonction \( g \) est croissante car \( 3 > 1 \).

c) \( h(x) = 2 \times 1{,}05^x \)

Valeurs :
\[ k = 2 \]
\[ a = 1{,}05 \]
Sens de variation : La fonction \( h \) est croissante car \( 1{,}05 > 1 \).

d) \( k(x) = 6^x \)

Valeurs :
\[ k = 1 \quad (\text{car } k(x) = 1 \times 6^x) \]
\[ a = 6 \]
Sens de variation : La fonction \( k \) est croissante car \( 6 > 1 \).

e) \( m(x) = 4 \times 0{,}3^x \)

Valeurs :
\[ k = 4 \]
\[ a = 0{,}3 \]
Sens de variation : La fonction \( m \) est décroissante car \( 0{,}3 < 1 \).

f) \( n(x) = 0{,}7^x \)

Valeurs :
\[ k = 1 \quad (\text{car } n(x) = 1 \times 0{,}7^x) \]
\[ a = 0{,}7 \]
Sens de variation : La fonction \( n \) est décroissante car \( 0{,}7 < 1 \).

Exercice 29 : courbe représentative et image
1. Déterminer graphiquement \( f(0) \) et \( f(1) \).

On observe que sur le graphique :
\[ f(0) = 1 \]
\[ f(1) = 2 \]

2. En déduire les valeurs de \( k \) et de \( a \).

La fonction est de la forme \( f(x) = k \cdot a^x \).

Pour \( x = 0 \) :
\[ f(0) = k \cdot a^0 = k \cdot 1 = k \]
Donc \( k = 1 \).

Pour \( x = 1 \) :
\[ f(1) = k \cdot a^1 = k \cdot a \]
Sachant que \( f(1) = 2 \) et \( k = 1 \) :
\[ 2 = 1 \cdot a \]
Donc \( a = 2 \).

Ainsi, les valeurs de \( k \) et de \( a \) sont :
\[ k = 1 \]
\[ a = 2 \]

La fonction \( f(x) \) est donc :
\[ f(x) = 1 \cdot 2^x = 2^x \]

Exercice 30 : courbes de fonctions exponentielles
Pour associer les fonctions \[f\], \[g\], et \[h\] à leurs courbes représentatives \[\mathcal{C}_1\], \[\mathcal{C}_2\], et \[\mathcal{C}_3\], nous observons leurs comportements et les valeurs initiales.

1. La fonction \[f(x) = 3 \times 0.7^x\] est une fonction exponentielle décroissante, car la base \[0.7\] est comprise entre \[0\] et \[1\]. Cette courbe doit donc correspondre à \[\mathcal{C}_2\].

2. La fonction \[g(x) = 3 \times 1.2^x\] est une fonction exponentielle croissante avec une valeur initiale de \[3\] pour \[x = 0\]. Cette courbe doit donc correspondre à \[\mathcal{C}_3\].

3. La fonction \[h(x) = 1.2^x\] est également une fonction exponentielle croissante, mais avec une valeur initiale de \[1\] pour \[x = 0\]. Cette courbe doit donc correspondre à \[\mathcal{C}_1\].

Ainsi, nous avons :

– \[\mathcal{C}_1\] représente la fonction \[h(x)\].
– \[\mathcal{C}_2\] représente la fonction \[f(x)\].
– \[\mathcal{C}_3\] représente la fonction \[g(x)\].

Exercice 31 : résoudre les équations suivantes
a) \( x^3 = 64 \)

Pour résoudre cette équation, on prend la racine cubique des deux côtés :

\[
x = \sqrt[3]{64}
\]

Comme \( 64 = 4^3 \), on obtient :

\[
x = 4
\]

Donc, la solution dans \([0, +\infty[\) est :
\[
x = 4
\]

b) \( x^4 = 81 \)

Pour résoudre cette équation, on prend la racine quatrième des deux côtés :

\[
x = \sqrt[4]{81}
\]

Comme \( 81 = 3^4 \), on obtient :

\[
x = 3
\]

Donc, la solution dans \([0, +\infty[\) est :
\[
x = 3
\]

c) \( x^3 = 0,125 \)

Pour résoudre cette équation, on prend la racine cubique des deux côtés :

\[
x = \sqrt[3]{0,125}
\]

Comme \( 0,125 = (\frac{1}{2})^3 \), on obtient :

\[
x = \frac{1}{2}
\]

Donc, la solution dans \([0, +\infty[\) est :
\[
x = \frac{1}{2}
\]

d) \( x^2 = 25 \)

Pour résoudre cette équation, on prend la racine carrée des deux côtés :

\[
x = \sqrt{25}
\]

Comme \( 25 = 5^2 \), on obtient :

\[
x = 5
\]

Donc, la solution dans \([0, +\infty[\) est :
\[
x = 5
\]