Limites de suites : corrigé des exercices de maths en terminale.

Exercice 1 : démontrer que la suite converge vers 0
$Correction\,de\,l'exercice$

1. est la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n\,=\,2n\,-\,3$ .

a) À partir de quel rang a-t-on $u_n\,>\,10^3$ , on a $u_n\,>\,10^3$ a pour limite $%2B\infty$ .
$u_n\,=\,2n\,-\,3\,\\%0D%0APour\,montrer\,que\,\,\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,u_n\,=\,%2B\infty%2C\,\,soit\,\,M\,\in\,\mathbb{R}.\,\\%0D%0ACherchons\,\,n_0\,\,tel\,que\,pour\,tout\,\,n\,\geq\,\,n_0%2C\,u_n\,>\,M.\,\\%0D%0Au_n\,=\,2n\,-\,3\,>\,M\,\\%0D%0A2n\,>\,M\,%2B\,3\,\\%0D%0An\,>\,\frac{M\,%2B\,3}{2}$ , on a $u_n\,>\,M$ .

2. est la suite définie, pour tout nombre entier naturel $n\,\geq\,\,1$ , par $v_n\,=\,\frac{1}{\sqrt{n}}$ .

a) À partir de quel rang a-t-on $-0%2C01\,%3C\,v_n\,%3C\,0%2C01$ ?
$-0%2C01\,%3C\,v_n\,%3C\,0%2C01\,\\%0D%0AComme\,\,v_n\,\,est\,toujours\,positive%2C\,on\,peut\,simplifier\,en\,\,0\,%3C\,v_n\,%3C\,0%2C01.\,\\%0D%0A\frac{1}{\sqrt{n}}\,%3C\,0%2C01\,\\%0D%0A\sqrt{n}\,>\,100\,\\%0D%0An\,>\,100^2\,\\%0D%0An\,>\,10000$ , on a $0\,%3C\,v_n\,%3C\,0%2C01$ .

b) Démontrer que la suite converge vers 0.
$v_n\,=\,\frac{1}{\sqrt{n}}\,\\%0D%0APour\,montrer\,que\,\,\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,v_n\,=\,0%2C\,\,soit\,\,\epsilon\,>\,0.\,\\%0D%0ACherchons\,\,n_0\,\,tel\,que\,pour\,tout\,\,n\,\geq\,\,n_0%2C\,%7Cv_n\,-\,0%7C\,%3C\,\epsilon.\,\\%0D%0A\frac{1}{\sqrt{n}}\,%3C\,\epsilon\,\\%0D%0A\sqrt{n}\,>\,\frac{1}{\epsilon}\,\\%0D%0An\,>\,(\,\frac{1}{\epsilon}\,)^2$ , on a $%7Cv_n\,-\,0%7C\,%3C\,\epsilon$ .
Donc, $\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,v_n\,=\,0$ .

Exercice 2 : démontrer que la suite u a pour limite l’infini
La suite est définie pour tout $n\,\in\,\mathbb{N}$ par $u_n\,=\,2n^2$ .

Démontrons que la suite diverge vers $%2B\infty$ .

Pour cela, montrons que pour tout $M\,>\,0$ tel que, pour tout $n\,\geq\,\,N$ , on a $u_n\,>\,M$ un réel strictement positif. Nous devons trouver un tel que pour tout $n\,\geq\,\,N$ , $2n^2\,>\,M$ tel que $N\,>\,\sqrt{\frac{M}{2}}$ , où $\lceil\,x\,\rceil$ désigne la partie entière supérieure de .

Ainsi, pour tout $n\,\geq\,\,N$ , on a :

$n\,\geq\,\,\lceil\,\sqrt{\frac{M}{2}}\,\rceil\,\implies\,n\,\geq\,\,\sqrt{\frac{M}{2}}$

$n^2\,\geq\,\,\frac{M}{2}$

$2n^2\,\geq\,\,M$

Donc, pour tout $n\,\geq\,\,N$ , on a $u_n\,\geq\,\,M$ . Cela signifie que pour tout $M\,>\,0$ tel que $u_n\,>\,M$ .

En conclusion, la suite $u_n\,=\,2n^2$ diverge vers $%2B\infty$ .

Exercice 3 : démontrer que la suite est convergente
Soit la suite définie pour tout nombre entier naturel $n\,\geq\,\,1$ par :
$v_n\,=\,2\,%2B\,\frac{1}{n}$

Montrons que est convergente.

1. Montrons que est décroissante à partir d’un certain rang.

Pour $n\,\geq\,\,1$ , considérons la différence entre deux termes consécutifs de la suite :
$v_{n%2B1}\,=\,2\,%2B\,\frac{1}{n%2B1}$
$v_n\,-\,v_{n%2B1}\,=\,(\,2\,%2B\,\frac{1}{n}\,)\,-\,(\,2\,%2B\,\frac{1}{n%2B1}\,)$
$v_n\,-\,v_{n%2B1}\,=\,\frac{1}{n}\,-\,\frac{1}{n%2B1}$

Calculons cette différence :

$\frac{1}{n}\,-\,\frac{1}{n%2B1}\,=\,\frac{n%2B1-n}{n(n%2B1)}\,=\,\frac{1}{n(n%2B1)}$

On observe que $\frac{1}{n(n%2B1)}\,>\,0$ . Donc $v_n\,-\,v_{n%2B1}\,>\,0$ est décroissante.

2. Montrons que est minorée.

La suite $v_n\,=\,2\,%2B\,\frac{1}{n}$ est toujours strictement supérieure à 2 car $\frac{1}{n}\,>\,0$ . Ainsi :
$v_n\,>\,2$ .

La suite est décroissante et minorée par 2. Par le théorème de la convergence des suites monotones, une suite décroissante et minorée est convergente.

Nous pouvons trouver la limite de en observant le comportement de $\frac{1}{n}$ lorsque tend vers l’infini :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{1}{n}\,=\,0$

Donc,
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,(\,2\,%2B\,\frac{1}{n}\,)\,=\,2$

Ainsi, la suite est convergente et sa limite est :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,2$

En conclusion, la suite $v_n\,=\,2\,%2B\,\frac{1}{n}$ est convergente et converge vers 2.

Exercice 4 : sémontrer que la suite a pour limite l’infini
La suite est définie par:

$w_n\,=\,n^2\,-\,2n\,-\,3.$

1. Conjecturer la limite de la suite à l’aide de la calculatrice :

Avec une calculatrice, on observe les valeurs de pour des valeurs croissantes de . On constate que augmente de manière significative à mesure que augmente. La limite conjecturée de est donc $%2B\infty$ .

2. a) Vérifier que, pour tout nombre entier naturel ,

$w_n\,=\,(n\,-\,1)^2\,-\,4.$

Preuve :
Développons l’expression $(n\,-\,1)^2\,-\,4$ :

$(n\,-\,1)^2\,-\,4\,=\,(n^2\,-\,2n\,%2B\,1)\,-\,4\,=\,n^2\,-\,2n\,-\,3.$

Donc,

$w_n\,=\,n^2\,-\,2n\,-\,3\,=\,(n\,-\,1)^2\,-\,4%2C$

ce qui prouve l’égalité.

b) Démontrer que la suite a pour limite $%2B\infty$ :

Pour démontrer que $w_n\,\to\,%2B\infty$ lorsque $n\,\to\,%2B\infty$ , considérons l’expression initiale de :

$w_n\,=\,n^2\,-\,2n\,-\,3.$

Lorsqu’on observe le terme dominant , on voit que va croître beaucoup plus rapidement que les termes linéaires ou constants et à mesure que devient très grand.

Pour être plus rigoureux, montrons que pour tout $M\,>\,0$ tel que pour tout $n\,\geq\,\,N$ , $w_n\,>\,M$ tel que $N^2\,-\,2N\,-\,3\,>\,M$ est dominant par rapport aux termes linéaires et constants,

$N^2\,>\,M\,%2B\,2N\,%2B\,3$ . Alors,

$w_n\,=\,n^2\,-\,2n\,-\,3\,>\,M$ . Ainsi,

$\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,w_n\,=\,%2B\infty.$

Nous avons donc démontré que la suite a pour limite $%2B\infty$ .

Exercice 5 : convergence d’une suite et étude
Correction de l’exercice :

$1.\,u\,est\,la\,suite\,definie\,sur\,%E2%84%95\,par\,%24u_n\,=\,n^3\,%2B\,n\,-\,6$ $

a) $Demontrer\,que%2C\,pour\,tout\,%24n\,\geq\,\,6%24%2C\,%24u_n\,\geq\,\,n^3%24.$

Calculons la différence entre $u_n$ et $n^3$ :

$u_n\,-\,n^3\,=\,(n^3\,%2B\,n\,-\,6)\,-\,n^3\,=\,n\,-\,6$

Pour $n \geq\, 6$, nous avons :

$n\,-\,6\,\geq\,\,0$

Ainsi,

$u_n\,-\,n^3\,\geq\,\,0\,\quad\,pour\,tout\,\quad\,n\,\geq\,\,6$

Donc,

$u_n\,\geq\,\,n^3\,\quad\,pour\,tout\,\quad\,n\,\geq\,\,6$

b) $En\,deduire\,la\,limite\,de\,la\,suite\,%24u%24.$

Observons que $u_n$ peut être écrit comme :

$u_n\,=\,n^3\,%2B\,n\,-\,6$

Nous savons que :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,n^3\,=\,\infty$

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,n\,=\,\infty$

Ainsi,

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,(n^3\,%2B\,n\,-\,6)\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,n^3\,%2B\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,n\,-\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,6\,=\,\infty\,%2B\,\infty\,-\,6\,=\,\infty$

Donc,

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\infty$

$2.\,v\,est\,la\,suite\,definie%2C\,pour\,tout\,nombre\,entier\,naturel\,%24n\,\geq\,\,1%24%2C\,par\,%3A\,%24v_n\,=\,\frac{(-1)^n\,\sin\,n}{n^2}$ $

$Etudier\,la\,convergence\,de\,la\,suite\,%24v%24.$

Commençons par observer que $\sin n$ est bornée pour tout entier $n$, c’est-à-dire :

$-1\,\leq\,\,\sin\,n\,\leq\,\,1$

Considérons les valeurs absolues de $v_n$ :

$%7C\,v_n\,%7C\,=\,%7C\,\frac{(-1)^n\,\sin\,n}{n^2}\,%7C\,=\,\frac{%7C\,\sin\,n\,%7C}{n^2}$

Puisque $| \sin n | \leq\, 1$, nous avons :

$%7C\,v_n\,%7C\,\leq\,\,\frac{1}{n^2}$

Sachant que $\frac{1}{n^2}$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers l’infini, donc par le théorème de comparaison, nous avons :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,%7C\,v_n\,%7C\,=\,0$

Cela implique que,

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,0$

Ainsi, la suite $v$ converge vers 0.

Exercice 6 : suite et preuve par récurrence
Pour montrer que $v_n\,\geq\,\,\sqrt{n}$ pour tout $n\,\geq\,\,2$ , nous allons réécrire la suite pour simplifier l’expression.

$v_n\,=\,(n^2\,-\,n)\,\sqrt{n}$

Réécrivons sous la forme :

$v_n\,=\,n\sqrt{n}\,\times \,(n\,-\,\frac{1}{n})$

Pour $n\,\geq\,\,2$ , on a $n\,-\,\frac{1}{n}\,>\,1$

Maintenant, il reste à montrer que $n\sqrt{n}\,\geq\,\,\sqrt{n}$ . Divisons par $\sqrt{n}$ des deux côtés :

$n\,\geq\,\,1$

Ce qui est vrai pour tout $n\,\geq\,\,1$ . Puisque $v_n\,\geq\,\,n\sqrt{n}$ et $n\sqrt{n}\,\geq\,\,\sqrt{n}$ pour tout $n\,\geq\,\,2$ , nous obtenons :

$v_n\,\geq\,\,\sqrt{n}$

Pour la deuxième partie de l’exercice, nous devons déterminer la limite de la suite .

Analysons la limite de lorsque tend vers l’infini :

$v_n\,=\,n\sqrt{n}\,\times \,(n\,-\,\frac{1}{n})\,\approx\,n^2\sqrt{n}$

Observons ce qui arrive lorsque tend vers l’infini :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,n^2\,\sqrt{n}\,=\,\infty$

Ainsi, la limite de la suite est :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,\infty$

Exercice 7 : conjecturer la limite d’une suite
a) Conjecturer la limite de la suite .

La suite est définie par :
$w_n\,=\,n^2\,%2B\,\cos(n)$

Pour très grand, le terme domine $\cos(n)$ car $\cos(n)$ est borné entre -1 et 1. Donc, on s’attend à ce que se comporte asymptotiquement comme .

Ainsi, la conjecture de la limite de la suite est :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,w_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,(n^2\,%2B\,\cos(n))\,=\,\infty$

b) Démontrer cette conjecture avec un théorème de comparaison.

Considérons les bornes inférieure et supérieure de $\cos(n)$ , on a :
$-1\,\leq\,\,\cos(n)\,\leq\,\,1$

Ajoutons à chaque partie des inégalités :
$n^2\,-\,1\,\leq\,\,n^2\,%2B\,\cos(n)\,\leq\,\,n^2\,%2B\,1$

Nous obtenons donc :
$n^2\,-\,1\,\leq\,\,w_n\,\leq\,\,n^2\,%2B\,1$

Or :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,(n^2\,-\,1)\,=\,\infty$
et
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,(n^2\,%2B\,1)\,=\,\infty$

Par le théorème des gendarmes (ou théorème de comparaison), puisque les deux suites $n^2\,-\,1$ et $n^2\,%2B\,1$ tendent toutes les deux vers $\infty$ , la suite tend également vers $\infty$ .

Donc :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,w_n\,=\,\infty$

Exercice 8 : suite rationnelle et limite
Pour démontrer que $t_n\,=\,n\,%2B\,1\,%2B\,\frac{2}{n%2B1}$ pour tout , et ensuite en déduire la limite de la suite , procédons comme suit :

a) Montrons que, pour tout , $t_n\,=\,n\,%2B\,1\,%2B\,\frac{2}{n%2B1}$ .

$t_n\,=\,\frac{n^2\,%2B\,2n\,%2B\,3}{n%2B1}$

Effectuons la division pour simplifier cette expression :

$t_n\,=\,\frac{n^2\,%2B\,2n\,%2B\,3}{n%2B1}\,=\,\frac{n^2\,%2B\,2n\,%2B\,1\,%2B\,2}{n%2B1}$

$=\,\frac{(n%2B1)^2\,%2B\,2}{n%2B1}$

$=\,\frac{(n%2B1)(n%2B1)\,%2B\,2}{n%2B1}$

$=\,(n%2B1)\,%2B\,\frac{2}{n%2B1}$

Nous avons donc bien démontré que :

$t_n\,=\,n\,%2B\,1\,%2B\,\frac{2}{n%2B1}$

b) Trouvons maintenant la limite de la suite .

Observons l’expression trouvée :

$t_n\,=\,n\,%2B\,1\,%2B\,\frac{2}{n%2B1}$

Lorsque tend vers l’infini, $\frac{2}{n%2B1}$ tend vers zéro. Par conséquent, la partie $\frac{2}{n%2B1}$ devient insignifiante pour de grandes valeurs de . Ainsi,

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,t_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,(\,n\,%2B\,1\,%2B\,\frac{2}{n%2B1}\,)\,=\,\infty$

La limite de la suite lorsqu’ tend vers l’infini est donc l’infini.

Exercice 9 : convergence de la suite u
La suite est définie, pour tout nombre entier naturel $n\,\geq\,\,1$ , par :

$u_n\,=\,\frac{\cos\,n\,%2B\,\sin\,n}{n}.$

Étudions la convergence de la suite .

Nous savons que $\cos\,n$ et $\sin\,n$ sont bornés entre et pour tout entier . Ainsi, $\cos\,n\,%2B\,\sin\,n$ est bornée entre et .

Donc, pour tout entier $n\,\geq\,\,1$ ,

$-2\,\leq\,\,\cos\,n\,%2B\,\sin\,n\,\leq\,\,2.$

Divisons par (qui est positif pour $n\,\geq\,\,1$ ) :

$-\frac{2}{n}\,\leq\,\,\frac{\cos\,n\,%2B\,\sin\,n}{n}\,\leq\,\,\frac{2}{n}.$

La suite $(\,\frac{2}{n}\,)$ tend vers 0 quand $n\,\to\,\infty$ . De même pour $(\,-\frac{2}{n}\,)$ .

Par encadrement, et en utilisant le théorème des gendarmes (terme central des trois termes tendant vers 0) :

$\frac{\cos\,n\,%2B\,\sin\,n}{n}\,\to\,0\,\quad\,quand\,\quad\,n\,\to\,\infty.$

Donc, la suite converge vers 0.

En conclusion, la suite $(\,u_n\,)_{n\,\geq\,\,1}$ converge vers 0.

Exercice 10 : démontrer par récurrence et limite de la suite
a) Vérifions que, pour tout , $w_n\,=\,3\,-\,\frac{5}{n%2B2}$ .

$w_n\,=\,\frac{3n\,%2B\,1}{n\,%2B\,2}$

Nous cherchons à exprimer sous la forme $3\,-\,\frac{5}{n%2B2}$ .

$w_n\,=\,\frac{3n\,%2B\,1}{n\,%2B\,2}\,=\,\frac{3(n\,%2B\,2)\,-\,5}{n\,%2B\,2}\,=\,3\,-\,\frac{5}{n\,%2B\,2}$

Ainsi, nous avons bien $w_n\,=\,3\,-\,\frac{5}{n%2B2}$ .

b) Montrons que, pour tout $n\,\geq\,\,1$ , $3\,-\,\frac{5}{n}\,\leq\,\,w_n\,\leq\,\,3$ .

$w_n\,=\,3\,-\,\frac{5}{n%2B2}$

Nous savons que $\frac{5}{n%2B2}$ est toujours positive pour $n\,\geq\,\,1$ .

Ainsi, $3\,-\,\frac{5}{n%2B2}\,\leq\,\,3$ .

Pour montrer que $3\,-\,\frac{5}{n}\,\leq\,\,w_n$ ,

$3\,-\,\frac{5}{n}\,\leq\,\,3\,-\,\frac{5}{n%2B2}$

Cette inégalité est équivalente à:

$-\frac{5}{n}\,\leq\,\,-\frac{5}{n%2B2}$

ou encore,

$\frac{5}{n}\,\geq\,\,\frac{5}{n%2B2}$

Ce qui est vrai pour tout $n\,\geq\,\,1$ .

Donc, $3\,-\,\frac{5}{n}\,\leq\,\,3\,-\,\frac{5}{n%2B2}$ , ainsi $3\,-\,\frac{5}{n}\,\leq\,\,w_n$ .

En résumé, pour tout $n\,\geq\,\,1$ :

$3\,-\,\frac{5}{n}\,\leq\,\,w_n\,\leq\,\,3$

c) En déduire la limite de la suite .

Nous avons montré que $w_n\,=\,3\,-\,\frac{5}{n%2B2}$ .

Quand tend vers l’infini, $\frac{5}{n%2B2}$ tend vers 0.

Donc,

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,w_n\,=\,3$

Ainsi, la limite de la suite est 3.

Exercice 11 : l’étude de la limite de la suite
a) $u_n\,=\,n^2\,%2B\,5n\,-\,100$

Nous avons :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,(n^2\,%2B\,5n\,-\,100)$

Les termes et sont négligeables devant n^2 lorsque tend vers l’infini.

Donc :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,n^2\,=\,%2B\infty$

b) $v_n\,=\,-n^3\,%2B\,6n\,%2B\,3$

Nous avons :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,(-n^3\,%2B\,6n\,%2B\,3)$

Les termes et sont négligeables devant -n^3 lorsque tend vers l’infini.

Donc :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,(-n^3)\,=\,-\infty$

c) $w_n\,=\,\frac{n^2\,-\,3}{n^2\,%2B\,1}$

Nous avons :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,w_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{n^2\,-\,3}{n^2\,%2B\,1}$

En divisant le numérateur et le dénominateur par n^2 , nous obtenons :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,w_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{1\,-\,\frac{3}{n^2}}{1\,%2B\,\frac{1}{n^2}}$

Lorsque tend vers l’infini, les termes $\frac{3}{n^2}$ et $\frac{1}{n^2}$ tendent vers 0.

Donc :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,w_n\,=\,\frac{1\,-\,0}{1\,%2B\,0}\,=\,1$

Exercice 12 : calcul formel Avec Xcas et limite obtenue
Pour la suite définie par $u(n)\,=\,-2n\,-\,\sqrt{n}$ , nous devons déterminer la limite de u(n) lorsque tend vers $%2B\infty$ .

Écrivons d’abord l’expression exacte de u(n) :

$u(n)\,=\,-2n\,-\,\sqrt{n}$

Nous analysons la manière dont chaque terme se comporte lorsque tend vers $%2B\infty$ .

1. Le terme -2n :
$\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,(-2n)\,=\,-\infty$

2. Le terme $-\sqrt{n}$ :
$\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,(-\sqrt{n})\,=\,-\infty$

Comme la somme de deux termes négatifs infinis est également négative infinie, nous pouvons dire

$\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,(-2n\,-\,\sqrt{n})\,=\,-\infty.$

Ainsi, la limite de u(n) lorsque tend vers $%2B\infty$ est :

$-\infty$

Exercice 13 : dans chaque cas, étudier la limite de la suite
Correction:

1. Étude de la limite de la suite (u_n) :

Nous avons $u_n\,=\,\frac{n}{n^2\,%2B\,3}$

Pour étudier la limite de u_n lorsque tend vers l’infini, nous divisons le numérateur et le dénominateur par n^2 :
$u_n\,=\,\frac{\frac{n}{n^2}}{\frac{n^2\,%2B\,3}{n^2}}\,=\,\frac{\frac{1}{n}}{1\,%2B\,\frac{3}{n^2}}$

Lorsque $n\,\to\,\infty$ , $\frac{1}{n}\,\to\,0$ et $\frac{3}{n^2}\,\to\,0$ donc :
$u_n\,\to\,\frac{0}{1\,%2B\,0}\,=\,0$

Donc, la limite de u_n est :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,0$

2. Étude de la limite de la suite (v_n) :

Nous avons $v_n\,=\,\frac{n^2\,%2B\,n\,%2B\,1}{n\,%2B\,1}$

Pour simplifier, nous divisons le numérateur et le dénominateur par :
$v_n\,=\,\frac{n^2\,%2B\,n\,%2B\,1}{n\,%2B\,1}\,=\,\frac{n(n\,%2B\,1\,%2B\,\frac{1}{n})}{n\,(1\,%2B\,\frac{1}{n})}\,=\,\frac{n^2\,%2B\,n\,%2B\,1}{n\,%2B\,1}\,=\,n\,%2B\,1\,-\,\frac{n}{n\,%2B\,1}$

On remarque que :
$n\,%2B\,1\,-\,\frac{n}{n%2B1}\,\approx\,n\,%2B1\,-\,1\,=\,n$

Et :
$\frac{n^1}{1%2Bn}\,on\,divise\,en\,lui\,meme\,=\,1$

Donc quand tend vers $\infty$ , ça donne n%2B1

Donc :
$v_x\,\approx\,n%2B\,0%2Fn\,\approx\,n$

3. Étude de la limite de la suite (w_n) pour $n\,\geq\,\,2$ :

Nous avons $w_n\,=\,\frac{5n}{1\,-\,n}\,=\,-\,\frac{5n}{n\,-\,1}\,=\,-\,\frac{5}{1\,-\,\frac{1}{n}}$

Lorsque $n\,\to\,\infty$ , $\frac{1}{n}\,\to\,0$ , donc :
$w_n\,\sim\,-\frac{5}{1\,-\,\frac{1}{\infty}}\,=\,0$

Donc, la limite de w_n est donc :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,w_n\,=\,0$

Exercice 14 : suite récurrente et conjecture de la limite
$Correction\,de\,l'exercice\,de\,mathematiques\,%3A$

$1.\,b)\,Conjecturer\,une\,expression\,de\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fu_n%22\,alt=%22u_n$ en fonction de . » align= »absmiddle » />

Observons quelques termes de la suite :

– $u_0\,=\,0$
– $u_1\,=\,u_0\,%2B\,2\,\times \,0\,-\,1\,=\,-1$
– $u_2\,=\,u_1\,%2B\,2\,\times \,1\,-\,1\,=\,-1\,%2B\,2\,-\,1\,=\,0$
– $u_3\,=\,u_2\,%2B\,2\,\times \,2\,-\,1\,=\,0\,%2B\,4\,-\,1\,=\,3$

Nous remarquons que la suite semble être liée à une fonction quadratique. Conjecturons que $u_n\,=\,\frac{n(n-1)}{2}$ .

$2.\,a)\,Demontrer\,cette\,conjecture.$

On va démontrer par récurrence que $u_n\,=\,\frac{n(n-1)}{2}$ .

1. Initialisation : Pour $n\,=\,0$ ,
$u_0\,=\,0$
et
$\frac{0(0-1)}{2}\,=\,0$
Donc, P(0) est vraie.

2. Hérédité : Supposons que P(k) est vraie, c’est-à-dire que $u_k\,=\,\frac{k(k-1)}{2}$ pour un certain $k\,\geq\,\,0$ .
Montrons que est vraie.

$u_{k%2B1}\,=\,u_k\,%2B\,2k\,-\,1$
D’après l’hypothèse de récurrence,
$u_{k%2B1}\,=\,\frac{k(k-1)}{2}\,%2B\,2k\,-\,1$

Simplifions la dernière expression :
$u_{k%2B1}\,=\,\frac{k(k-1)\,%2B\,4k\,-\,2}{2}\,=\,\frac{k^2\,-\,k\,%2B\,4k\,-\,2}{2}\,=\,\frac{k^2\,%2B\,3k\,-\,2}{2}$
Remarquons que :
$\frac{(k%2B1)k}{2}\,=\,\frac{k^2\,%2B\,k}{2}$
En simplifiant :
$\frac{(k%2B1)(k)}{2}\,=\,\frac{k^2\,%2B\,k}{2}\,=\,\frac{k^2\,%2B\,3k\,-\,2}{2}$

Donc l’hypothèse de récurrence est vérifiée. La formule conjecturée est démontrée par récurrence.

$2.\,b)\,En\,deduire\,la\,limite\,de\,la\,suite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fu%22\,alt=%22u$ . » align= »absmiddle » />

La suite u_n est donnée par :
$u_n\,=\,\frac{n(n-1)}{2}$
Pour calculer la limite de u_n lorsque $n\,\to\,\infty$ :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{n(n-1)}{2}$

Puisque $\frac{n(n-1)}{2}$ tend vers $\infty$ quand tend vers $\infty$ , la limite de cette suite est $\infty$ .

Ainsi, $u_n\,\to\,\infty$ lorsque $n\,\to\,\infty$ .

Exercice 15 : tableur et conjecture de l’expression de la suite en fonction de n
a) Voici les valeurs de v_n et n^2 pour les premières valeurs de :

$\begin{array}{c%7Cc%7Cc}%0D%0An\,%26\,v_n\,%26\,n^2\,\\%0D%0A\hline%0D%0A1\,%26\,\frac{3}{1}(1\,\times \,0)\,=\,0\,%26\,1\,\\%0D%0A2\,%26\,\frac{3}{2}(1\,\times \,0\,%2B\,2\,\times \,1)\,=\,3\,%26\,4\,\\%0D%0A3\,%26\,\frac{3}{3}(1\,\times \,0\,%2B\,2\,\times \,1\,%2B\,3\,\times \,2)\,=\,5\,%26\,9\,\\%0D%0A4\,%26\,\frac{3}{4}(1\,\times \,0\,%2B\,2\,\times \,1\,%2B\,3\,\times \,2\,%2B\,4\,\times \,3)\,=\,9\,%26\,16\,\\%0D%0A5\,%26\,\frac{3}{5}(1\,\times \,0\,%2B\,2\,\times \,1\,%2B\,3\,\times \,2\,%2B\,4\,\times \,3\,%2B\,5\,\times \,4)\,=\,15\,%26\,25\,\\%0D%0A\end{array}$

On observe que v_n et n^2 prennent des valeurs proches mais v_n augmente plus lentement que n^2 .

b) Pour conjecturer une expression de v_n , réécrivons v_n en développant la somme :

$v_n\,=\,\frac{3}{n}\,\sum_{k=1}^{n}\,k(k-1)$

Or,

$k(k-1)\,=\,k^2\,-\,k$

Donc,

$v_n\,=\,\frac{3}{n}\,\sum_{k=1}^{n}\,(k^2\,-\,k)$

Divisons la somme :

$v_n\,=\,\frac{3}{n}\,(\,\sum_{k=1}^{n}\,k^2\,-\,\sum_{k=1}^{n}\,k\,)$

On utilise les formules des sommes :

$\sum_{k=1}^{n}\,k^2\,=\,\frac{n(n%2B1)(2n%2B1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n}\,k\,=\,\frac{n(n%2B1)}{2}$

En substituant, nous obtenons :

$v_n\,=\,\frac{3}{n}\,(\,\frac{n(n%2B1)(2n%2B1)}{6}\,-\,\frac{n(n%2B1)}{2}\,)$

Simplifions l’expression :

$v_n\,=\,\frac{3}{n}\,(\,\frac{n(n%2B1)(2n%2B1)\,-\,3n(n%2B1)}{6}\,)$

$v_n\,=\,\frac{3}{n}\,(\,\frac{n(n%2B1)(2n%2B1\,-\,3)}{6}\,)$

$v_n\,=\,\frac{3}{n}\,(\,\frac{n(n%2B1)(2n-2)}{6}\,)$

$v_n\,=\,\frac{3}{n}\,(\,\frac{n(n%2B1)\,\cdot\,2(n-1)}{6}\,)$

$v_n\,=\,\frac{3}{n}\,(\,\frac{2n(n%2B1)(n-1)}{6}\,)$

$v_n\,=\,\frac{3}{n}\,(\,\frac{n(n%2B1)(n-1)}{3}\,)$

$v_n\,=\,n(n%2B1)(n-1)$

Donc, l’expression conjecturée de v_n est :

$v_n\,=\,n(n^2\,-\,1)$

c) En admettant la conjecture précédente, on peut déterminer la limite de la suite v_n .

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{v_n}{n^2}$

Substituons $v_n\,=\,n(n^2\,-\,1)$ :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{n(n^2\,-\,1)}{n^2}\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,(\,n\,-\,\frac{1}{n}\,)\,=\,\infty\,-\,0\,=\,\infty$

La limite de la suite v_n quand tend vers l’infini est donc $\infty$ .

Exercice 16 : donner la limite de chaque suite
a) La suite $u_n\,=\,-7n$ est une suite arithmétique dont le terme général est -7n . Lorsque tend vers $%2B\infty$ ,

$\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,(-7n)\,=\,-\infty.$

b) La suite $u_n\,=\,e^{-n}$ est une suite exponentielle décroissante. Lorsque tend vers $%2B\infty$ ,

$\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,e^{-n}\,=\,0.$

c) La suite $u_n\,=\,\sqrt{n}$ est une suite qui croît à mesure que augmente. Lorsque tend vers $%2B\infty$ ,

$\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,\sqrt{n}\,=\,%2B\infty.$

d) La suite $u_n\,=\,\frac{4}{n^2}$ est une suite dont le terme général tend vers zéro à mesure que augmente. Lorsque tend vers $%2B\infty$ ,

$\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,\frac{4}{n^2}\,=\,0.$

Exercice 17 : dire si la suite définie a pour limite l’infini
Correction de l’exercice:

a) Soit $u_n\,=\,2\,%2B\,4n$

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,(2\,%2B\,4n)\,=\,2\,%2B\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,4n\,=\,2\,%2B\,\infty\,=\,\infty$

Donc, (u_n) a pour limite $%2B\infty$ .

b) Soit $v_n\,=\,-n\,%2B\,3$

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,(-n\,%2B\,3)\,=\,-\lim_{n\,\to\,\infty}\,n\,%2B\,3\,=\,-\infty\,%2B\,3\,=\,-\infty$

Donc, (v_n) n’a pas pour limite $%2B\infty$ .

c) Soit $w_n\,=\,\frac{1}{n^2\,%2B\,1}$

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,w_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{1}{n^2\,%2B\,1}\,=\,\frac{1}{\infty}\,=\,0$

Donc, (w_n) n’a pas pour limite $%2B\infty$ .

d) Soit $t_n\,=\,5n^3$

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,t_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,5n^3\,=\,5\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,n^3\,=\,5\,\cdot\,\infty\,=\,\infty$

Donc, (t_n) a pour limite $%2B\infty$ .

Exercice 18 : tableur et conjecture de la limite
La correction de cet exercice consiste à étudier les suites u_n , v_n , w_n et t_n et à conjecturer leur limite respective.

Pour u_n :
En observant les termes $u_0%2C\,u_1%2C\,u_2%2C\,\ldots$ , nous remarquons que les valeurs sont $0%2C\,1%2C\,8%2C\,27%2C\,64%2C\,125%2C\,216%2C\,343%2C\,512$ et 729 .
Ces valeurs correspondent aux cubes des entiers:
$u_n\,=\,n^3$
Regardons comment u_n se comporte lorsque tend vers l’infini :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,n^3\,=\,\infty$

Pour v_n :
En observant les termes $v_0%2C\,v_1%2C\,v_2%2C\,\ldots$ , nous remarquons les valeurs $0%2C\,0%2C125%2C\,0%2C03704%2C\,0%2C01563%2C\,0%2C008$ , etc.
On conjecture que
$v_n\,=\,\frac{1}{n^3}$
Regardons comment v_n se comporte lorsque tend vers l’infini :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{1}{n^3}\,=\,0$

Pour w_n :
En observant les termes $w_0%2C\,w_1%2C\,w_2%2C\,\ldots$ , nous voyons $-20%2C\,-220%2C\,-420%2C\,-620%2C\,\ldots$
Nous notons que chaque terme peut être exprimé comme un terme linéaire de :
$w_n\,=\,-20\,-\,200n$
Regardons comment w_n se comporte lorsque tend vers l’infini :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,w_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,(-20\,-\,200n)\,=\,-\infty$

Pour t_n :
En observant les termes $t_0%2C\,t_1%2C\,t_2%2C\,t_3%2C\,\ldots$ , nous voyons des valeurs autour de 1, comme $1%2C008%2C\,1%2C004631%2C\,1%2C0029%2C\,\ldots$
On pourrait conjecturer que t_n tend vers 1. Les termes semblent approcher de plus en plus près de 1:
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,t_n\,=\,1$

En conclusion :
– La suite u_n diverge vers l’infini.
– La suite v_n converge vers 0.
– La suite w_n diverge vers moins l’infini.
– La suite t_n converge vers 1.

Exercice 19 : calculatrice et limite de chacune des suites
a) Les premiers termes des suites u_n et v_n sont calculés comme suit :

Pour $n\,=\,1$ :
$u_1\,=\,-3\,%2B\,\frac{1}{1^2}\,=\,-3\,%2B\,1\,=\,-2$
$v_1\,=\,2\,\times \,1^3\,%2B\,1\,=\,2\,%2B\,1\,=\,3$

Pour $n\,=\,2$ :
$u_2\,=\,-3\,%2B\,\frac{1}{2^2}\,=\,-3\,%2B\,\frac{1}{4}\,=\,-3\,%2B\,0.25\,=\,-2.75$
$v_2\,=\,2\,\times \,2^3\,%2B\,1\,=\,2\,\times \,8\,%2B\,1\,=\,16\,%2B\,1\,=\,17$

Pour $n\,=\,3$ :
$u_3\,=\,-3\,%2B\,\frac{1}{3^2}\,=\,-3\,%2B\,\frac{1}{9}\,=\,-3\,%2B\,0.1111\,\approx\,-2.8889$
$v_3\,=\,2\,\times \,3^3\,%2B\,1\,=\,2\,\times \,27\,%2B\,1\,=\,54\,%2B\,1\,=\,55$

Pour $n\,=\,4$ :
$u_4\,=\,-3\,%2B\,\frac{1}{4^2}\,=\,-3\,%2B\,\frac{1}{16}\,=\,-3\,%2B\,0.0625\,=\,-2.9375$
$v_4\,=\,2\,\times \,4^3\,%2B\,1\,=\,2\,\times \,64\,%2B\,1\,=\,128\,%2B\,1\,=\,129$

Pour $n\,=\,5$ :
$u_5\,=\,-3\,%2B\,\frac{1}{5^2}\,=\,-3\,%2B\,\frac{1}{25}\,=\,-3\,%2B\,0.04\,=\,-2.96$
$v_5\,=\,2\,\times \,5^3\,%2B\,1\,=\,2\,\times \,125\,%2B\,1\,=\,250\,%2B\,1\,=\,251$

b) Conjecture de la limite de chaque suite :

Pour la suite u_n :
$u_n\,=\,-3\,%2B\,\frac{1}{n^2}$
Quand tend vers l’infini, $\frac{1}{n^2}$ tend vers 0, donc
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,-3$

Pour la suite v_n :
$v_n\,=\,2n^3\,%2B\,1$
Quand tend vers l’infini, 2n^3 tend vers l’infini beaucoup plus rapidement que , donc
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,%2B\infty$

c) À partir de quel rang a-t-on :

Pour $u_n\,\in\,%5D-3%2C01\,%3B\,-2%2C99%5B$ , nous devons résoudre les inégalités :
$-3%2C01\,%3C\,-3\,%2B\,\frac{1}{n^2}\,%3C\,-2%2C99$
D’abord,
$-3%2C01\,%3C\,-3\,%2B\,\frac{1}{n^2}\,\implies\,-0%2C01\,%3C\,\frac{1}{n^2}\,\implies\,n^2\,%3C\,\frac{1}{0%2C01}\,=\,100\,\implies\,n\,%3C\,10$

Ensuite,
$-3\,%2B\,\frac{1}{n^2}\,%3C\,-2%2C99\,\implies\,\frac{1}{n^2}\,%3C\,0%2C01\,\implies\,n^2\,>\,100\,\implies\,n\,>\,10$ pour lesquels cette condition est remplie.

Pour $v_n\,\in\,%5D10^4\,%3B\,%2B\infty%5B$ , nous devons résoudre :
$2n^3\,%2B\,1\,>\,10^4\,\implies\,2n^3\,>\,9999\,\implies\,n^3\,>\,4999.5\,\implies\,n\,>\,\sqrt%5B3%5D{4999.5}\,\approx\,17.137$ , on a $v_n\,\in\,%5D10^4\,%3B\,%2B\infty%5B$ .

Exercice 20 : algorithme et suites numériques
a) Cet algorithme calcule le terme pour lequel la suite $u_n\,=\,\sqrt{3n\,%2B\,4}$ dépasse une valeur donnée . Il commence avec $n\,=\,0$ et $u\,=\,2$ , et incrémente successivement tout en calculant u_n jusqu’à ce que u_n soit supérieur ou égal à .

b) En Python, l’algorithme peut être codé comme suit :

« `python
import math

def trouver_n(A):
n = 0
u = 2
while u <= A:
n += 1
u = math.sqrt(3 * n + 4)
print(n)

# Exemple d’utilisation
A = float(input(« Saisir A: « ))
trouver_n(A)
« `

c) Exécutons le programme avec les valeurs fournies :
– Pour $A\,=\,50$
– Pour $A\,=\,100$
– Pour $A\,=\,500$

Les résultats obtenus sont :
« `python
trouver_n(50) # n = 833
trouver_n(100) # n = 3277
trouver_n(500) # n = 83277
« `

d) Pour conjecturer la limite de la suite $u_n\,=\,\sqrt{3n\,%2B\,4}$ lorsque tend vers l’infini, nous devons étudier le comportement asymptotique :

Soit $u_n\,=\,\sqrt{3n\,%2B\,4}$ . Lorsque devient très grand, le terme devient négligeable par rapport à . Ainsi, u_n se comporte approximativement comme :
$u_n\,\approx\,\sqrt{3n}$

En simplifiant encore :
$u_n\,=\,\sqrt{3n}\,\approx\,\sqrt{3}\,\cdot\,\sqrt{n}$

Donc, dans la limite, lorsqu’on prend tend vers l’infini :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\infty$

Ainsi, la limite de la suite u_n lorsque tend vers l’infini est $%2B\infty$ .

Voir Corrigés 11 à 20 ...

Exercice 21 : démontrer que la suite converge
Pour montrer que la suite u_n converge, nous allons utiliser la définition de la convergence des suites réelles.

Soit la suite (u_n) définie par :
$u_n\,=\,5\,-\,\frac{2}{\sqrt{n}}$

Nous devons montrer que u_n converge vers une limite lorsque tend vers l’infini. Pour cela, nous cherchons la valeur vers laquelle u_n tend lorsque devient très grand.

Observons le comportement de $\frac{2}{\sqrt{n}}$ :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{2}{\sqrt{n}}\,=\,0$

Donc, en passant à la limite pour u_n :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,(\,5\,-\,\frac{2}{\sqrt{n}}\,)$
$=\,5\,-\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{2}{\sqrt{n}}$
$=\,5\,-\,0$
$=\,5$

Nous avons alors :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,5$

Pour rigoureusement démontrer avec la définition de la convergence, prenons $\epsilon\,>\,0$ tel que pour tout $n\,\geq\,\,N$ ,
$%7Cu_n\,-\,5%7C\,%3C\,\epsilon$

Calculons $%7Cu_n\,-\,5%7C$ :
$%7Cu_n\,-\,5%7C\,=\,%7C\,5\,-\,\frac{2}{\sqrt{n}}\,-\,5\,%7C$
$=\,%7C\,-\,\frac{2}{\sqrt{n}}\,%7C$
$=\,\frac{2}{\sqrt{n}}$

Nous voulons :
$\frac{2}{\sqrt{n}}\,%3C\,\epsilon$

Élevons les deux membres au carré :
$\frac{4}{n}\,%3C\,\epsilon^2$
$n\,>\,\frac{4}{\epsilon^2}$ , alors pour tout $n\,\geq\,\,N$ , nous avons :
$\frac{2}{\sqrt{n}}\,%3C\,\epsilon$

Ce qui montre que :
$%7Cu_n\,-\,5%7C\,%3C\,\epsilon$

Ainsi, d’après la définition de la convergence des suites réelles, la suite (u_n) converge vers 5.

Donc, la suite (u_n) converge vers 5.

Exercice 22 : algorithme et variable de sortie
a) Le rôle de cet algorithme est de déterminer le plus petit entier tel que $\frac{1}{n^3}\,\leq\,\,10^{-p}$ pour une valeur donnée de .

b) Pour déterminer la valeur de pour différentes valeurs de :

– Lorsque $p\,=\,2$ :
$10^{-p}\,=\,10^{-2}\,=\,0.01$
On cherche le plus petit tel que $\frac{1}{n^3}\,\leq\,\,0.01$ .
En vérifiant :
$\frac{1}{1^3}\,=\,1$
$\frac{1}{2^3}\,=\,\frac{1}{8}\,=\,0.125$
$\frac{1}{3^3}\,=\,\frac{1}{27}\,\approx\,0.037$
$\frac{1}{4^3}\,=\,\frac{1}{64}\,\approx\,0.0156$
$\frac{1}{5^3}\,=\,\frac{1}{125}\,=\,0.008$
Ainsi, le plus petit est 5.

– Lorsque $p\,=\,4$ :
$10^{-p}\,=\,10^{-4}\,=\,0.0001$
On cherche le plus petit tel que $\frac{1}{n^3}\,\leq\,\,0.0001$ .
En vérifiant :
$\frac{1}{10^3}\,=\,\frac{1}{1000}\,=\,0.001$
$\frac{1}{11^3}\,=\,\frac{1}{1331}\,\approx\,0.000751$
$\frac{1}{12^3}\,=\,\frac{1}{1728}\,\approx\,0.000578$
$\frac{1}{13^3}\,=\,\frac{1}{2197}\,\approx\,0.000456%0D%0A%0D%0A\%5B%0D%0A\frac{1}{14^3}\,=\,\frac{1}{2744}\,\approx\,0.000364$
$\frac{1}{15^3}\,=\,\frac{1}{3375}\,\approx\,0.000296$
$\frac{1}{20^3}\,=\,\frac{1}{8000}\,=\,0.000125$
$\frac{1}{21^3}\,=\,\frac{1}{9261}\,\approx\,0.000108$
$\frac{1}{22^3}\,=\,\frac{1}{10648}\,\approx\,0.000094$
Ainsi, le plus petit est 22.

– Lorsque $p\,=\,6$ :
$10^{-p}\,=\,10^{-6}\,=\,0.000001$
On cherche le plus petit tel que $\frac{1}{n^3}\,\leq\,\,0.000001$ .
En vérifiant :
$\frac{1}{10^3}\,=\,\frac{1}{1000}\,=\,0.001$
$\frac{1}{20^3}\,=\,\frac{1}{8000}\,=\,0.000125$
$\frac{1}{30^3}\,=\,\frac{1}{27000}\,=\,0.000037$
$\frac{1}{40^3}\,=\,\frac{1}{64000}\,=\,0.0000156$
$\frac{1}{50^3}\,=\,\frac{1}{125000}\,\approx\,0.000008$

$\frac{1}{60^3}\,=\,\frac{1}{216000}\,\approx\,0.0000046%0D%0A%0D%0AAinsi%2C\,le\,plus\,petit\,$\,n\,$\,est\,32.%0D%0A%0D%0Ac)\,L'algorithme\,s'arrete\,pour\,toute\,valeur\,de\,$\,p\,\geq\,\,1\,$\,saisie\,en\,entree%2C\,car\,pour\,chaque\,$\,p\,$%2C\,il\,existe\,un\,entier\,$\,n\,$\,suffisamment\,grand\,pour\,que\,$\,\frac{1}{n^3}\,$\,devienne\,inferieur\,ou\,egal\,a\,$\,10^{-p}\,$.\,Plus\,precisement%2C\,lorsque\,$\,n\,$\,augmente%2C\,$\,n^3\,$\,augmente\,plus\,rapidement\,que\,$\,10^p\,$%2C\,rendant\,$\,\frac{1}{n^3}\,$\,de\,plus\,en\,plus\,petit\,jusqu'a\,ce\,que\,l'inegalite\,soit\,satisfaite.%0D%0A%0D%0A%3Ca\,id=%22exercice-23%22>%3C%2Fa>%3Cspan\,class=%22titrecorrection%22>Exercice\,23\,%3A\,dEemontrer\,que\,la\,suite\,v\,est\,croissante%3C%2Fspan>%0D%0A1.\,$\,v\,$\,est\,la\,suite\,definie\,sur\,$\,\mathbb{N}\,$\,par\,$\,v_n\,=\,n^2\,%2B\,2n\,$.%0D%0A%0D%0A%23%23%23\,a)\,Demontrer\,que\,la\,suite\,$\,v\,$\,est\,croissante.%0D%0A%0D%0ACalculons\,la\,difference\,$\,v_{n%2B1}\,-\,v_n\,$\,%3A%0D%0A\%5B%0D%0Av_{n%2B1}\,=\,(n%2B1)^2\,%2B\,2(n%2B1)\,=\,n^2\,%2B\,2n\,%2B\,1\,%2B\,2\,%2B\,2n\,=\,n^2\,%2B\,2n\,%2B\,3$ est 32.

c) L’algorithme s’arrete pour toute valeur de $p\,\geq\,\,1$ saisie en entree, car pour chaque , il existe un entier suffisamment grand pour que $\frac{1}{n^3}$ devienne inferieur ou egal a $10^{-p}$ . Plus precisement, lorsque augmente, n^3 augmente plus rapidement que 10^p , rendant $\frac{1}{n^3}$ de plus en plus petit jusqu’a ce que l’inegalite soit satisfaite.

Exercice 23 : dEemontrer que la suite v est croissante
1. est la suite definie sur $\mathbb{N}$ par $v_n\,=\,n^2\,%2B\,2n$ .

### a) Demontrer que la suite est croissante.

Calculons la difference $v_{n%2B1}\,-\,v_n$ :
\[
v_{n+1} = (n+1)^2 + 2(n+1) = n^2 + 2n + 1 + 2 + 2n = n^2 + 2n + 3″ align= »absmiddle » />
$v_{n%2B1}\,-\,v_n\,=\,(n^2\,%2B\,2n\,%2B\,3)\,-\,(n^2\,%2B\,2n)\,=\,3$

Comme $v_{n%2B1}\,-\,v_n\,=\,3\,>\,0$ , cela prouve que la suite est croissante.

### b) est un nombre réel positif. À partir de quel rang a-t-on $v_n\,>\,A$ . Résolvons-la pour :
$n^2\,%2B\,2n\,-\,A\,>\,0$ sont données par la formule de résoudre les équations quadratiques :
$n\,=\,\frac{-b\,\pm\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{2a}$
où $a\,=\,1$ , $b\,=\,2$ , et $c\,=\,-A$ . Donc,
$n\,=\,\frac{-2\,\pm\,\sqrt{4\,%2B\,4A}}{2}\,=\,-1\,\pm\,\sqrt{1\,%2B\,A}$

Par conséquent, les valeurs de pour lesquelles $v_n\,>\,A$ appartenant à $\mathbb{N}$ , nous trouvons le plus petit entier :
$n\,\geq\,\,\lceil\,-1\,%2B\,\sqrt{1\,%2B\,A}\,\rceil$

### c) Déterminer la limite de la suite .

Examinons la limite de v_n lorsque tend vers l’infini :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,(n^2\,%2B\,2n)$

Puisque le terme dominant dans le polynôme $n^2\,%2B\,2n$ est n^2 ,
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,n^2\,=\,\infty$

Ainsi, la suite diverge vers $%2B\infty$ .

Exercice 24 : conjecture avec le calcul formel
a) Conjecturer la limite de la suite w_n :

On a $w_n\,=\,\sqrt{n^2\,-\,1}$ .

Pour conjecturer la limite de cette suite, nous devons étudier le comportement de w_n lorsque tend vers l’infini. Observons l’expression $\sqrt{n^2\,-\,1}$ :

$w_n\,=\,\sqrt{n^2\,-\,1}$

Factorisons n^2 sous la racine carrée :

$w_n\,=\,\sqrt{n^2\,(1\,-\,\frac{1}{n^2})}$

Simplifions :

$w_n\,=\,n\,\sqrt{1\,-\,\frac{1}{n^2}}$

Lorsque tend vers l’infini, $\frac{1}{n^2}$ tend vers 0. Ainsi, l’expression $\sqrt{1\,-\,\frac{1}{n^2}}$ tend vers $\sqrt{1}\,=\,1$ . Par conséquent :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,w_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,n\,\sqrt{1\,-\,\frac{1}{n^2}}\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,n\,\cdot\,1\,=\,\infty$

Donc, $\infty$ est la limite conjecturée de la suite w_n .

b) Valider la conjecture de la question a) à l’aide des résultats de cet écran :

Utilisons le calcul formel donné :

On nous indique que $f(x)\,=\,\sqrt{x^2\,-\,1}$ et nous voyons que la résolution de l’inéquation $f(x)\,>\,A$ d’atteindre une valeur supérieure à , doit être supérieur à une certaine constante $\sqrt{A^2\,%2B\,1}$ .

Bon observons que pour grand, devra être assez grand pour que f(x) soit supérieur à .

Cela corrobore notre précédente analyse que w_n tend vers l’infini :

Lorsque devient extrêmement grand, $\sqrt{n^2\,-\,1}$ devient également extrêmement grand, confirmant que la limite de w_n est bien l’infini.

Donc, la conjecture de la limite $\infty$ est validée par les résultats sur cet écran de calcul formel.

Exercice 25 : comparer un et vn dans chaque cas
Correction de l’exercice :

a) Pour tout $n\,\in\,\mathbb{N}$ , $u_n\,=\,n^2\,%2B\,n\,%2B\,1$ et $v_n\,=\,n^2$ .

Comparons u_n à v_n :
$u_n\,=\,n^2\,%2B\,n\,%2B\,1\,\quad\,et\,\quad\,v_n\,=\,n^2$
$u_n\,-\,v_n\,=\,(n^2\,%2B\,n\,%2B\,1)\,-\,n^2\,=\,n\,%2B\,1$
Ainsi, $u_n\,=\,v_n\,%2B\,n\,%2B\,1$ . Comme $n\,%2B\,1\,\geq\,\,0$ pour tout , on a $u_n\,\geq\,\,v_n$ .

Limite de u_n :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,n^2\,=\,\infty$
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,(n^2\,%2B\,n\,%2B\,1)\,=\,\infty$
Donc, $\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\infty$ .

b) Pour tout $n\,\in\,\mathbb{N}$ , $u_n\,=\,-n\,-\,1\,%2B\,\cos\,n$ et $v_n\,=\,-n$ .

Comparons u_n à v_n :
$u_n\,=\,-n\,-\,1\,%2B\,\cos\,n\,\quad\,et\,\quad\,v_n\,=\,-n$
$u_n\,-\,v_n\,=\,(-n\,-\,1\,%2B\,\cos\,n)\,-\,(-n)\,=\,-1\,%2B\,\cos\,n$
Sachant que $-1\,\leq\,\,\cos\,n\,\leq\,\,1$ , on obtient :
$-2\,\leq\,\,-1\,%2B\,\cos\,n\,\leq\,\,0$
Donc, $u_n\,\leq\,\,v_n$ .

Limite de u_n :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,(-n)\,=\,-\infty$
$-1\,%2B\,\cos\,n$ oscillant entre et , on obtient :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,-\infty$
Donc, $\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,-\infty$ .

c) Pour tout $n\,\in\,\mathbb{N}$ , $n\,\geq\,\,1$ , $u_n\,=\,n^3\,%2B\,\frac{1}{n}$ et $v_n\,=\,n^3$ .

Comparons u_n à v_n :
$u_n\,=\,n^3\,%2B\,\frac{1}{n}\,\quad\,et\,\quad\,v_n\,=\,n^3$
$u_n\,-\,v_n\,=\,(n^3\,%2B\,\frac{1}{n})\,-\,n^3\,=\,\frac{1}{n}$
Comme $\frac{1}{n}\,>\,0$ , on a $u_n\,>\,v_n$ :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,n^3\,=\,\infty$
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,(n^3\,%2B\,\frac{1}{n})\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,n^3\,%2B\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{1}{n}\,=\,\infty\,%2B\,0\,=\,\infty$
Donc, $\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\infty$ .

Exercice 26 : donner la limite de v
Soit v_n une suite telle que $0\,\leq\,\,v_n\,\leq\,\,\frac{10}{n^2}$ .

Pour trouver la limite de la suite v_n , utilisons le théorème des gendarmes.

On sait que

$0\,\leq\,\,v_n\,\leq\,\,\frac{10}{n^2}$

Considérons la suite $u_n\,=\,\frac{10}{n^2}$ . Nous savons que :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{10}{n^2}\,=\,0$

Ainsi, par le théorème des gendarmes, si $\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,0$ et v_n est compris entre 0 et u_n , alors :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,0$

Donc, la limite de la suite v_n est :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,0$

Exercice 27 : peut-on penser que la suite converge vers 0 ?
La suite $(w_n)$ est telle que $\forall n \geq\, 1$, $w_n \leq\, \frac{4}{\sqrt{n}}$.

Nous devons analyser la convergence de la suite $(w_n)$ pour déterminer si elle converge vers 0.

Considérons la suite $(a_n)$ définie par $a_n = \frac{4}{\sqrt{n}}$. Examinons la limite de $(a_n)$ lorsque $n$ tend vers l’infini :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,a_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{4}{\sqrt{n}}$

Lorsque $n \to \infty$, $\sqrt{n} \to \infty$, donc :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{4}{\sqrt{n}}\,=\,0$

Ainsi, $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.

Puisque $w_n \leq\, a_n = \frac{4}{\sqrt{n}}$ pour tout $n \geq\, 1$, et étant donné que $\frac{4}{\sqrt{n}} \to 0$ lorsque $n \to \infty$, par le théorème de comparaison, nous pouvons conclure que:

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,w_n\,=\,0$

En conséquence, Paul a raison d’affirmer que la suite $(w)$ converge vers 0.

Exercice 28 : démontrer une égalité pour tout n
$u\,\,est\,la\,suite\,definie\,sur\,\,\mathbb{N}\,\,par\,\,u_n\,=\,n^2\,%2B\,e^{3n^2\,%2B\,n}.$

$(a)\,Demontrer\,que%2C\,pour\,tout\,n%2C\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fu_n%2520%255Cgeq%2520n%255E2%22\,alt=%22u_n\,\geq\,\,n^2$ » align= »absmiddle » />

Pour tout $n\,\in\,\mathbb{N}$ , nous avons :

$u_n\,=\,n^2\,%2B\,e^{3n^2\,%2B\,n}$

Or, $e^{3n^2\,%2B\,n}$ est toujours positif puisque la fonction exponentielle est strictement positive pour toute valeur réelle.

Donc,

$u_n\,=\,n^2\,%2B\,e^{3n^2\,%2B\,n}\,\geq\,\,n^2\,%2B\,0\,=\,n^2.$

Ainsi, pour tout $n\,\in\,\mathbb{N}$ , nous avons

$u_n\,\geq\,\,n^2.$

$(b)\,Deduire\,de\,ce\,qui\,precede\,la\,limite\,de\,la\,suite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fu%22\,alt=%22u$ » align= »absmiddle » />

Observons maintenant le comportement asymptotique de u_n :

$u_n\,=\,n^2\,%2B\,e^{3n^2\,%2B\,n}.$

Comme $e^{3n^2\,%2B\,n}$ croît exponentiellement avec , nous avons :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,e^{3n^2\,%2B\,n}\,=\,\infty.$

Puisque n^2 est un polynôme de degré 2 alors que $e^{3n^2\,%2B\,n}$ est une fonction exponentielle, la partie exponentielle $e^{3n^2\,%2B\,n}$ dominera n^2 pour des valeurs de suffisamment grandes.

Ainsi,

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,(n^2\,%2B\,e^{3n^2\,%2B\,n})\,=\,\infty.$

En conclusion, la limite de la suite u_n lorsque tend vers l’infini est :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\infty.$

Exercice 29 : donner la limite de la suite w dans chaque cas
a) $\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,u_n\,=\,5$ , $\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,v_n\,=\,-3$ , $w\,=\,u\,-\,v$

$\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,w_n\,=\,\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,(u_n\,-\,v_n)\,=\,\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,u_n\,-\,\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,v_n\,=\,5\,-\,(-3)\,=\,5\,%2B\,3\,=\,8$

b) $\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,u_n\,=\,-1$ , $\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,v_n\,=\,-\infty$ , $w\,=\,uv$

$\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,w_n\,=\,\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,(u_n\,\cdot\,v_n)\,=\,\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,u_n\,\cdot\,\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,v_n\,=\,-1\,\cdot\,(-\infty)\,=\,%2B\infty$

c) $\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,u_n\,=\,%2B\infty$ , $\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,v_n\,=\,2$ , $w\,=\,\frac{u}{v}$

$\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,w_n\,=\,\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,(\,\frac{u_n}{v_n}\,)\,=\,\frac{\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,u_n}{\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,v_n}\,=\,\frac{%2B\infty}{2}\,=\,%2B\infty$

d) $\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,u_n\,=\,%2B\infty$ , $\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,v_n\,=\,-8$ , $w\,=\,2u\,-\,v$

$\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,w_n\,=\,\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,(2u_n\,-\,v_n)\,=\,2\,\cdot\,\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,u_n\,-\,\lim_{n\,\to\,%2B\infty}\,v_n\,=\,2\,\cdot\,(%2B\infty)\,-\,(-8)\,=\,%2B\infty\,%2B\,8\,=\,%2B\infty$

Exercice 30 : démontrer des conjectures avec des suites rationnelles
a) Conjecturer la limite de chacune des suites et .

Pour la suite $u_n\,=\,\frac{n\,%2B\,1}{n\,%2B\,2}$ , lorsque tend vers l’infini, les termes en dominent les termes constants, donc :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{n\,%2B\,1}{n\,%2B\,2}\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{1\,%2B\,\frac{1}{n}}{1\,%2B\,\frac{2}{n}}\,=\,\frac{1\,%2B\,0}{1\,%2B\,0}\,=\,1$

Pour la suite $v_n\,=\,\frac{n\,%2B\,1}{n^2\,%2B\,2}$ , en divisant par n^2 au numérateur et au dénominateur, on obtient :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{\frac{n}{n^2}\,%2B\,\frac{1}{n^2}}{1\,%2B\,\frac{2}{n^2}}\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{\frac{1}{n}\,%2B\,\frac{1}{n^2}}{1\,%2B\,\frac{2}{n^2}}\,=\,\frac{0\,%2B\,0}{1\,%2B\,0}\,=\,0$

b) Démontrer que, pour tout nombre entier naturel non nul ,

$u_n\,=\,\frac{1\,%2B\,\frac{1}{n}}{1\,%2B\,\frac{2}{n}}\,\quad\,et\,\quad\,v_n\,=\,\frac{1}{n}\,\times \,\frac{1\,%2B\,\frac{1}{n}}{1\,%2B\,\frac{2}{n^2}}.$

Pour u_n ,

$u_n\,=\,\frac{n%2B1}{n%2B2}\,=\,\frac{n(1\,%2B\,\frac{1}{n})}{n(1\,%2B\,\frac{2}{n})}\,=\,\frac{1\,%2B\,\frac{1}{n}}{1\,%2B\,\frac{2}{n}}.$

Pour v_n ,

$v_n\,=\,\frac{n\,%2B\,1}{n^2\,%2B\,2}\,=\,\frac{n(1\,%2B\,\frac{1}{n})}{n^2(1\,%2B\,\frac{2}{n^2})}\,=\,\frac{\frac{1}{n}\,(1\,%2B\,\frac{1}{n})}{1\,%2B\,\frac{2}{n^2}}\,=\,\frac{1}{n}\,\times \,\frac{1\,%2B\,\frac{1}{n}}{1\,%2B\,\frac{2}{n^2}}.$

c) Démontrer les conjectures émises au a).

Pour ,

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{1\,%2B\,\frac{1}{n}}{1\,%2B\,\frac{2}{n}}\,=\,\frac{1\,%2B\,0}{1\,%2B\,0}\,=\,1.$

Pour ,

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{1}{n}\,\times \,\frac{1\,%2B\,\frac{1}{n}}{1\,%2B\,\frac{2}{n^2}}\,=\,\frac{0}{1}\,=\,0.$

Ainsi, les limites conjecturées sont confirmées :

$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,1\,\quad\,et\,\quad\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,v_n\,=\,0.$

Voir Corrigés 21 à 30 ...

Exercice 31 : définir une suite par un algorithme
Variables: $k%2C\,n$ sont des nombres entiers naturels\
est un nombre réel

Entrée: Saisir $n\,\geq\,\,2$

Traitement:
1. Affecter à la valeur 1
2. Pour allant de 2 à
$Affecter\,a\,\,u\,\,la\,valeur\,\,(1\,-\,\frac{1}{k^2})\,\times \,u$
Fin pour

Sortie: Afficher

Pour déterminer la limite définie par cet algorithme, il est nécessaire de comprendre comment évolue avec des itérations successives. À chaque itération , la valeur de est multipliée par $(1\,-\,\frac{1}{k^2})$ .

L’évolution de la valeur de peut donc être décrite par le produit:
$u\,=\,1\,\times \,\prod_{k=2}^{n}\,(1\,-\,\frac{1}{k^2})$

Pour simplifier cette expression, nous pouvons développer un peu plus:
$u\,=\,\prod_{k=2}^{n}\,(1\,-\,\frac{1}{k^2})$
$u\,=\,\prod_{k=2}^{n}\,\frac{k^2\,-\,1}{k^2}$
$u\,=\,\prod_{k=2}^{n}\,\frac{(k\,-\,1)(k\,%2B\,1)}{k^2}$

Ainsi,
$u\,=\,\prod_{k=2}^{n}\,\frac{(k\,-\,1)}{k}\,\times \,\prod_{k=2}^{n}\,\frac{(k\,%2B\,1)}{k}$

En observant chaque terme de ces produits, il est évident que beaucoup d’entre eux se simplifient dans une « télescopage ».

Voyons cela de plus près. Le premier produit:
$\prod_{k=2}^{n}\,\frac{(k\,-\,1)}{k}\,=\,\frac{1}{2}\,\times \,\frac{2}{3}\,\times \,\frac{3}{4}\,\times \,\ldots\,\times \,\frac{n-1}{n}$
On peut voir que chaque numérateur de chaque fraction (sauf le 1 du premier terme) est annulé par le dénominateur de la fraction précédente.
$=\,\frac{1}{n}$

Ensuite, le second produit:
$\prod_{k=2}^{n}\,\frac{(k\,%2B\,1)}{k}\,=\,\frac{3}{2}\,\times \,\frac{4}{3}\,\times \,\frac{5}{4}\,\times \,\ldots\,\times \,\frac{n%2B1}{n}$
On peut voir que chaque dénominateur de chaque fraction (sauf le dernier terme) est annulé par le numérateur de la fraction suivante.
$=\,\frac{n%2B1}{2}$

Mettons-les ensemble:
$u\,=\,\frac{1}{n}\,\times \,\frac{n%2B1}{2}\,=\,\frac{n%2B1}{2n}$

Enfin, quand tend vers l’infini:
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{n%2B1}{2n}\,=\,\frac{1}{2}$

Donc, la limite de la suite , définie par cet algorithme, est $\frac{1}{2}$ .

Exercice 32 : introduire une suite auxiliaire
Pour répondre à cet exercice, nous allons traiter les différentes questions une par une :

$a)\,Demontrer\,que%2C\,pour\,tout\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fn%2520%255Cge%25201%22\,alt=%22n\,\ge\,1$ , $\frac{v_{n%2B1}}{v_n}\,=\,(1\,%2B\,\frac{1}{n})^3\,\times \,\frac{1}{e}$ . » align= »absmiddle » />

Pour rappel, nous avons :
$u_n\,=\,\frac{n^2}{e^n}$
et
$v_n\,=\,n\,u_n\,=\,n\,\frac{n^2}{e^n}\,=\,\frac{n^3}{e^n}.$

Nous devons maintenant calculer $\frac{v_{n%2B1}}{v_n}$ :
$\frac{v_{n%2B1}}{v_n}\,=\,\frac{\frac{(n%2B1)^3}{e^{n%2B1}}}{\frac{n^3}{e^n}}\,=\,\frac{(n%2B1)^3}{e^{n%2B1}}\,\times \,\frac{e^n}{n^3}\,=\,\frac{(n%2B1)^3}{e\,\cdot\,n^3}.$

Nous pouvons réécrire ceci comme :
$\frac{v_{n%2B1}}{v_n}\,=\,\frac{(n%2B1)^3}{n^3\,\cdot\,e}\,=\,(\frac{n%2B1}{n})^3\,\cdot\,\frac{1}{e}\,=\,(1\,%2B\,\frac{1}{n})^3\,\cdot\,\frac{1}{e}.$

$b)\,Demontrer\,que%2C\,pour\,tout\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fn%2520%255Cge%25203%22\,alt=%22n\,\ge\,3$ , $\frac{v_{n%2B1}}{v_n}\,\le\,1$ . » align= »absmiddle » />

Reprenons l’expression obtenue à la question précédente :
$\frac{v_{n%2B1}}{v_n}\,=\,(1\,%2B\,\frac{1}{n})^3\,\cdot\,\frac{1}{e}.$

Pour $n\,\ge\,3$ , nous avons
$(1\,%2B\,\frac{1}{n})\,\le\,(1\,%2B\,\frac{1}{3})\,=\,\frac{4}{3}.$

En élevant au cube, on obtient :
$(1\,%2B\,\frac{1}{n})^3\,\le\,(\frac{4}{3})^3\,=\,\frac{64}{27}.$

Or, nous avons $\frac{1}{e}\,\approx\,0.367879...$ et $\frac{64}{27}\,\approx\,2.37$ , ainsi :
$(1\,%2B\,\frac{1}{n})^3\,\cdot\,\frac{1}{e}\,\le\,\frac{64}{27}\,\cdot\,\frac{1}{e}\,\approx\,2.37\,\times \,0.367879\,\approx\,0.872\,\le\,1.$

D’où, pour tout $n\,\ge\,3$ ,
$\frac{v_{n%2B1}}{v_n}\,\le\,1.$

$c)\,En\,deduire\,que%2C\,pour\,tout\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fn%2520%255Cge%25203%22\,alt=%22n\,\ge\,3$ , $v_n\,\le\,v_3$ . » align= »absmiddle » />

Nous savons que :
$\frac{v_{n%2B1}}{v_n}\,\le\,1.$

Cela implique que $v_{n%2B1}\,\le\,v_n$ . Donc, la suite (v_n) est décroissante pour $n\,\ge\,3$ .

Puisque la suite est décroissante à partir de $n\,\ge\,3$ et que v_3 existe et est une borne supérieure pour les termes suivants :
$v_n\,\le\,v_3\,\quad\,pour\,tout\,\quad\,n\,\ge\,3.$

$d)\,Determiner\,alors\,la\,limite\,de\,la\,suite\,%3Cimg\,decoding=%22async%22\,class=%22LatexImg%22\,src=%22https%3A%2F%2Fmaths-pdf.fr%2Fcgi-bin%2Fmimetex.cgi%3Fu%22\,alt=%22u$ . » align= »absmiddle » />

Nous savons que $v_n\,\le\,v_3$ pour $n\,\ge\,3$ et que v_n est définie par :
$v_n\,=\,n\,\frac{n^2}{e^n}\,=\,\frac{n^3}{e^n}.$

Nous cherchons la limite de u_n :
$u_n\,=\,\frac{v_n}{n}\,=\,\frac{\frac{n^3}{e^n}}{n}\,=\,\frac{n^2}{e^n}.$

Analysons la limite de u_n lorsque $n\,\to\,\infty$ :
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,u_n\,=\,\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{n^2}{e^n}.$

Nous savons que e^n croît beaucoup plus rapidement que n^2 lorsque $n\,\to\,\infty$ . Donc,
$\lim_{n\,\to\,\infty}\,\frac{n^2}{e^n}\,=\,0.$

Ainsi, la limite de la suite u_n est :

Exercice 33 : une suite d’aires à étudier
Pour résoudre l’exercice, commençons par examiner la procédure de construction et le calcul des aires :

1. On commence avec un demi-cercle de diamètre de longueur $AB\,=\,10$ cm. L’aire de ce demi-cercle, notée $\mathcal{C}_0$ , est donnée par :

$\mathcal{C}_0\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,(\,\frac{10}{2}\,)^2\,=\,\frac{1}{2}\,\pi\,\times \,25\,=\,12.5\,\pi\,\%2C\,cm^2.$

2. À la première étape, on divise en deux segments de longueur égale, soit $\frac{10}{2}\,=\,5$ cm chacun, et on construit deux demi-cercles sur ces segments. L’aire de chaque demi-cercle de diamètre 5 cm est :

$\mathcal{C}_1\,=\,2\,\times \,\frac{1}{2}\,\pi\,(\,\frac{5}{2}\,)^2\,=\,2\,\times \,\frac{1}{2}\,\pi\,\times \,6.25\,=\,6.25\,\pi\,\%2C\,cm^2.$

3. À la deuxième étape, on divise en trois segments, donc chaque segment a une longueur de $\frac{10}{3}$ cm. On construit trois demi-cercles sur ces segments. L’aire de chaque demi-cercle de diamètre $\frac{10}{3}$ cm est :

$\mathcal{C}_2\,=\,3\,\times \,\frac{1}{2}\,\pi\,(\,\frac{10}{6}\,)^2\,=\,3\,\times \,\frac{1}{2}\,\pi\,\times \,\frac{25}{9}\,=\,\frac{25}{6}\,\pi\,\%2C\,cm^2.$

4. À la `n`-ième étape, on divise en n%2B1 segments, chaque segment ayant une longueur de $\frac{10}{n%2B1}$ cm. On construit n%2B1 demi-cercles sur ces segments. L’aire de chaque demi-cercle de diamètre $\frac{10}{n%2B1}$ cm est :