Les limites de suites : corrigés des exercices de maths en terminale en PDF.

Limites de suites : corrigé des exercices de maths en terminale.

Exercice 1 : démontrer que la suite converge vers 0
\[\]Correction de l’exercice\[\]

1. \( u \) est la suite définie sur \( \mathbb{N} \) par \( u_n = 2n – 3 \).

a) À partir de quel rang a-t-on \( u_n > 10^3 \) ?
\[
u_n = 2n – 3 > 10^3 \\
2n – 3 > 1000 \\
2n > 1003 \\
n > 501.5
\]
Donc, à partir du rang \( n = 502 \), on a \( u_n > 10^3 \).

b) Démontrer que la suite \( u \) a pour limite \( +\infty \).
\[
u_n = 2n – 3 \\
\text{Pour montrer que } \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty, \text{ soit } M \in \mathbb{R}. \\
\text{Cherchons } n_0 \text{ tel que pour tout } n \geq\, n_0, u_n > M. \\
u_n = 2n – 3 > M \\
2n > M + 3 \\
n > \frac{M + 3}{2}
\]
Ainsi, pour tout \( n \geq\, n_0 = \langle \frac{M + 3}{2} \rangle \), on a \( u_n > M \).
Donc, \(\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \).

2. \( v \) est la suite définie, pour tout nombre entier naturel \( n \geq\, 1 \), par \( v_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \).

a) À partir de quel rang a-t-on \( -0,01 < v_n < 0,01 \) ?
\[
-0,01 < v_n < 0,01 \\
\text{Comme } v_n \text{ est toujours positive, on peut simplifier en } 0 < v_n < 0,01. \\
\frac{1}{\sqrt{n}} < 0,01 \\
\sqrt{n} > 100 \\
n > 100^2 \\
n > 10000
\]
Donc, à partir du rang \( n = 10001 \), on a \( 0 < v_n < 0,01 \).

b) Démontrer que la suite \( v \) converge vers 0.
\[
v_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \\
\text{Pour montrer que } \lim_{n \to +\infty} v_n = 0, \text{ soit } \epsilon > 0. \\
\text{Cherchons } n_0 \text{ tel que pour tout } n \geq\, n_0, |v_n – 0| < \epsilon. \\
\frac{1}{\sqrt{n}} < \epsilon \\
\sqrt{n} > \frac{1}{\epsilon} \\
n > ( \frac{1}{\epsilon} )^2
\]
Ainsi, pour tout \( n \geq\, n_0 = \langle ( \frac{1}{\epsilon} )^2 \rangle \), on a \( |v_n – 0| < \epsilon \).
Donc, \(\lim_{n \to +\infty} v_n = 0 \).

Exercice 2 : démontrer que la suite u a pour limite l’infini
La suite \( u \) est définie pour tout \( n \in \mathbb{N} \) par \( u_n = 2n^2 \).

Démontrons que la suite \( u \) diverge vers \( +\infty \).

Pour cela, montrons que pour tout \( M > 0 \), il existe un rang \( N \in \mathbb{N} \) tel que, pour tout \( n \geq\, N \), on a \( u_n > M \).

Soit \( M \) un réel strictement positif. Nous devons trouver un \( N \) tel que pour tout \( n \geq\, N \), \( 2n^2 > M \).

\[
2n^2 > M
\]

\[
n^2 > \frac{M}{2}
\]

\[
n > \sqrt{\frac{M}{2}}
\]

Choisissons \( N \) tel que \( N > \sqrt{\frac{M}{2}} \). Par exemple, on peut poser \( N = \lceil \sqrt{\frac{M}{2}} \rceil \), où \( \lceil x \rceil \) désigne la partie entière supérieure de \( x \).

Ainsi, pour tout \( n \geq\, N \), on a :

\[
n \geq\, \lceil \sqrt{\frac{M}{2}} \rceil \implies n \geq\, \sqrt{\frac{M}{2}}
\]

\[
n^2 \geq\, \frac{M}{2}
\]

\[
2n^2 \geq\, M
\]

Donc, pour tout \( n \geq\, N \), on a \( u_n \geq\, M \). Cela signifie que pour tout \( M > 0 \), il existe un \( N \) tel que \( u_n > M \) pour tout \( n \geq\, N \).

En conclusion, la suite \( u_n = 2n^2 \) diverge vers \( +\infty \).

Exercice 3 : démontrer que la suite est convergente
Soit \( v_n \) la suite définie pour tout nombre entier naturel \( n \geq\, 1 \) par :
\[ v_n = 2 + \frac{1}{n} \]

Montrons que \( v_n \) est convergente.

1. Montrons que \( v_n \) est décroissante à partir d’un certain rang.

Pour \( n \geq\, 1 \), considérons la différence entre deux termes consécutifs de la suite \( v_n \) :
\[ v_{n+1} = 2 + \frac{1}{n+1} \]
\[ v_n – v_{n+1} = ( 2 + \frac{1}{n} ) – ( 2 + \frac{1}{n+1} ) \]
\[ v_n – v_{n+1} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \]

Calculons cette différence :

\[ \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)} \]

On observe que \(\frac{1}{n(n+1)} > 0\) pour \( n \geq\, 1 \). Donc \( v_n – v_{n+1} > 0 \) ce qui signifie que \( v_n \) est décroissante.

2. Montrons que \( v_n \) est minorée.

La suite \( v_n = 2 + \frac{1}{n} \) est toujours strictement supérieure à 2 car \( \frac{1}{n} > 0 \) pour tout \( n \geq\, 1 \). Ainsi :
\[ v_n > 2 \]

3. Convergence de \( v_n \).

La suite \( v_n \) est décroissante et minorée par 2. Par le théorème de la convergence des suites monotones, une suite décroissante et minorée est convergente.

Nous pouvons trouver la limite de \( v_n \) en observant le comportement de \( \frac{1}{n} \) lorsque \( n \) tend vers l’infini :
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \]

Donc,
\[ \lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} ( 2 + \frac{1}{n} ) = 2 \]

Ainsi, la suite \( v_n \) est convergente et sa limite est :
\[ \lim_{n \to \infty} v_n = 2 \]

En conclusion, la suite \( v_n = 2 + \frac{1}{n} \) est convergente et converge vers 2.

Exercice 4 : sémontrer que la suite a pour limite l’infini
La suite \( w \) est définie par:

\[ w_n = n^2 – 2n – 3. \]

1. Conjecturer la limite de la suite \( w \) à l’aide de la calculatrice :

Avec une calculatrice, on observe les valeurs de \( w_n \) pour des valeurs croissantes de \( n \). On constate que \( w_n \) augmente de manière significative à mesure que \( n \) augmente. La limite conjecturée de \( w \) est donc \( +\infty \).

2. a) Vérifier que, pour tout nombre entier naturel \( n \),

\[ w_n = (n – 1)^2 – 4. \]

Preuve :
Développons l’expression \( (n – 1)^2 – 4 \) :

\[
(n – 1)^2 – 4 = (n^2 – 2n + 1) – 4 = n^2 – 2n – 3.
\]

Donc,

\[ w_n = n^2 – 2n – 3 = (n – 1)^2 – 4, \]

ce qui prouve l’égalité.

b) Démontrer que la suite \( w \) a pour limite \( +\infty \) :

Pour démontrer que \( w_n \to +\infty \) lorsque \( n \to +\infty \), considérons l’expression initiale de \( w_n \) :

\[
w_n = n^2 – 2n – 3.
\]

Lorsqu’on observe le terme dominant \( n^2 \), on voit que \( n^2 \) va croître beaucoup plus rapidement que les termes linéaires ou constants \( -2n \) et \( -3 \) à mesure que \( n \) devient très grand.

Pour être plus rigoureux, montrons que pour tout \( M > 0 \), il existe un entier \( N \) tel que pour tout \( n \geq\, N \), \( w_n > M \).

Choisissons \( N \) tel que \( N^2 – 2N – 3 > M \). En résolvant cette inéquation, nous obtenons :

\[
N^2 – 2N – 3 > M \quad \Rightarrow \quad N^2 > M + 2N + 3.
\]

Comme le terme \( N^2 \) est dominant par rapport aux termes linéaires et constants,

\[
N^2 > M + 2N + 3
\]

sera vrai pour suffisamment grand \( N \). Alors,

\[
w_n = n^2 – 2n – 3 > M
\]

pour tout \( n \geq\, N \). Ainsi,

\[
\lim_{n \to +\infty} w_n = +\infty.
\]

Nous avons donc démontré que la suite \( w \) a pour limite \( +\infty \).

Exercice 5 : convergence d’une suite et étude
Correction de l’exercice :

\[\]1. u est la suite définie sur ℕ par \[u_n = n^3 + n – 6\]\[\]

a) \[\]Démontrer que, pour tout \[n \geq\, 6\], \[u_n \geq\, n^3\].\[\]

Calculons la différence entre \[u_n\] et \[n^3\] :

\[ u_n – n^3 = (n^3 + n – 6) – n^3 = n – 6 \]

Pour \[n \geq\, 6\], nous avons :

\[ n – 6 \geq\, 0 \]

Ainsi,

\[ u_n – n^3 \geq\, 0 \quad \text{pour tout} \quad n \geq\, 6 \]

Donc,

\[ u_n \geq\, n^3 \quad \text{pour tout} \quad n \geq\, 6 \]

b) \[\]En déduire la limite de la suite \[u\].\[\]

Observons que \[u_n\] peut être écrit comme :

\[ u_n = n^3 + n – 6 \]

Nous savons que :

\[ \lim_{n \to \infty} n^3 = \infty \]

et

\[ \lim_{n \to \infty} n = \infty \]

Ainsi,

\[ \lim_{n \to \infty} (n^3 + n – 6) = \lim_{n \to \infty} n^3 + \lim_{n \to \infty} n – \lim_{n \to \infty} 6 = \infty + \infty – 6 = \infty \]

Donc,

\[ \lim_{n \to \infty} u_n = \infty \]

\[\]2. v est la suite définie, pour tout nombre entier naturel \[n \geq\, 1\], par : \[v_n = \frac{(-1)^n \sin n}{n^2}\]\[\]

\[\]Étudier la convergence de la suite \[v\].\[\]

Commençons par observer que \[\sin n\] est bornée pour tout entier \[n\], c’est-à-dire :

\[ -1 \leq\, \sin n \leq\, 1 \]

Considérons les valeurs absolues de \[v_n\] :

\[ | v_n | = | \frac{(-1)^n \sin n}{n^2} | = \frac{| \sin n |}{n^2} \]

Puisque \[| \sin n | \leq\, 1\], nous avons :

\[ | v_n | \leq\, \frac{1}{n^2} \]

Sachant que \[\frac{1}{n^2}\] tend vers 0 lorsque \[n\] tend vers l’infini, donc par le théorème de comparaison, nous avons :

\[ \lim_{n \to \infty} | v_n | = 0 \]

Cela implique que,

\[ \lim_{n \to \infty} v_n = 0 \]

Ainsi, la suite \[v\] converge vers 0.

Exercice 6 : suite et preuve par récurrence
Pour montrer que \( v_n \geq\, \sqrt{n} \) pour tout \( n \geq\, 2 \), nous allons réécrire la suite \( v_n \) pour simplifier l’expression.

\[ v_n = (n^2 – n) \sqrt{n} \]

Réécrivons \( v_n \) sous la forme :

\[ v_n = n\sqrt{n} \times (n – \frac{1}{n}) \]

Pour \( n \geq\, 2 \), on a \( n – \frac{1}{n} > 1 \). Donc :

\[ v_n = n\sqrt{n} \times (n – \frac{1}{n}) \geq\, n\sqrt{n} \times 1 = n\sqrt{n} \]

Maintenant, il reste à montrer que \( n\sqrt{n} \geq\, \sqrt{n} \). Divisons par \( \sqrt{n} \) des deux côtés :

\[ n \geq\, 1 \]

Ce qui est vrai pour tout \( n \geq\, 1 \). Puisque \( v_n \geq\, n\sqrt{n} \) et \( n\sqrt{n} \geq\, \sqrt{n} \) pour tout \( n \geq\, 2 \), nous obtenons :

\[ v_n \geq\, \sqrt{n} \]

Pour la deuxième partie de l’exercice, nous devons déterminer la limite de la suite \( v_n \).

Analysons la limite de \( v_n \) lorsque \( n \) tend vers l’infini :

\[ v_n = n\sqrt{n} \times (n – \frac{1}{n}) \approx n^2\sqrt{n} \]

Observons ce qui arrive lorsque \( n \) tend vers l’infini :

\[ \lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} n^2 \sqrt{n} = \infty \]

Ainsi, la limite de la suite \( v_n \) est :

\[ \lim_{n \to \infty} v_n = \infty \]

Exercice 7 : conjecturer la limite d’une suite
a) Conjecturer la limite de la suite \(w\).

La suite \(w\) est définie par :
\[ w_n = n^2 + \cos(n) \]

Pour \(n\) très grand, le terme \(n^2\) domine \(\cos(n)\) car \( \cos(n) \) est borné entre -1 et 1. Donc, on s’attend à ce que \( w_n \) se comporte asymptotiquement comme \( n^2 \).

Ainsi, la conjecture de la limite de la suite \(w\) est :
\[ \lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} (n^2 + \cos(n)) = \infty \]

b) Démontrer cette conjecture avec un théorème de comparaison.

Considérons les bornes inférieure et supérieure de \(\cos(n)\), on a :
\[ -1 \leq\, \cos(n) \leq\, 1 \]

Ajoutons \(n^2\) à chaque partie des inégalités :
\[ n^2 – 1 \leq\, n^2 + \cos(n) \leq\, n^2 + 1 \]

Nous obtenons donc :
\[ n^2 – 1 \leq\, w_n \leq\, n^2 + 1 \]

Or :
\[ \lim_{n \to \infty} (n^2 – 1) = \infty \]
et
\[ \lim_{n \to \infty} (n^2 + 1) = \infty \]

Par le théorème des gendarmes (ou théorème de comparaison), puisque les deux suites \(n^2 – 1\) et \(n^2 + 1\) tendent toutes les deux vers \(\infty\), la suite \(w_n\) tend également vers \(\infty\).

Donc :
\[ \lim_{n \to \infty} w_n = \infty \]

Exercice 8 : suite rationnelle et limite
Pour démontrer que \( t_n = n + 1 + \frac{2}{n+1} \) pour tout \( n \), et ensuite en déduire la limite de la suite \( t \), procédons comme suit :

a) Montrons que, pour tout \( n \), \( t_n = n + 1 + \frac{2}{n+1} \).

\[
t_n = \frac{n^2 + 2n + 3}{n+1}
\]

Effectuons la division pour simplifier cette expression :

\[
t_n = \frac{n^2 + 2n + 3}{n+1} = \frac{n^2 + 2n + 1 + 2}{n+1}
\]

\[
= \frac{(n+1)^2 + 2}{n+1}
\]

\[
= \frac{(n+1)(n+1) + 2}{n+1}
\]

\[
= (n+1) + \frac{2}{n+1}
\]

Nous avons donc bien démontré que :

\[
t_n = n + 1 + \frac{2}{n+1}
\]

b) Trouvons maintenant la limite de la suite \( t_n \).

Observons l’expression trouvée :

\[
t_n = n + 1 + \frac{2}{n+1}
\]

Lorsque \( n \) tend vers l’infini, \( \frac{2}{n+1} \) tend vers zéro. Par conséquent, la partie \(\frac{2}{n+1}\) devient insignifiante pour de grandes valeurs de \(n\). Ainsi,

\[
\lim_{n \to \infty} t_n = \lim_{n \to \infty} ( n + 1 + \frac{2}{n+1} ) = \infty
\]

La limite de la suite \( t_n \) lorsqu’ \(n\) tend vers l’infini est donc l’infini.

Exercice 9 : convergence de la suite u
La suite \(u\) est définie, pour tout nombre entier naturel \( n \geq\, 1 \), par :

\[ u_n = \frac{\cos n + \sin n}{n}. \]

Étudions la convergence de la suite \(u_n\).

Nous savons que \(\cos n\) et \(\sin n\) sont bornés entre \(-1\) et \(1\) pour tout entier \(n\). Ainsi, \(\cos n + \sin n\) est bornée entre \(-2\) et \(2\).

Donc, pour tout entier \(n \geq\, 1\),

\[ -2 \leq\, \cos n + \sin n \leq\, 2. \]

Divisons par \(n\) (qui est positif pour \(n \geq\, 1\)) :

\[ -\frac{2}{n} \leq\, \frac{\cos n + \sin n}{n} \leq\, \frac{2}{n}. \]

La suite \(( \frac{2}{n} )\) tend vers 0 quand \(n \to \infty\). De même pour \(( -\frac{2}{n} )\).

Par encadrement, et en utilisant le théorème des gendarmes (terme central des trois termes tendant vers 0) :

\[ \frac{\cos n + \sin n}{n} \to 0 \quad \text{quand} \quad n \to \infty. \]

Donc, la suite \((u_n)\) converge vers 0.

En conclusion, la suite \( ( u_n )_{n \geq\, 1} \) converge vers 0.

Exercice 10 : démontrer par récurrence et limite de la suite
a) Vérifions que, pour tout \( n \), \( w_n = 3 – \frac{5}{n+2} \).

\[
w_n = \frac{3n + 1}{n + 2}
\]

Nous cherchons à exprimer \( w_n \) sous la forme \( 3 – \frac{5}{n+2} \).

\[
w_n = \frac{3n + 1}{n + 2} = \frac{3(n + 2) – 5}{n + 2} = 3 – \frac{5}{n + 2}
\]

Ainsi, nous avons bien \( w_n = 3 – \frac{5}{n+2} \).

b) Montrons que, pour tout \( n \geq\, 1 \), \( 3 – \frac{5}{n} \leq\, w_n \leq\, 3 \).

\[
w_n = 3 – \frac{5}{n+2}
\]

Nous savons que \( \frac{5}{n+2} \) est toujours positive pour \( n \geq\, 1 \).

Ainsi, \( 3 – \frac{5}{n+2} \leq\, 3 \).

Pour montrer que \( 3 – \frac{5}{n} \leq\, w_n \),

\[
3 – \frac{5}{n} \leq\, 3 – \frac{5}{n+2}
\]

Cette inégalité est équivalente à:

\[
-\frac{5}{n} \leq\, -\frac{5}{n+2}
\]

ou encore,

\[
\frac{5}{n} \geq\, \frac{5}{n+2}
\]

Ce qui est vrai pour tout \( n \geq\, 1 \).

Donc, \( 3 – \frac{5}{n} \leq\, 3 – \frac{5}{n+2} \), ainsi \( 3 – \frac{5}{n} \leq\, w_n \).

En résumé, pour tout \( n \geq\, 1 \):

\[
3 – \frac{5}{n} \leq\, w_n \leq\, 3
\]

c) En déduire la limite de la suite \( w \).

Nous avons montré que \( w_n = 3 – \frac{5}{n+2} \).

Quand \( n \) tend vers l’infini, \( \frac{5}{n+2} \) tend vers 0.

Donc,

\[
\lim_{n \to \infty} w_n = 3
\]

Ainsi, la limite de la suite \( w \) est 3.

Exercice 11 : l’étude de la limite de la suite
a) \( u_n = n^2 + 5n – 100 \)

Nous avons :

\[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (n^2 + 5n – 100) \]

Les termes \( 5n \) et \( -100 \) sont négligeables devant \( n^2 \) lorsque \( n \) tend vers l’infini.

Donc :

\[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} n^2 = +\infty \]

b) \( v_n = -n^3 + 6n + 3 \)

Nous avons :

\[ \lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} (-n^3 + 6n + 3) \]

Les termes \( 6n \) et \( 3 \) sont négligeables devant \( -n^3 \) lorsque \( n \) tend vers l’infini.

Donc :

\[ \lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} (-n^3) = -\infty \]

c) \( w_n = \frac{n^2 – 3}{n^2 + 1} \)

Nous avons :

\[ \lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 – 3}{n^2 + 1} \]

En divisant le numérateur et le dénominateur par \( n^2 \), nous obtenons :

\[ \lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1 – \frac{3}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}} \]

Lorsque \( n \) tend vers l’infini, les termes \( \frac{3}{n^2} \) et \( \frac{1}{n^2} \) tendent vers 0.

Donc :

\[ \lim_{n \to \infty} w_n = \frac{1 – 0}{1 + 0} = 1 \]

Exercice 12 : calcul formel Avec Xcas et limite obtenue
Pour la suite définie par \( u(n) = -2n – \sqrt{n} \), nous devons déterminer la limite de \( u(n) \) lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \).

Écrivons d’abord l’expression exacte de \( u(n) \) :

\[ u(n) = -2n – \sqrt{n} \]

Nous analysons la manière dont chaque terme se comporte lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \).

1. Le terme \(-2n\) :
\[ \lim_{n \to +\infty} (-2n) = -\infty \]

2. Le terme \(-\sqrt{n}\) :
\[ \lim_{n \to +\infty} (-\sqrt{n}) = -\infty \]

Comme la somme de deux termes négatifs infinis est également négative infinie, nous pouvons dire

\[ \lim_{n \to +\infty} (-2n – \sqrt{n}) = -\infty. \]

Ainsi, la limite de \( u(n) \) lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \) est :

\[ \boxed{-\infty} \]

Exercice 13 : dans chaque cas, étudier la limite de la suite
{Correction:}

1. {Étude de la limite de la suite} \( (u_n) \) :

Nous avons \[ u_n = \frac{n}{n^2 + 3} \]

Pour étudier la limite de \(u_n\) lorsque \(n\) tend vers l’infini, nous divisons le numérateur et le dénominateur par \(n^2\) :
\[ u_n = \frac{\frac{n}{n^2}}{\frac{n^2 + 3}{n^2}} = \frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{3}{n^2}} \]

Lorsque \( n \to \infty \), \(\frac{1}{n} \to 0\) et \(\frac{3}{n^2} \to 0\) donc :
\[ u_n \to \frac{0}{1 + 0} = 0 \]

Donc, la limite de \(u_n\) est \(0\) :
\[ \lim_{n \to \infty} u_n = 0 \]

2. {Étude de la limite de la suite} \( (v_n) \) :

Nous avons \[ v_n = \frac{n^2 + n + 1}{n + 1} \]

Pour simplifier, nous divisons le numérateur et le dénominateur par \(n\) :
\[ v_n = \frac{n^2 + n + 1}{n + 1} = \frac{n(n + 1 + \frac{1}{n})}{n (1 + \frac{1}{n})} = \frac{n^2 + n + 1}{n + 1} = n + 1 – \frac{n}{n + 1} \]

On remarque que :
\[ n + 1 – \frac{n}{n+1} \approx n +1 – 1 = n \]

Et :
\[ \frac{n^1}{1+n} on divise en lui meme = 1 \]

Donc quand \( n \) tend vers \(\infty\), ça donne \( n+1 \)

Donc :
\[ v_x \approx n+ 0/n \approx n \]

3. {Étude de la limite de la suite} \( (w_n) \) pour \( n \geq\, 2 \) :

Nous avons \[ w_n = \frac{5n}{1 – n} = – \frac{5n}{n – 1} = – \frac{5}{1 – \frac{1}{n}} \]

Lorsque \( n \to \infty \), \(\frac{1}{n} \to 0\), donc :
\[ w_n \sim -\frac{5}{1 – \frac{1}{\infty}} = 0 \]

Donc, la limite de \(w_n\) est donc :
\[ \lim_{n \to \infty} w_n = 0 \]

Exercice 14 : suite récurrente et conjecture de la limite
\[\]Correction de l’exercice de mathématiques :\[\]

\[\]1. b) Conjecturer une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).\[\]

Observons quelques termes de la suite \(u\) :

– \(u_0 = 0\)
– \(u_1 = u_0 + 2 \times 0 – 1 = -1\)
– \(u_2 = u_1 + 2 \times 1 – 1 = -1 + 2 – 1 = 0\)
– \(u_3 = u_2 + 2 \times 2 – 1 = 0 + 4 – 1 = 3\)

Nous remarquons que la suite semble être liée à une fonction quadratique. Conjecturons que \(u_n = \frac{n(n-1)}{2}\).

\[\]2. a) Démontrer cette conjecture.\[\]

On va démontrer par récurrence que \(u_n = \frac{n(n-1)}{2}\).

1. Initialisation : Pour \(n = 0\),
\[
u_0 = 0
\]
et
\[
\frac{0(0-1)}{2} = 0
\]
Donc, \(P(0)\) est vraie.

2. Hérédité : Supposons que \(P(k)\) est vraie, c’est-à-dire que \(u_k = \frac{k(k-1)}{2}\) pour un certain \(k \geq\, 0\).
Montrons que \(P(k+1)\) est vraie.

\[
u_{k+1} = u_k + 2k – 1
\]
D’après l’hypothèse de récurrence,
\[
u_{k+1} = \frac{k(k-1)}{2} + 2k – 1
\]

Simplifions la dernière expression :
\[
u_{k+1} = \frac{k(k-1) + 4k – 2}{2} = \frac{k^2 – k + 4k – 2}{2} = \frac{k^2 + 3k – 2}{2}
\]
Remarquons que :
\[
\frac{(k+1)k}{2} = \frac{k^2 + k}{2}
\]
En simplifiant :
\[
\frac{(k+1)(k)}{2} = \frac{k^2 + k}{2} = \frac{k^2 + 3k – 2}{2}
\]

Donc l’hypothèse de récurrence est vérifiée. La formule conjecturée est démontrée par récurrence.

\[\]2. b) En déduire la limite de la suite \(u\).\[\]

La suite \(u_n\) est donnée par :
\[
u_n = \frac{n(n-1)}{2}
\]
Pour calculer la limite de \(u_n\) lorsque \(n \to \infty\) :
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)}{2}
\]

Puisque \(\frac{n(n-1)}{2} \) tend vers \(\infty\) quand \(n\) tend vers \(\infty\), la limite de cette suite est \(\infty\).

Ainsi, \(u_n \to \infty \) lorsque \(n \to \infty\).

Exercice 15 : tableur et conjecture de l’expression de la suite en fonction de n
a) Voici les valeurs de \( v_n \) et \( n^2 \) pour les premières valeurs de \( n \) :

\[
\begin{array}{c|c|c}
n v_n n^2 \\
\hline
1 \frac{3}{1}(1 \times 0) = 0 1 \\
2 \frac{3}{2}(1 \times 0 + 2 \times 1) = 3 4 \\
3 \frac{3}{3}(1 \times 0 + 2 \times 1 + 3 \times 2) = 5 9 \\
4 \frac{3}{4}(1 \times 0 + 2 \times 1 + 3 \times 2 + 4 \times 3) = 9 16 \\
5 \frac{3}{5}(1 \times 0 + 2 \times 1 + 3 \times 2 + 4 \times 3 + 5 \times 4) = 15 25 \\
\end{array}
\]

On observe que \( v_n \) et \( n^2 \) prennent des valeurs proches mais \( v_n \) augmente plus lentement que \( n^2 \).

b) Pour conjecturer une expression de \( v_n \), réécrivons \( v_n \) en développant la somme :

\[
v_n = \frac{3}{n} \sum_{k=1}^{n} k(k-1)
\]

Or,

\[
k(k-1) = k^2 – k
\]

Donc,

\[
v_n = \frac{3}{n} \sum_{k=1}^{n} (k^2 – k)
\]

Divisons la somme :

\[
v_n = \frac{3}{n} ( \sum_{k=1}^{n} k^2 – \sum_{k=1}^{n} k )
\]

On utilise les formules des sommes :

\[
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

\[
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
\]

En substituant, nous obtenons :

\[
v_n = \frac{3}{n} ( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} – \frac{n(n+1)}{2} )
\]

Simplifions l’expression :

\[
v_n = \frac{3}{n} ( \frac{n(n+1)(2n+1) – 3n(n+1)}{6} )
\]

\[
v_n = \frac{3}{n} ( \frac{n(n+1)(2n+1 – 3)}{6} )
\]

\[
v_n = \frac{3}{n} ( \frac{n(n+1)(2n-2)}{6} )
\]

\[
v_n = \frac{3}{n} ( \frac{n(n+1) \cdot 2(n-1)}{6} )
\]

\[
v_n = \frac{3}{n} ( \frac{2n(n+1)(n-1)}{6} )
\]

\[
v_n = \frac{3}{n} ( \frac{n(n+1)(n-1)}{3} )
\]

\[
v_n = n(n+1)(n-1)
\]

Donc, l’expression conjecturée de \( v_n \) est :

\[
v_n = n(n^2 – 1)
\]

c) En admettant la conjecture précédente, on peut déterminer la limite de la suite \( v_n \).

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{v_n}{n^2}
\]

Substituons \( v_n = n(n^2 – 1) \):

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{n(n^2 – 1)}{n^2} = \lim_{n \to \infty} ( n – \frac{1}{n} ) = \infty – 0 = \infty
\]

La limite de la suite \( v_n \) quand \( n \) tend vers l’infini est donc \( \infty \).

Exercice 16 : donner la limite de chaque suite
a) La suite \( u_n = -7n \) est une suite arithmétique dont le terme général est \( -7n \). Lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \),

\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} (-7n) = -\infty. \]

b) La suite \( u_n = e^{-n} \) est une suite exponentielle décroissante. Lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \),

\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} e^{-n} = 0. \]

c) La suite \( u_n = \sqrt{n} \) est une suite qui croît à mesure que \( n \) augmente. Lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \),

\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty. \]

d) La suite \( u_n = \frac{4}{n^2} \) est une suite dont le terme général tend vers zéro à mesure que \( n \) augmente. Lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \),

\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{4}{n^2} = 0. \]

Exercice 17 : dire si la suite définie a pour limite l’infini
{Correction de l’exercice:}

a) Soit \( u_n = 2 + 4n \)

\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (2 + 4n) = 2 + \lim_{n \to \infty} 4n = 2 + \infty = \infty
\]

Donc, \( (u_n) \) a pour limite \( +\infty \).

b) Soit \( v_n = -n + 3 \)

\[
\lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} (-n + 3) = -\lim_{n \to \infty} n + 3 = -\infty + 3 = -\infty
\]

Donc, \( (v_n) \) n’a pas pour limite \( +\infty \).

c) Soit \( w_n = \frac{1}{n^2 + 1} \)

\[
\lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + 1} = \frac{1}{\infty} = 0
\]

Donc, \( (w_n) \) n’a pas pour limite \( +\infty \).

d) Soit \( t_n = 5n^3 \)

\[
\lim_{n \to \infty} t_n = \lim_{n \to \infty} 5n^3 = 5 \lim_{n \to \infty} n^3 = 5 \cdot \infty = \infty
\]

Donc, \( (t_n) \) a pour limite \( +\infty \).

Exercice 18 : tableur et conjecture de la limite
La correction de cet exercice consiste à étudier les suites \( u_n \), \( v_n \), \( w_n \) et \( t_n \) et à conjecturer leur limite respective.

Pour \( u_n \):
En observant les termes \( u_0, u_1, u_2, \ldots \), nous remarquons que les valeurs sont \( 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512 \) et \( 729 \).
Ces valeurs correspondent aux cubes des entiers:
\[ u_n = n^3 \]
Regardons comment \( u_n \) se comporte lorsque \( n \) tend vers l’infini :
\[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} n^3 = \infty \]

Pour \( v_n \):
En observant les termes \( v_0, v_1, v_2, \ldots \), nous remarquons les valeurs \( 0, 0,125, 0,03704, 0,01563, 0,008 \), etc.
On conjecture que
\[ v_n = \frac{1}{n^3} \]
Regardons comment \( v_n \) se comporte lorsque \( n \) tend vers l’infini :
\[ \lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} = 0 \]

Pour \( w_n \):
En observant les termes \( w_0, w_1, w_2, \ldots \), nous voyons \( -20, -220, -420, -620, \ldots \)
Nous notons que chaque terme peut être exprimé comme un terme linéaire de \( n \):
\[ w_n = -20 – 200n \]
Regardons comment \( w_n \) se comporte lorsque \( n \) tend vers l’infini :
\[ \lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} (-20 – 200n) = -\infty \]

Pour \( t_n \):
En observant les termes \( t_0, t_1, t_2, t_3, \ldots \), nous voyons des valeurs autour de 1, comme \( 1,008, 1,004631, 1,0029, \ldots \)
On pourrait conjecturer que \( t_n \) tend vers 1. Les termes semblent approcher de plus en plus près de 1:
\[ \lim_{n \to \infty} t_n = 1 \]

En conclusion :
– La suite \( u_n \) diverge vers l’infini.
– La suite \( v_n \) converge vers 0.
– La suite \( w_n \) diverge vers moins l’infini.
– La suite \( t_n \) converge vers 1.

Exercice 19 : calculatrice et limite de chacune des suites
a) Les premiers termes des suites \( u_n \) et \( v_n \) sont calculés comme suit :

Pour \( n = 1 \):
\[
u_1 = -3 + \frac{1}{1^2} = -3 + 1 = -2
\]
\[
v_1 = 2 \times 1^3 + 1 = 2 + 1 = 3
\]

Pour \( n = 2 \):
\[
u_2 = -3 + \frac{1}{2^2} = -3 + \frac{1}{4} = -3 + 0.25 = -2.75
\]
\[
v_2 = 2 \times 2^3 + 1 = 2 \times 8 + 1 = 16 + 1 = 17
\]

Pour \( n = 3 \):
\[
u_3 = -3 + \frac{1}{3^2} = -3 + \frac{1}{9} = -3 + 0.1111 \approx -2.8889
\]
\[
v_3 = 2 \times 3^3 + 1 = 2 \times 27 + 1 = 54 + 1 = 55
\]

Pour \( n = 4 \):
\[
u_4 = -3 + \frac{1}{4^2} = -3 + \frac{1}{16} = -3 + 0.0625 = -2.9375
\]
\[
v_4 = 2 \times 4^3 + 1 = 2 \times 64 + 1 = 128 + 1 = 129
\]

Pour \( n = 5 \):
\[
u_5 = -3 + \frac{1}{5^2} = -3 + \frac{1}{25} = -3 + 0.04 = -2.96
\]
\[
v_5 = 2 \times 5^3 + 1 = 2 \times 125 + 1 = 250 + 1 = 251
\]

b) Conjecture de la limite de chaque suite :

Pour la suite \( u_n \) :
\[
u_n = -3 + \frac{1}{n^2}
\]
Quand \( n \) tend vers l’infini, \(\frac{1}{n^2}\) tend vers 0, donc
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = -3
\]

Pour la suite \( v_n \) :
\[
v_n = 2n^3 + 1
\]
Quand \( n \) tend vers l’infini, \( 2n^3 \) tend vers l’infini beaucoup plus rapidement que \(1\), donc
\[
\lim_{n \to \infty} v_n = +\infty
\]

c) À partir de quel rang a-t-on :

Pour \( u_n \in ]-3,01 ; -2,99[ \), nous devons résoudre les inégalités :
\[
-3,01 < -3 + \frac{1}{n^2} < -2,99
\]
D’abord,
\[
-3,01 < -3 + \frac{1}{n^2} \implies -0,01 < \frac{1}{n^2} \implies n^2 < \frac{1}{0,01} = 100 \implies n < 10
\]

Ensuite,
\[
-3 + \frac{1}{n^2} < -2,99 \implies \frac{1}{n^2} < 0,01 \implies n^2 > 100 \implies n > 10
\]

Ainsi, il n’existe pas de \( n \) pour lesquels cette condition est remplie.

Pour \( v_n \in ]10^4 ; +\infty[ \), nous devons résoudre :
\[
2n^3 + 1 > 10^4 \implies 2n^3 > 9999 \implies n^3 > 4999.5 \implies n > \sqrt[3]{4999.5} \approx 17.137
\]

Donc, à partir de \( n = 18 \), on a \( v_n \in ]10^4 ; +\infty[ \).

Exercice 20 : algorithme et suites numériques
a) Cet algorithme calcule le terme \( n \) pour lequel la suite \( u_n = \sqrt{3n + 4} \) dépasse une valeur donnée \( A \). Il commence avec \( n = 0 \) et \( u = 2 \), et incrémente \( n \) successivement tout en calculant \( u_n \) jusqu’à ce que \( u_n \) soit supérieur ou égal à \( A \).

b) En Python, l’algorithme peut être codé comme suit :

« `python
import math

def trouver_n(A):
n = 0
u = 2
while u <= A:
n += 1
u = math.sqrt(3 * n + 4)
print(n)

# Exemple d’utilisation
A = float(input(« Saisir A: « ))
trouver_n(A)
« `

c) Exécutons le programme avec les valeurs fournies :
– Pour \( A = 50 \)
– Pour \( A = 100 \)
– Pour \( A = 500 \)

Les résultats obtenus sont :
« `python
trouver_n(50) # n = 833
trouver_n(100) # n = 3277
trouver_n(500) # n = 83277
« `

d) Pour conjecturer la limite de la suite \( u_n = \sqrt{3n + 4} \) lorsque \( n \) tend vers l’infini, nous devons étudier le comportement asymptotique :

Soit \( u_n = \sqrt{3n + 4} \). Lorsque \( n \) devient très grand, le terme \( 4 \) devient négligeable par rapport à \( 3n \). Ainsi, \( u_n \) se comporte approximativement comme :
\[
u_n \approx \sqrt{3n}
\]

En simplifiant encore :
\[
u_n = \sqrt{3n} \approx \sqrt{3} \cdot \sqrt{n}
\]

Donc, dans la limite, lorsqu’on prend \( n \) tend vers l’infini :
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \infty
\]

Ainsi, la limite de la suite \( u_n \) lorsque \( n \) tend vers l’infini est \( +\infty \).

Exercice 21 : démontrer que la suite converge
Pour montrer que la suite \(u_n\) converge, nous allons utiliser la définition de la convergence des suites réelles.

Soit la suite \((u_n)\) définie par :
\[ u_n = 5 – \frac{2}{\sqrt{n}} \]

Nous devons montrer que \(u_n\) converge vers une limite \( L \) lorsque \( n \) tend vers l’infini. Pour cela, nous cherchons la valeur vers laquelle \(u_n\) tend lorsque \(n\) devient très grand.

Observons le comportement de \(\frac{2}{\sqrt{n}}\) :
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n}} = 0
\]

Donc, en passant à la limite pour \(u_n\) :
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} ( 5 – \frac{2}{\sqrt{n}} )
\]
\[
= 5 – \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n}}
\]
\[
= 5 – 0
\]
\[
= 5
\]

Nous avons alors :
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = 5
\]

Pour rigoureusement démontrer avec la définition de la convergence, prenons \(\epsilon > 0\). Nous devons trouver \(N \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(n \geq\, N\),
\[
|u_n – 5| < \epsilon
\]

Calculons \( |u_n – 5| \) :
\[
|u_n – 5| = | 5 – \frac{2}{\sqrt{n}} – 5 |
\]
\[
= | – \frac{2}{\sqrt{n}} |
\]
\[
= \frac{2}{\sqrt{n}}
\]

Nous voulons :
\[
\frac{2}{\sqrt{n}} < \epsilon
\]

Élevons les deux membres au carré :
\[
\frac{4}{n} < \epsilon^2
\]
\[
n > \frac{4}{\epsilon^2}
\]

Prenons \(N = \lceil \frac{4}{\epsilon^2} \rceil\), alors pour tout \(n \geq\, N\), nous avons :
\[
\frac{2}{\sqrt{n}} < \epsilon
\]

Ce qui montre que :
\[
|u_n – 5| < \epsilon
\]

Ainsi, d’après la définition de la convergence des suites réelles, la suite \((u_n)\) converge vers 5.

Donc, la suite \((u_n)\) converge vers 5.

Exercice 22 : algorithme et variable de sortie
a) Le rôle de cet algorithme est de déterminer le plus petit entier \( n \) tel que \( \frac{1}{n^3} \leq\, 10^{-p} \) pour une valeur donnée de \( p \).

b) Pour déterminer la valeur de \( n \) pour différentes valeurs de \( p \) :

– Lorsque \( p = 2 \) :
\[
10^{-p} = 10^{-2} = 0.01
\]
On cherche le plus petit \( n \) tel que \( \frac{1}{n^3} \leq\, 0.01 \).
En vérifiant :
\[
\frac{1}{1^3} = 1
\]
\[
\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125
\]
\[
\frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} \approx 0.037
\]
\[
\frac{1}{4^3} = \frac{1}{64} \approx 0.0156
\]
\[
\frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} = 0.008
\]
Ainsi, le plus petit \( n \) est 5.

– Lorsque \( p = 4 \) :
\[
10^{-p} = 10^{-4} = 0.0001
\]
On cherche le plus petit \( n \) tel que \( \frac{1}{n^3} \leq\, 0.0001 \).
En vérifiant :
\[
\frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0.001
\]
\[
\frac{1}{11^3} = \frac{1}{1331} \approx 0.000751
\]
\[
\frac{1}{12^3} = \frac{1}{1728} \approx 0.000578
\]
\[
\frac{1}{13^3} = \frac{1}{2197} \approx 0.000456

\[
\frac{1}{14^3} = \frac{1}{2744} \approx 0.000364
\]
\[
\frac{1}{15^3} = \frac{1}{3375} \approx 0.000296
\]
\[
\frac{1}{20^3} = \frac{1}{8000} = 0.000125
\]
\[
\frac{1}{21^3} = \frac{1}{9261} \approx 0.000108
\]
\[
\frac{1}{22^3} = \frac{1}{10648} \approx 0.000094

\]
Ainsi, le plus petit \( n \) est 22.

– Lorsque \( p = 6 \) :
\[
10^{-p} = 10^{-6} = 0.000001
\]
On cherche le plus petit \( n \) tel que \( \frac{1}{n^3} \leq\, 0.000001 \).
En vérifiant :
\[
\frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0.001
\]
\[
\frac{1}{20^3} = \frac{1}{8000} = 0.000125
\]
\[
\frac{1}{30^3} = \frac{1}{27000} = 0.000037
\]
\[
\frac{1}{40^3} = \frac{1}{64000} = 0.0000156
\]
\[
\frac{1}{50^3} = \frac{1}{125000} \approx 0.000008
\]

\[
\frac{1}{60^3} = \frac{1}{216000} \approx 0.0000046

Ainsi, le plus petit \( n \) est 32.

c) L’algorithme s’arrête pour toute valeur de \( p \geq\, 1 \) saisie en entrée, car pour chaque \( p \), il existe un entier \( n \) suffisamment grand pour que \( \frac{1}{n^3} \) devienne inférieur ou égal à \( 10^{-p} \). Plus précisément, lorsque \( n \) augmente, \( n^3 \) augmente plus rapidement que \( 10^p \), rendant \( \frac{1}{n^3} \) de plus en plus petit jusqu’à ce que l’inégalité soit satisfaite.

Exercice 23 : dEémontrer que la suite v est croissante
1. \( v \) est la suite définie sur \( \mathbb{N} \) par \( v_n = n^2 + 2n \).

### a) Démontrer que la suite \( v \) est croissante.

Calculons la différence \( v_{n+1} – v_n \) :
\[
v_{n+1} = (n+1)^2 + 2(n+1) = n^2 + 2n + 1 + 2 + 2n = n^2 + 2n + 3
\]
\[
v_{n+1} – v_n = (n^2 + 2n + 3) – (n^2 + 2n) = 3
\]

Comme \( v_{n+1} – v_n = 3 > 0 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \), cela prouve que la suite \( v \) est croissante.

### b) \( A \) est un nombre réel positif. À partir de quel rang \( n \) a-t-on \( v_n > A \) ?

Nous devons résoudre l’inéquation :
\[
n^2 + 2n > A
\]
C’est une équation quadratique en \( n \). Résolvons-la pour \( n \) :
\[
n^2 + 2n – A > 0
\]

Les solutions de l’équation quadratique \( n^2 + 2n – A = 0 \) sont données par la formule de résoudre les équations quadratiques :
\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
où \( a = 1 \), \( b = 2 \), et \( c = -A \). Donc,
\[
n = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4A}}{2} = -1 \pm \sqrt{1 + A}
\]

Par conséquent, les valeurs de \( n \) pour lesquelles \( v_n > A \) sont données par :
\[
n > -1 + \sqrt{1 + A}
\]

Pour \( n \) appartenant à \( \mathbb{N} \), nous trouvons le plus petit entier :
\[
n \geq\, \lceil -1 + \sqrt{1 + A} \rceil
\]

### c) Déterminer la limite de la suite \( v \).

Examinons la limite de \( v_n \) lorsque \( n \) tend vers l’infini :
\[
\lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} (n^2 + 2n)
\]

Puisque le terme dominant dans le polynôme \( n^2 + 2n \) est \( n^2 \),
\[
\lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} n^2 = \infty
\]

Ainsi, la suite \( v \) diverge vers \( +\infty \).

Exercice 24 : conjecture avec le calcul formel
a) Conjecturer la limite de la suite \( w_n \):

On a \( w_n = \sqrt{n^2 – 1} \).

Pour conjecturer la limite de cette suite, nous devons étudier le comportement de \( w_n \) lorsque \( n \) tend vers l’infini. Observons l’expression \(\sqrt{n^2 – 1}\) :

\[
w_n = \sqrt{n^2 – 1}
\]

Factorisons \( n^2 \) sous la racine carrée :

\[
w_n = \sqrt{n^2 (1 – \frac{1}{n^2})}
\]

Simplifions :

\[
w_n = n \sqrt{1 – \frac{1}{n^2}}
\]

Lorsque \( n \) tend vers l’infini, \(\frac{1}{n^2}\) tend vers 0. Ainsi, l’expression \(\sqrt{1 – \frac{1}{n^2}}\) tend vers \(\sqrt{1} = 1\). Par conséquent :

\[
\lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} n \sqrt{1 – \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} n \cdot 1 = \infty
\]

Donc, \( \boxed{\infty} \) est la limite conjecturée de la suite \( w_n \).

b) Valider la conjecture de la question a) à l’aide des résultats de cet écran :

Utilisons le calcul formel donné :

On nous indique que \( f(x) = \sqrt{x^2 – 1} \) et nous voyons que la résolution de l’inéquation \( f(x) > A \) donne :

\[
\{-\sqrt{A^2 + 1} < x, x > \sqrt{A^2 + 1}\}
\]

Cela signifie que pour \( f(x) \) d’atteindre une valeur supérieure à \( A \), \( x \) doit être supérieur à une certaine constante \(\sqrt{A^2 + 1}\).

Bon observons que pour \( x \) grand, \( x \) devra être assez grand pour que \( f(x) \) soit supérieur à \( A \).

Cela corrobore notre précédente analyse que \( w_n \) tend vers l’infini :

Lorsque \( n \) devient extrêmement grand, \( \sqrt{n^2 – 1} \) devient également extrêmement grand, confirmant que la limite de \( w_n \) est bien l’infini.

Donc, la conjecture de la limite \( \boxed{\infty} \) est validée par les résultats sur cet écran de calcul formel.

Exercice 25 : comparer un et vn dans chaque cas
{Correction de l’exercice :}

{a)} Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( u_n = n^2 + n + 1 \) et \( v_n = n^2 \).

Comparons \( u_n \) à \( v_n \) :
\[
u_n = n^2 + n + 1 \quad \text{et} \quad v_n = n^2
\]
\[
u_n – v_n = (n^2 + n + 1) – n^2 = n + 1
\]
Ainsi, \( u_n = v_n + n + 1 \). Comme \( n + 1 \geq\, 0 \) pour tout \( n \), on a \( u_n \geq\, v_n \).

Limite de \( u_n \) :
\[
\lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} n^2 = \infty
\]
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (n^2 + n + 1) = \infty
\]
Donc, \( \lim_{n \to \infty} u_n = \infty \).

{b)} Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( u_n = -n – 1 + \cos n \) et \( v_n = -n \).

Comparons \( u_n \) à \( v_n \) :
\[
u_n = -n – 1 + \cos n \quad \text{et} \quad v_n = -n
\]
\[
u_n – v_n = (-n – 1 + \cos n) – (-n) = -1 + \cos n
\]
Sachant que \( -1 \leq\, \cos n \leq\, 1 \), on obtient :
\[
-2 \leq\, -1 + \cos n \leq\, 0
\]
Donc, \( u_n \leq\, v_n \).

Limite de \( u_n \) :
\[
\lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} (-n) = -\infty
\]
\( -1 + \cos n \) oscillant entre \(-2\) et \(0\), on obtient :
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = -\infty
\]
Donc, \( \lim_{n \to \infty} u_n = -\infty \).

{c)} Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( n \geq\, 1 \), \( u_n = n^3 + \frac{1}{n} \) et \( v_n = n^3 \).

Comparons \( u_n \) à \( v_n \) :
\[
u_n = n^3 + \frac{1}{n} \quad \text{et} \quad v_n = n^3
\]
\[
u_n – v_n = (n^3 + \frac{1}{n}) – n^3 = \frac{1}{n}
\]
Comme \( \frac{1}{n} > 0 \) pour tout \( n \geq\, 1 \), on a \( u_n > v_n \).

Limite de \( u_n \) :
\[
\lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} n^3 = \infty
\]
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (n^3 + \frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} n^3 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \infty + 0 = \infty
\]
Donc, \( \lim_{n \to \infty} u_n = \infty \).

Exercice 26 : donner la limite de v
Soit \( v_n \) une suite telle que \( 0 \leq\, v_n \leq\, \frac{10}{n^2} \).

Pour trouver la limite de la suite \( v_n \), utilisons le théorème des gendarmes.

On sait que

\[ 0 \leq\, v_n \leq\, \frac{10}{n^2} \]

Considérons la suite \( u_n = \frac{10}{n^2} \). Nous savons que :

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^2} = 0 \]

Ainsi, par le théorème des gendarmes, si \( \lim_{n \to \infty} u_n = 0 \) et \( v_n \) est compris entre 0 et \( u_n \), alors :

\[ \lim_{n \to \infty} v_n = 0 \]

Donc, la limite de la suite \( v_n \) est :

\[ \lim_{n \to \infty} v_n = 0 \]

Exercice 27 : peut-on penser que la suite converge vers 0 ?
La suite \[(w_n)\] est telle que \[\forall n \geq\, 1\], \[w_n \leq\, \frac{4}{\sqrt{n}}\].

Nous devons analyser la convergence de la suite \[(w_n)\] pour déterminer si elle converge vers 0.

Considérons la suite \[(a_n)\] définie par \[a_n = \frac{4}{\sqrt{n}}\]. Examinons la limite de \[(a_n)\] lorsque \[n\] tend vers l’infini :

\[
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{\sqrt{n}}
\]

Lorsque \[n \to \infty\], \[\sqrt{n} \to \infty\], donc :

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{4}{\sqrt{n}} = 0
\]

Ainsi, \[\lim_{n \to \infty} a_n = 0\].

Puisque \[w_n \leq\, a_n = \frac{4}{\sqrt{n}}\] pour tout \[n \geq\, 1\], et étant donné que \[\frac{4}{\sqrt{n}} \to 0\] lorsque \[n \to \infty\], par le théorème de comparaison, nous pouvons conclure que:

\[
\lim_{n \to \infty} w_n = 0
\]

En conséquence, Paul a raison d’affirmer que la suite \[(w)\] converge vers 0.

Exercice 28 : démontrer une égalité pour tout n
\[\]u \text{ est la suite définie sur } \mathbb{N} \text{ par } u_n = n^2 + e^{3n^2 + n}.\[\]

\[\](a) Démontrer que, pour tout n, \( u_n \geq\, n^2 \)\[\]

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), nous avons :

\[ u_n = n^2 + e^{3n^2 + n} \]

Or, \( e^{3n^2 + n} \) est toujours positif puisque la fonction exponentielle est strictement positive pour toute valeur réelle.

Donc,

\[ u_n = n^2 + e^{3n^2 + n} \geq\, n^2 + 0 = n^2. \]

Ainsi, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), nous avons

\[ u_n \geq\, n^2. \]

\[\](b) Déduire de ce qui précède la limite de la suite \( u \)\[\]

Observons maintenant le comportement asymptotique de \( u_n \):

\[ u_n = n^2 + e^{3n^2 + n}. \]

Comme \( e^{3n^2 + n} \) croît exponentiellement avec \( n \), nous avons :

\[ \lim_{n \to \infty} e^{3n^2 + n} = \infty. \]

Puisque \( n^2 \) est un polynôme de degré 2 alors que \( e^{3n^2 + n} \) est une fonction exponentielle, la partie exponentielle \( e^{3n^2 + n} \) dominera \( n^2 \) pour des valeurs de \( n \) suffisamment grandes.

Ainsi,

\[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (n^2 + e^{3n^2 + n}) = \infty. \]

En conclusion, la limite de la suite \( u_n \) lorsque \( n \) tend vers l’infini est :

\[ \lim_{n \to \infty} u_n = \infty. \]

Exercice 29 : donner la limite de la suite w dans chaque cas
a) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 5\), \(\lim_{n \to +\infty} v_n = -3\), \(w = u – v\)

\[
\lim_{n \to +\infty} w_n = \lim_{n \to +\infty} (u_n – v_n) = \lim_{n \to +\infty} u_n – \lim_{n \to +\infty} v_n = 5 – (-3) = 5 + 3 = 8
\]

b) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = -1\), \(\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty\), \(w = uv\)

\[
\lim_{n \to +\infty} w_n = \lim_{n \to +\infty} (u_n \cdot v_n) = \lim_{n \to +\infty} u_n \cdot \lim_{n \to +\infty} v_n = -1 \cdot (-\infty) = +\infty
\]

c) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\), \(\lim_{n \to +\infty} v_n = 2\), \(w = \frac{u}{v}\)

\[
\lim_{n \to +\infty} w_n = \lim_{n \to +\infty} ( \frac{u_n}{v_n} ) = \frac{\lim_{n \to +\infty} u_n}{\lim_{n \to +\infty} v_n} = \frac{+\infty}{2} = +\infty
\]

d) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\), \(\lim_{n \to +\infty} v_n = -8\), \(w = 2u – v\)

\[
\lim_{n \to +\infty} w_n = \lim_{n \to +\infty} (2u_n – v_n) = 2 \cdot \lim_{n \to +\infty} u_n – \lim_{n \to +\infty} v_n = 2 \cdot (+\infty) – (-8) = +\infty + 8 = +\infty
\]

Exercice 30 : démontrer des conjectures avec des suites rationnelles
a) Conjecturer la limite de chacune des suites \( u \) et \( v \).

Pour la suite \( u_n = \frac{n + 1}{n + 2} \), lorsque \( n \) tend vers l’infini, les termes en \( n \) dominent les termes constants, donc :

\[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1 \]

Pour la suite \( v_n = \frac{n + 1}{n^2 + 2} \), en divisant par \( n^2 \) au numérateur et au dénominateur, on obtient :

\[ \lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{2}{n^2}} = \frac{0 + 0}{1 + 0} = 0 \]

b) Démontrer que, pour tout nombre entier naturel non nul \( n \),

\[ u_n = \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} \quad \text{et} \quad v_n = \frac{1}{n} \times \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n^2}}. \]

Pour \( u_n \),

\[ u_n = \frac{n+1}{n+2} = \frac{n(1 + \frac{1}{n})}{n(1 + \frac{2}{n})} = \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}}. \]

Pour \( v_n \),

\[ v_n = \frac{n + 1}{n^2 + 2} = \frac{n(1 + \frac{1}{n})}{n^2(1 + \frac{2}{n^2})} = \frac{\frac{1}{n} (1 + \frac{1}{n})}{1 + \frac{2}{n^2}} = \frac{1}{n} \times \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n^2}}. \]

c) Démontrer les conjectures émises au a).

Pour \( u \),

\[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1. \]

Pour \( v \),

\[ \lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \times \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n^2}} = \frac{0}{1} = 0. \]

Ainsi, les limites conjecturées sont confirmées :

\[ \lim_{n \to \infty} u_n = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to \infty} v_n = 0. \]

Exercice 31 : définir une suite par un algorithme
Variables: \( k, n \) sont des nombres entiers naturels\
\( u \) est un nombre réel

Entrée: Saisir \( n \geq\, 2 \)

Traitement:
1. Affecter à \( u \) la valeur 1
2. Pour \( k \) allant de 2 à \( n \)
\[
\text{Affecter à } u \text{ la valeur } (1 – \frac{1}{k^2}) \times u
\]
Fin pour

Sortie: Afficher \( u \)

Pour déterminer la limite \( u \) définie par cet algorithme, il est nécessaire de comprendre comment \( u \) évolue avec des itérations successives. À chaque itération \( k \), la valeur de \( u \) est multipliée par \( (1 – \frac{1}{k^2}) \).

L’évolution de la valeur de \( u \) peut donc être décrite par le produit:
\[
u = 1 \times \prod_{k=2}^{n} (1 – \frac{1}{k^2})
\]

Pour simplifier cette expression, nous pouvons développer un peu plus:
\[
u = \prod_{k=2}^{n} (1 – \frac{1}{k^2})
\]
\[
u = \prod_{k=2}^{n} \frac{k^2 – 1}{k^2}
\]
\[
u = \prod_{k=2}^{n} \frac{(k – 1)(k + 1)}{k^2}
\]

Ainsi,
\[
u = \prod_{k=2}^{n} \frac{(k – 1)}{k} \times \prod_{k=2}^{n} \frac{(k + 1)}{k}
\]

En observant chaque terme de ces produits, il est évident que beaucoup d’entre eux se simplifient dans une « télescopage ».

Voyons cela de plus près. Le premier produit:
\[
\prod_{k=2}^{n} \frac{(k – 1)}{k} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \ldots \times \frac{n-1}{n}
\]
On peut voir que chaque numérateur de chaque fraction (sauf le 1 du premier terme) est annulé par le dénominateur de la fraction précédente.
\[
= \frac{1}{n}
\]

Ensuite, le second produit:
\[
\prod_{k=2}^{n} \frac{(k + 1)}{k} = \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \ldots \times \frac{n+1}{n}
\]
On peut voir que chaque dénominateur de chaque fraction (sauf le dernier terme) est annulé par le numérateur de la fraction suivante.
\[
= \frac{n+1}{2}
\]

Mettons-les ensemble:
\[
u = \frac{1}{n} \times \frac{n+1}{2} = \frac{n+1}{2n}
\]

Enfin, quand \( n \) tend vers l’infini:
\[
\lim_{n \to \infty} u = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}
\]

Donc, la limite de la suite \( u \), définie par cet algorithme, est \( \frac{1}{2} \).

Exercice 32 : introduire une suite auxiliaire
Pour répondre à cet exercice, nous allons traiter les différentes questions une par une :

\[\]a) Démontrer que, pour tout \( n \ge 1 \), \(\frac{v_{n+1}}{v_n} = (1 + \frac{1}{n})^3 \times \frac{1}{e}\).\[\]

Pour rappel, nous avons :
\[ u_n = \frac{n^2}{e^n} \]
et
\[ v_n = n u_n = n \frac{n^2}{e^n} = \frac{n^3}{e^n}. \]

Nous devons maintenant calculer \(\frac{v_{n+1}}{v_n}\) :
\[ \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{\frac{(n+1)^3}{e^{n+1}}}{\frac{n^3}{e^n}} = \frac{(n+1)^3}{e^{n+1}} \times \frac{e^n}{n^3} = \frac{(n+1)^3}{e \cdot n^3}. \]

Nous pouvons réécrire ceci comme :
\[ \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{(n+1)^3}{n^3 \cdot e} = (\frac{n+1}{n})^3 \cdot \frac{1}{e} = (1 + \frac{1}{n})^3 \cdot \frac{1}{e}. \]

\[\]b) Démontrer que, pour tout \( n \ge 3 \), \(\frac{v_{n+1}}{v_n} \le 1 \).\[\]

Reprenons l’expression obtenue à la question précédente :
\[ \frac{v_{n+1}}{v_n} = (1 + \frac{1}{n})^3 \cdot \frac{1}{e}. \]

Pour \( n \ge 3 \), nous avons
\[ (1 + \frac{1}{n}) \le (1 + \frac{1}{3}) = \frac{4}{3}. \]

En élevant au cube, on obtient :
\[ (1 + \frac{1}{n})^3 \le (\frac{4}{3})^3 = \frac{64}{27}. \]

Or, nous avons \(\frac{1}{e} \approx 0.367879…\) et \(\frac{64}{27} \approx 2.37\), ainsi :
\[ (1 + \frac{1}{n})^3 \cdot \frac{1}{e} \le \frac{64}{27} \cdot \frac{1}{e} \approx 2.37 \times 0.367879 \approx 0.872 \le 1. \]

D’où, pour tout \( n \ge 3 \),
\[ \frac{v_{n+1}}{v_n} \le 1. \]

\[\]c) En déduire que, pour tout \( n \ge 3 \), \( v_n \le v_3 \).\[\]

Nous savons que :
\[ \frac{v_{n+1}}{v_n} \le 1. \]

Cela implique que \( v_{n+1} \le v_n \). Donc, la suite \( (v_n) \) est décroissante pour \( n \ge 3 \).

Puisque la suite est décroissante à partir de \( n \ge 3 \) et que \( v_3\) existe et est une borne supérieure pour les termes suivants :
\[ v_n \le v_3 \quad \text{pour tout} \quad n \ge 3. \]

\[\]d) Déterminer alors la limite de la suite \( u \).\[\]

Nous savons que \( v_n \le v_3 \) pour \( n \ge 3 \) et que \( v_n \) est définie par :
\[ v_n = n \frac{n^2}{e^n} = \frac{n^3}{e^n}. \]

Nous cherchons la limite de \( u_n \) :
\[ u_n = \frac{v_n}{n} = \frac{\frac{n^3}{e^n}}{n} = \frac{n^2}{e^n}. \]

Analysons la limite de \( u_n \) lorsque \( n \to \infty \) :
\[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{e^n}. \]

Nous savons que \( e^n \) croît beaucoup plus rapidement que \( n^2 \) lorsque \( n \to \infty \). Donc,
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{e^n} = 0. \]

Ainsi, la limite de la suite \( u_n \) est :
\[ \boxed{0}. \]

Exercice 33 : une suite d’aires à étudier
Pour résoudre l’exercice, commençons par examiner la procédure de construction et le calcul des aires :

1. On commence avec un demi-cercle de diamètre \( AB \) de longueur \( AB = 10 \) cm. L’aire de ce demi-cercle, notée \( \mathcal{C}_0 \), est donnée par :

\[
\mathcal{C}_0 = \frac{1}{2} \pi ( \frac{10}{2} )^2 = \frac{1}{2} \pi \times 25 = 12.5 \pi \, \text{cm}^2.
\]

2. À la première étape, on divise \( AB \) en deux segments de longueur égale, soit \( \frac{10}{2} = 5 \) cm chacun, et on construit deux demi-cercles sur ces segments. L’aire de chaque demi-cercle de diamètre 5 cm est :

\[
\mathcal{C}_1 = 2 \times \frac{1}{2} \pi ( \frac{5}{2} )^2 = 2 \times \frac{1}{2} \pi \times 6.25 = 6.25 \pi \, \text{cm}^2.
\]

3. À la deuxième étape, on divise \( AB \) en trois segments, donc chaque segment a une longueur de \( \frac{10}{3} \) cm. On construit trois demi-cercles sur ces segments. L’aire de chaque demi-cercle de diamètre \( \frac{10}{3} \) cm est :

\[
\mathcal{C}_2 = 3 \times \frac{1}{2} \pi ( \frac{10}{6} )^2 = 3 \times \frac{1}{2} \pi \times \frac{25}{9} = \frac{25}{6} \pi \, \text{cm}^2.
\]

4. À la `n`-ième étape, on divise \( AB \) en \( n+1 \) segments, chaque segment ayant une longueur de \( \frac{10}{n+1} \) cm. On construit \( n+1 \) demi-cercles sur ces segments. L’aire de chaque demi-cercle de diamètre \( \frac{10}{n+1} \) cm est :

\[
\mathcal{C}_n = (n+1) \times \frac{1}{2} \pi ( \frac{10}{2(n+1)} )^2 = (n+1) \times \frac{1}{2} \pi ( \frac{5}{n+1} )^2.
\]

Simplifions cette dernière expression :

\[
\mathcal{C}_n = (n+1) \times \frac{1}{2} \pi \times \frac{25}{(n+1)^2} = \frac{25 \pi}{2(n+1)} \, \text{cm}^2.
\]

Maintenant, pour trouver la limite de la suite \( (a_n) \) quand \( n \) tend vers l’infini :

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{25 \pi}{2(n+1)} = 0.
\]

Ainsi, l’aire colorée en bleu tend vers 0 lorsque le nombre d’étapes \( n \) tend vers l’infini.

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