Limites de suites : corrigé des exercices de maths en terminale.

Exercice 11 : l’étude de la limite de la suite
a) \( u_n = n^2 + 5n – 100 \)

Nous avons :

\[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (n^2 + 5n – 100) \]

Les termes \( 5n \) et \( -100 \) sont négligeables devant \( n^2 \) lorsque \( n \) tend vers l’infini.

Donc :

\[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} n^2 = +\infty \]

b) \( v_n = -n^3 + 6n + 3 \)

Nous avons :

\[ \lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} (-n^3 + 6n + 3) \]

Les termes \( 6n \) et \( 3 \) sont négligeables devant \( -n^3 \) lorsque \( n \) tend vers l’infini.

Donc :

\[ \lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} (-n^3) = -\infty \]

c) \( w_n = \frac{n^2 – 3}{n^2 + 1} \)

Nous avons :

\[ \lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 – 3}{n^2 + 1} \]

En divisant le numérateur et le dénominateur par \( n^2 \), nous obtenons :

\[ \lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1 – \frac{3}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}} \]

Lorsque \( n \) tend vers l’infini, les termes \( \frac{3}{n^2} \) et \( \frac{1}{n^2} \) tendent vers 0.

Donc :

\[ \lim_{n \to \infty} w_n = \frac{1 – 0}{1 + 0} = 1 \]

Exercice 12 : calcul formel Avec Xcas et limite obtenue
Pour la suite définie par \( u(n) = -2n – \sqrt{n} \), nous devons déterminer la limite de \( u(n) \) lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \).

Écrivons d’abord l’expression exacte de \( u(n) \) :

\[ u(n) = -2n – \sqrt{n} \]

Nous analysons la manière dont chaque terme se comporte lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \).

1. Le terme \(-2n\) :
\[ \lim_{n \to +\infty} (-2n) = -\infty \]

2. Le terme \(-\sqrt{n}\) :
\[ \lim_{n \to +\infty} (-\sqrt{n}) = -\infty \]

Comme la somme de deux termes négatifs infinis est également négative infinie, nous pouvons dire

\[ \lim_{n \to +\infty} (-2n – \sqrt{n}) = -\infty. \]

Ainsi, la limite de \( u(n) \) lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \) est :

\[ \boxed{-\infty} \]

Exercice 13 : dans chaque cas, étudier la limite de la suite
{Correction:}

1. {Étude de la limite de la suite} \( (u_n) \) :

Nous avons \[ u_n = \frac{n}{n^2 + 3} \]

Pour étudier la limite de \(u_n\) lorsque \(n\) tend vers l’infini, nous divisons le numérateur et le dénominateur par \(n^2\) :
\[ u_n = \frac{\frac{n}{n^2}}{\frac{n^2 + 3}{n^2}} = \frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{3}{n^2}} \]

Lorsque \( n \to \infty \), \(\frac{1}{n} \to 0\) et \(\frac{3}{n^2} \to 0\) donc :
\[ u_n \to \frac{0}{1 + 0} = 0 \]

Donc, la limite de \(u_n\) est \(0\) :
\[ \lim_{n \to \infty} u_n = 0 \]

2. {Étude de la limite de la suite} \( (v_n) \) :

Nous avons \[ v_n = \frac{n^2 + n + 1}{n + 1} \]

Pour simplifier, nous divisons le numérateur et le dénominateur par \(n\) :
\[ v_n = \frac{n^2 + n + 1}{n + 1} = \frac{n(n + 1 + \frac{1}{n})}{n (1 + \frac{1}{n})} = \frac{n^2 + n + 1}{n + 1} = n + 1 – \frac{n}{n + 1} \]

On remarque que :
\[ n + 1 – \frac{n}{n+1} \approx n +1 – 1 = n \]

Et :
\[ \frac{n^1}{1+n} on divise en lui meme = 1 \]

Donc quand \( n \) tend vers \(\infty\), ça donne \( n+1 \)

Donc :
\[ v_x \approx n+ 0/n \approx n \]

3. {Étude de la limite de la suite} \( (w_n) \) pour \( n \geq\, 2 \) :

Nous avons \[ w_n = \frac{5n}{1 – n} = – \frac{5n}{n – 1} = – \frac{5}{1 – \frac{1}{n}} \]

Lorsque \( n \to \infty \), \(\frac{1}{n} \to 0\), donc :
\[ w_n \sim -\frac{5}{1 – \frac{1}{\infty}} = 0 \]

Donc, la limite de \(w_n\) est donc :
\[ \lim_{n \to \infty} w_n = 0 \]

Exercice 14 : suite récurrente et conjecture de la limite
\[\]Correction de l’exercice de mathématiques :\[\]

\[\]1. b) Conjecturer une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).\[\]

Observons quelques termes de la suite \(u\) :

– \(u_0 = 0\)
– \(u_1 = u_0 + 2 \times 0 – 1 = -1\)
– \(u_2 = u_1 + 2 \times 1 – 1 = -1 + 2 – 1 = 0\)
– \(u_3 = u_2 + 2 \times 2 – 1 = 0 + 4 – 1 = 3\)

Nous remarquons que la suite semble être liée à une fonction quadratique. Conjecturons que \(u_n = \frac{n(n-1)}{2}\).

\[\]2. a) Démontrer cette conjecture.\[\]

On va démontrer par récurrence que \(u_n = \frac{n(n-1)}{2}\).

1. Initialisation : Pour \(n = 0\),
\[
u_0 = 0
\]
et
\[
\frac{0(0-1)}{2} = 0
\]
Donc, \(P(0)\) est vraie.

2. Hérédité : Supposons que \(P(k)\) est vraie, c’est-à-dire que \(u_k = \frac{k(k-1)}{2}\) pour un certain \(k \geq\, 0\).
Montrons que \(P(k+1)\) est vraie.

\[
u_{k+1} = u_k + 2k – 1
\]
D’après l’hypothèse de récurrence,
\[
u_{k+1} = \frac{k(k-1)}{2} + 2k – 1
\]

Simplifions la dernière expression :
\[
u_{k+1} = \frac{k(k-1) + 4k – 2}{2} = \frac{k^2 – k + 4k – 2}{2} = \frac{k^2 + 3k – 2}{2}
\]
Remarquons que :
\[
\frac{(k+1)k}{2} = \frac{k^2 + k}{2}
\]
En simplifiant :
\[
\frac{(k+1)(k)}{2} = \frac{k^2 + k}{2} = \frac{k^2 + 3k – 2}{2}
\]

Donc l’hypothèse de récurrence est vérifiée. La formule conjecturée est démontrée par récurrence.

\[\]2. b) En déduire la limite de la suite \(u\).\[\]

La suite \(u_n\) est donnée par :
\[
u_n = \frac{n(n-1)}{2}
\]
Pour calculer la limite de \(u_n\) lorsque \(n \to \infty\) :
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)}{2}
\]

Puisque \(\frac{n(n-1)}{2} \) tend vers \(\infty\) quand \(n\) tend vers \(\infty\), la limite de cette suite est \(\infty\).

Ainsi, \(u_n \to \infty \) lorsque \(n \to \infty\).

Exercice 15 : tableur et conjecture de l’expression de la suite en fonction de n
a) Voici les valeurs de \( v_n \) et \( n^2 \) pour les premières valeurs de \( n \) :

\[
\begin{array}{c|c|c}
n v_n n^2 \\
\hline
1 \frac{3}{1}(1 \times 0) = 0 1 \\
2 \frac{3}{2}(1 \times 0 + 2 \times 1) = 3 4 \\
3 \frac{3}{3}(1 \times 0 + 2 \times 1 + 3 \times 2) = 5 9 \\
4 \frac{3}{4}(1 \times 0 + 2 \times 1 + 3 \times 2 + 4 \times 3) = 9 16 \\
5 \frac{3}{5}(1 \times 0 + 2 \times 1 + 3 \times 2 + 4 \times 3 + 5 \times 4) = 15 25 \\
\end{array}
\]

On observe que \( v_n \) et \( n^2 \) prennent des valeurs proches mais \( v_n \) augmente plus lentement que \( n^2 \).

b) Pour conjecturer une expression de \( v_n \), réécrivons \( v_n \) en développant la somme :

\[
v_n = \frac{3}{n} \sum_{k=1}^{n} k(k-1)
\]

Or,

\[
k(k-1) = k^2 – k
\]

Donc,

\[
v_n = \frac{3}{n} \sum_{k=1}^{n} (k^2 – k)
\]

Divisons la somme :

\[
v_n = \frac{3}{n} ( \sum_{k=1}^{n} k^2 – \sum_{k=1}^{n} k )
\]

On utilise les formules des sommes :

\[
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

\[
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
\]

En substituant, nous obtenons :

\[
v_n = \frac{3}{n} ( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} – \frac{n(n+1)}{2} )
\]

Simplifions l’expression :

\[
v_n = \frac{3}{n} ( \frac{n(n+1)(2n+1) – 3n(n+1)}{6} )
\]

\[
v_n = \frac{3}{n} ( \frac{n(n+1)(2n+1 – 3)}{6} )
\]

\[
v_n = \frac{3}{n} ( \frac{n(n+1)(2n-2)}{6} )
\]

\[
v_n = \frac{3}{n} ( \frac{n(n+1) \cdot 2(n-1)}{6} )
\]

\[
v_n = \frac{3}{n} ( \frac{2n(n+1)(n-1)}{6} )
\]

\[
v_n = \frac{3}{n} ( \frac{n(n+1)(n-1)}{3} )
\]

\[
v_n = n(n+1)(n-1)
\]

Donc, l’expression conjecturée de \( v_n \) est :

\[
v_n = n(n^2 – 1)
\]

c) En admettant la conjecture précédente, on peut déterminer la limite de la suite \( v_n \).

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{v_n}{n^2}
\]

Substituons \( v_n = n(n^2 – 1) \):

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{n(n^2 – 1)}{n^2} = \lim_{n \to \infty} ( n – \frac{1}{n} ) = \infty – 0 = \infty
\]

La limite de la suite \( v_n \) quand \( n \) tend vers l’infini est donc \( \infty \).

Exercice 16 : donner la limite de chaque suite
a) La suite \( u_n = -7n \) est une suite arithmétique dont le terme général est \( -7n \). Lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \),

\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} (-7n) = -\infty. \]

b) La suite \( u_n = e^{-n} \) est une suite exponentielle décroissante. Lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \),

\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} e^{-n} = 0. \]

c) La suite \( u_n = \sqrt{n} \) est une suite qui croît à mesure que \( n \) augmente. Lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \),

\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty. \]

d) La suite \( u_n = \frac{4}{n^2} \) est une suite dont le terme général tend vers zéro à mesure que \( n \) augmente. Lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \),

\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{4}{n^2} = 0. \]

Exercice 17 : dire si la suite définie a pour limite l’infini
{Correction de l’exercice:}

a) Soit \( u_n = 2 + 4n \)

\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (2 + 4n) = 2 + \lim_{n \to \infty} 4n = 2 + \infty = \infty
\]

Donc, \( (u_n) \) a pour limite \( +\infty \).

b) Soit \( v_n = -n + 3 \)

\[
\lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} (-n + 3) = -\lim_{n \to \infty} n + 3 = -\infty + 3 = -\infty
\]

Donc, \( (v_n) \) n’a pas pour limite \( +\infty \).

c) Soit \( w_n = \frac{1}{n^2 + 1} \)

\[
\lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + 1} = \frac{1}{\infty} = 0
\]

Donc, \( (w_n) \) n’a pas pour limite \( +\infty \).

d) Soit \( t_n = 5n^3 \)

\[
\lim_{n \to \infty} t_n = \lim_{n \to \infty} 5n^3 = 5 \lim_{n \to \infty} n^3 = 5 \cdot \infty = \infty
\]

Donc, \( (t_n) \) a pour limite \( +\infty \).

Exercice 18 : tableur et conjecture de la limite
La correction de cet exercice consiste à étudier les suites \( u_n \), \( v_n \), \( w_n \) et \( t_n \) et à conjecturer leur limite respective.

Pour \( u_n \):
En observant les termes \( u_0, u_1, u_2, \ldots \), nous remarquons que les valeurs sont \( 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512 \) et \( 729 \).
Ces valeurs correspondent aux cubes des entiers:
\[ u_n = n^3 \]
Regardons comment \( u_n \) se comporte lorsque \( n \) tend vers l’infini :
\[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} n^3 = \infty \]

Pour \( v_n \):
En observant les termes \( v_0, v_1, v_2, \ldots \), nous remarquons les valeurs \( 0, 0,125, 0,03704, 0,01563, 0,008 \), etc.
On conjecture que
\[ v_n = \frac{1}{n^3} \]
Regardons comment \( v_n \) se comporte lorsque \( n \) tend vers l’infini :
\[ \lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} = 0 \]

Pour \( w_n \):
En observant les termes \( w_0, w_1, w_2, \ldots \), nous voyons \( -20, -220, -420, -620, \ldots \)
Nous notons que chaque terme peut être exprimé comme un terme linéaire de \( n \):
\[ w_n = -20 – 200n \]
Regardons comment \( w_n \) se comporte lorsque \( n \) tend vers l’infini :
\[ \lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} (-20 – 200n) = -\infty \]

Pour \( t_n \):
En observant les termes \( t_0, t_1, t_2, t_3, \ldots \), nous voyons des valeurs autour de 1, comme \( 1,008, 1,004631, 1,0029, \ldots \)
On pourrait conjecturer que \( t_n \) tend vers 1. Les termes semblent approcher de plus en plus près de 1:
\[ \lim_{n \to \infty} t_n = 1 \]

En conclusion :
– La suite \( u_n \) diverge vers l’infini.
– La suite \( v_n \) converge vers 0.
– La suite \( w_n \) diverge vers moins l’infini.
– La suite \( t_n \) converge vers 1.

Exercice 19 : calculatrice et limite de chacune des suites
a) Les premiers termes des suites \( u_n \) et \( v_n \) sont calculés comme suit :

Pour \( n = 1 \):
\[
u_1 = -3 + \frac{1}{1^2} = -3 + 1 = -2
\]
\[
v_1 = 2 \times 1^3 + 1 = 2 + 1 = 3
\]

Pour \( n = 2 \):
\[
u_2 = -3 + \frac{1}{2^2} = -3 + \frac{1}{4} = -3 + 0.25 = -2.75
\]
\[
v_2 = 2 \times 2^3 + 1 = 2 \times 8 + 1 = 16 + 1 = 17
\]

Pour \( n = 3 \):
\[
u_3 = -3 + \frac{1}{3^2} = -3 + \frac{1}{9} = -3 + 0.1111 \approx -2.8889
\]
\[
v_3 = 2 \times 3^3 + 1 = 2 \times 27 + 1 = 54 + 1 = 55
\]

Pour \( n = 4 \):
\[
u_4 = -3 + \frac{1}{4^2} = -3 + \frac{1}{16} = -3 + 0.0625 = -2.9375
\]
\[
v_4 = 2 \times 4^3 + 1 = 2 \times 64 + 1 = 128 + 1 = 129
\]

Pour \( n = 5 \):
\[
u_5 = -3 + \frac{1}{5^2} = -3 + \frac{1}{25} = -3 + 0.04 = -2.96
\]
\[
v_5 = 2 \times 5^3 + 1 = 2 \times 125 + 1 = 250 + 1 = 251
\]

b) Conjecture de la limite de chaque suite :

Pour la suite \( u_n \) :
\[
u_n = -3 + \frac{1}{n^2}
\]
Quand \( n \) tend vers l’infini, \(\frac{1}{n^2}\) tend vers 0, donc
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = -3
\]

Pour la suite \( v_n \) :
\[
v_n = 2n^3 + 1
\]
Quand \( n \) tend vers l’infini, \( 2n^3 \) tend vers l’infini beaucoup plus rapidement que \(1\), donc
\[
\lim_{n \to \infty} v_n = +\infty
\]

c) À partir de quel rang a-t-on :

Pour \( u_n \in ]-3,01 ; -2,99[ \), nous devons résoudre les inégalités :
\[
-3,01 < -3 + \frac{1}{n^2} < -2,99
\]
D’abord,
\[
-3,01 < -3 + \frac{1}{n^2} \implies -0,01 < \frac{1}{n^2} \implies n^2 < \frac{1}{0,01} = 100 \implies n < 10
\]

Ensuite,
\[
-3 + \frac{1}{n^2} < -2,99 \implies \frac{1}{n^2} < 0,01 \implies n^2 > 100 \implies n > 10
\]

Ainsi, il n’existe pas de \( n \) pour lesquels cette condition est remplie.

Pour \( v_n \in ]10^4 ; +\infty[ \), nous devons résoudre :
\[
2n^3 + 1 > 10^4 \implies 2n^3 > 9999 \implies n^3 > 4999.5 \implies n > \sqrt[3]{4999.5} \approx 17.137
\]

Donc, à partir de \( n = 18 \), on a \( v_n \in ]10^4 ; +\infty[ \).

Exercice 20 : algorithme et suites numériques
a) Cet algorithme calcule le terme \( n \) pour lequel la suite \( u_n = \sqrt{3n + 4} \) dépasse une valeur donnée \( A \). Il commence avec \( n = 0 \) et \( u = 2 \), et incrémente \( n \) successivement tout en calculant \( u_n \) jusqu’à ce que \( u_n \) soit supérieur ou égal à \( A \).

b) En Python, l’algorithme peut être codé comme suit :

« `python
import math

def trouver_n(A):
n = 0
u = 2
while u <= A:
n += 1
u = math.sqrt(3 * n + 4)
print(n)

# Exemple d’utilisation
A = float(input(« Saisir A: « ))
trouver_n(A)
« `

c) Exécutons le programme avec les valeurs fournies :
– Pour \( A = 50 \)
– Pour \( A = 100 \)
– Pour \( A = 500 \)

Les résultats obtenus sont :
« `python
trouver_n(50) # n = 833
trouver_n(100) # n = 3277
trouver_n(500) # n = 83277
« `

d) Pour conjecturer la limite de la suite \( u_n = \sqrt{3n + 4} \) lorsque \( n \) tend vers l’infini, nous devons étudier le comportement asymptotique :

Soit \( u_n = \sqrt{3n + 4} \). Lorsque \( n \) devient très grand, le terme \( 4 \) devient négligeable par rapport à \( 3n \). Ainsi, \( u_n \) se comporte approximativement comme :
\[
u_n \approx \sqrt{3n}
\]

En simplifiant encore :
\[
u_n = \sqrt{3n} \approx \sqrt{3} \cdot \sqrt{n}
\]

Donc, dans la limite, lorsqu’on prend \( n \) tend vers l’infini :
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \infty
\]

Ainsi, la limite de la suite \( u_n \) lorsque \( n \) tend vers l’infini est \( +\infty \).

Exercice 21 : démontrer que la suite converge
Pour montrer que la suite \(u_n\) converge, nous allons utiliser la définition de la convergence des suites réelles.

Soit la suite \((u_n)\) définie par :
\[ u_n = 5 – \frac{2}{\sqrt{n}} \]

Nous devons montrer que \(u_n\) converge vers une limite \( L \) lorsque \( n \) tend vers l’infini. Pour cela, nous cherchons la valeur vers laquelle \(u_n\) tend lorsque \(n\) devient très grand.

Observons le comportement de \(\frac{2}{\sqrt{n}}\) :
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n}} = 0
\]

Donc, en passant à la limite pour \(u_n\) :
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} ( 5 – \frac{2}{\sqrt{n}} )
\]
\[
= 5 – \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n}}
\]
\[
= 5 – 0
\]
\[
= 5
\]

Nous avons alors :
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = 5
\]

Pour rigoureusement démontrer avec la définition de la convergence, prenons \(\epsilon > 0\). Nous devons trouver \(N \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(n \geq\, N\),
\[
|u_n – 5| < \epsilon
\]

Calculons \( |u_n – 5| \) :
\[
|u_n – 5| = | 5 – \frac{2}{\sqrt{n}} – 5 |
\]
\[
= | – \frac{2}{\sqrt{n}} |
\]
\[
= \frac{2}{\sqrt{n}}
\]

Nous voulons :
\[
\frac{2}{\sqrt{n}} < \epsilon
\]

Élevons les deux membres au carré :
\[
\frac{4}{n} < \epsilon^2
\]
\[
n > \frac{4}{\epsilon^2}
\]

Prenons \(N = \lceil \frac{4}{\epsilon^2} \rceil\), alors pour tout \(n \geq\, N\), nous avons :
\[
\frac{2}{\sqrt{n}} < \epsilon
\]

Ce qui montre que :
\[
|u_n – 5| < \epsilon
\]

Ainsi, d’après la définition de la convergence des suites réelles, la suite \((u_n)\) converge vers 5.

Donc, la suite \((u_n)\) converge vers 5.

Exercice 22 : algorithme et variable de sortie
a) Le rôle de cet algorithme est de déterminer le plus petit entier \( n \) tel que \( \frac{1}{n^3} \leq\, 10^{-p} \) pour une valeur donnée de \( p \).

b) Pour déterminer la valeur de \( n \) pour différentes valeurs de \( p \) :

– Lorsque \( p = 2 \) :
\[
10^{-p} = 10^{-2} = 0.01
\]
On cherche le plus petit \( n \) tel que \( \frac{1}{n^3} \leq\, 0.01 \).
En vérifiant :
\[
\frac{1}{1^3} = 1
\]
\[
\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125
\]
\[
\frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} \approx 0.037
\]
\[
\frac{1}{4^3} = \frac{1}{64} \approx 0.0156
\]
\[
\frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} = 0.008
\]
Ainsi, le plus petit \( n \) est 5.

– Lorsque \( p = 4 \) :
\[
10^{-p} = 10^{-4} = 0.0001
\]
On cherche le plus petit \( n \) tel que \( \frac{1}{n^3} \leq\, 0.0001 \).
En vérifiant :
\[
\frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0.001
\]
\[
\frac{1}{11^3} = \frac{1}{1331} \approx 0.000751
\]
\[
\frac{1}{12^3} = \frac{1}{1728} \approx 0.000578
\]
\[
\frac{1}{13^3} = \frac{1}{2197} \approx 0.000456

\[
\frac{1}{14^3} = \frac{1}{2744} \approx 0.000364
\]
\[
\frac{1}{15^3} = \frac{1}{3375} \approx 0.000296
\]
\[
\frac{1}{20^3} = \frac{1}{8000} = 0.000125
\]
\[
\frac{1}{21^3} = \frac{1}{9261} \approx 0.000108
\]
\[
\frac{1}{22^3} = \frac{1}{10648} \approx 0.000094

\]
Ainsi, le plus petit \( n \) est 22.

– Lorsque \( p = 6 \) :
\[
10^{-p} = 10^{-6} = 0.000001
\]
On cherche le plus petit \( n \) tel que \( \frac{1}{n^3} \leq\, 0.000001 \).
En vérifiant :
\[
\frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0.001
\]
\[
\frac{1}{20^3} = \frac{1}{8000} = 0.000125
\]
\[
\frac{1}{30^3} = \frac{1}{27000} = 0.000037
\]
\[
\frac{1}{40^3} = \frac{1}{64000} = 0.0000156
\]
\[
\frac{1}{50^3} = \frac{1}{125000} \approx 0.000008
\]

\[
\frac{1}{60^3} = \frac{1}{216000} \approx 0.0000046

Ainsi, le plus petit \( n \) est 32.

c) L’algorithme s’arrête pour toute valeur de \( p \geq\, 1 \) saisie en entrée, car pour chaque \( p \), il existe un entier \( n \) suffisamment grand pour que \( \frac{1}{n^3} \) devienne inférieur ou égal à \( 10^{-p} \). Plus précisément, lorsque \( n \) augmente, \( n^3 \) augmente plus rapidement que \( 10^p \), rendant \( \frac{1}{n^3} \) de plus en plus petit jusqu’à ce que l’inégalité soit satisfaite.

Exercice 23 : dEémontrer que la suite v est croissante
1. \( v \) est la suite définie sur \( \mathbb{N} \) par \( v_n = n^2 + 2n \).

### a) Démontrer que la suite \( v \) est croissante.

Calculons la différence \( v_{n+1} – v_n \) :
\[
v_{n+1} = (n+1)^2 + 2(n+1) = n^2 + 2n + 1 + 2 + 2n = n^2 + 2n + 3
\]
\[
v_{n+1} – v_n = (n^2 + 2n + 3) – (n^2 + 2n) = 3
\]

Comme \( v_{n+1} – v_n = 3 > 0 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \), cela prouve que la suite \( v \) est croissante.

### b) \( A \) est un nombre réel positif. À partir de quel rang \( n \) a-t-on \( v_n > A \) ?

Nous devons résoudre l’inéquation :
\[
n^2 + 2n > A
\]
C’est une équation quadratique en \( n \). Résolvons-la pour \( n \) :
\[
n^2 + 2n – A > 0
\]

Les solutions de l’équation quadratique \( n^2 + 2n – A = 0 \) sont données par la formule de résoudre les équations quadratiques :
\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
où \( a = 1 \), \( b = 2 \), et \( c = -A \). Donc,
\[
n = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4A}}{2} = -1 \pm \sqrt{1 + A}
\]

Par conséquent, les valeurs de \( n \) pour lesquelles \( v_n > A \) sont données par :
\[
n > -1 + \sqrt{1 + A}
\]

Pour \( n \) appartenant à \( \mathbb{N} \), nous trouvons le plus petit entier :
\[
n \geq\, \lceil -1 + \sqrt{1 + A} \rceil
\]

### c) Déterminer la limite de la suite \( v \).

Examinons la limite de \( v_n \) lorsque \( n \) tend vers l’infini :
\[
\lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} (n^2 + 2n)
\]

Puisque le terme dominant dans le polynôme \( n^2 + 2n \) est \( n^2 \),
\[
\lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} n^2 = \infty
\]

Ainsi, la suite \( v \) diverge vers \( +\infty \).

Exercice 24 : conjecture avec le calcul formel
a) Conjecturer la limite de la suite \( w_n \):

On a \( w_n = \sqrt{n^2 – 1} \).

Pour conjecturer la limite de cette suite, nous devons étudier le comportement de \( w_n \) lorsque \( n \) tend vers l’infini. Observons l’expression \(\sqrt{n^2 – 1}\) :

\[
w_n = \sqrt{n^2 – 1}
\]

Factorisons \( n^2 \) sous la racine carrée :

\[
w_n = \sqrt{n^2 (1 – \frac{1}{n^2})}
\]

Simplifions :

\[
w_n = n \sqrt{1 – \frac{1}{n^2}}
\]

Lorsque \( n \) tend vers l’infini, \(\frac{1}{n^2}\) tend vers 0. Ainsi, l’expression \(\sqrt{1 – \frac{1}{n^2}}\) tend vers \(\sqrt{1} = 1\). Par conséquent :

\[
\lim_{n \to \infty} w_n = \lim_{n \to \infty} n \sqrt{1 – \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} n \cdot 1 = \infty
\]

Donc, \( \boxed{\infty} \) est la limite conjecturée de la suite \( w_n \).

b) Valider la conjecture de la question a) à l’aide des résultats de cet écran :

Utilisons le calcul formel donné :

On nous indique que \( f(x) = \sqrt{x^2 – 1} \) et nous voyons que la résolution de l’inéquation \( f(x) > A \) donne :

\[
\{-\sqrt{A^2 + 1} < x, x > \sqrt{A^2 + 1}\}
\]

Cela signifie que pour \( f(x) \) d’atteindre une valeur supérieure à \( A \), \( x \) doit être supérieur à une certaine constante \(\sqrt{A^2 + 1}\).

Bon observons que pour \( x \) grand, \( x \) devra être assez grand pour que \( f(x) \) soit supérieur à \( A \).

Cela corrobore notre précédente analyse que \( w_n \) tend vers l’infini :

Lorsque \( n \) devient extrêmement grand, \( \sqrt{n^2 – 1} \) devient également extrêmement grand, confirmant que la limite de \( w_n \) est bien l’infini.

Donc, la conjecture de la limite \( \boxed{\infty} \) est validée par les résultats sur cet écran de calcul formel.

Exercice 25 : comparer un et vn dans chaque cas
{Correction de l’exercice :}

{a)} Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( u_n = n^2 + n + 1 \) et \( v_n = n^2 \).

Comparons \( u_n \) à \( v_n \) :
\[
u_n = n^2 + n + 1 \quad \text{et} \quad v_n = n^2
\]
\[
u_n – v_n = (n^2 + n + 1) – n^2 = n + 1
\]
Ainsi, \( u_n = v_n + n + 1 \). Comme \( n + 1 \geq\, 0 \) pour tout \( n \), on a \( u_n \geq\, v_n \).

Limite de \( u_n \) :
\[
\lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} n^2 = \infty
\]
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (n^2 + n + 1) = \infty
\]
Donc, \( \lim_{n \to \infty} u_n = \infty \).

{b)} Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( u_n = -n – 1 + \cos n \) et \( v_n = -n \).

Comparons \( u_n \) à \( v_n \) :
\[
u_n = -n – 1 + \cos n \quad \text{et} \quad v_n = -n
\]
\[
u_n – v_n = (-n – 1 + \cos n) – (-n) = -1 + \cos n
\]
Sachant que \( -1 \leq\, \cos n \leq\, 1 \), on obtient :
\[
-2 \leq\, -1 + \cos n \leq\, 0
\]
Donc, \( u_n \leq\, v_n \).

Limite de \( u_n \) :
\[
\lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} (-n) = -\infty
\]
\( -1 + \cos n \) oscillant entre \(-2\) et \(0\), on obtient :
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = -\infty
\]
Donc, \( \lim_{n \to \infty} u_n = -\infty \).

{c)} Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( n \geq\, 1 \), \( u_n = n^3 + \frac{1}{n} \) et \( v_n = n^3 \).

Comparons \( u_n \) à \( v_n \) :
\[
u_n = n^3 + \frac{1}{n} \quad \text{et} \quad v_n = n^3
\]
\[
u_n – v_n = (n^3 + \frac{1}{n}) – n^3 = \frac{1}{n}
\]
Comme \( \frac{1}{n} > 0 \) pour tout \( n \geq\, 1 \), on a \( u_n > v_n \).

Limite de \( u_n \) :
\[
\lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} n^3 = \infty
\]
\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (n^3 + \frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} n^3 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \infty + 0 = \infty
\]
Donc, \( \lim_{n \to \infty} u_n = \infty \).

Exercice 26 : donner la limite de v
Soit \( v_n \) une suite telle que \( 0 \leq\, v_n \leq\, \frac{10}{n^2} \).

Pour trouver la limite de la suite \( v_n \), utilisons le théorème des gendarmes.

On sait que

\[ 0 \leq\, v_n \leq\, \frac{10}{n^2} \]

Considérons la suite \( u_n = \frac{10}{n^2} \). Nous savons que :

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^2} = 0 \]

Ainsi, par le théorème des gendarmes, si \( \lim_{n \to \infty} u_n = 0 \) et \( v_n \) est compris entre 0 et \( u_n \), alors :

\[ \lim_{n \to \infty} v_n = 0 \]

Donc, la limite de la suite \( v_n \) est :

\[ \lim_{n \to \infty} v_n = 0 \]

Exercice 27 : peut-on penser que la suite converge vers 0 ?
La suite \[(w_n)\] est telle que \[\forall n \geq\, 1\], \[w_n \leq\, \frac{4}{\sqrt{n}}\].

Nous devons analyser la convergence de la suite \[(w_n)\] pour déterminer si elle converge vers 0.

Considérons la suite \[(a_n)\] définie par \[a_n = \frac{4}{\sqrt{n}}\]. Examinons la limite de \[(a_n)\] lorsque \[n\] tend vers l’infini :

\[
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{\sqrt{n}}
\]

Lorsque \[n \to \infty\], \[\sqrt{n} \to \infty\], donc :

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{4}{\sqrt{n}} = 0
\]

Ainsi, \[\lim_{n \to \infty} a_n = 0\].

Puisque \[w_n \leq\, a_n = \frac{4}{\sqrt{n}}\] pour tout \[n \geq\, 1\], et étant donné que \[\frac{4}{\sqrt{n}} \to 0\] lorsque \[n \to \infty\], par le théorème de comparaison, nous pouvons conclure que:

\[
\lim_{n \to \infty} w_n = 0
\]

En conséquence, Paul a raison d’affirmer que la suite \[(w)\] converge vers 0.

Exercice 28 : démontrer une égalité pour tout n
\[\]u \text{ est la suite définie sur } \mathbb{N} \text{ par } u_n = n^2 + e^{3n^2 + n}.\[\]

\[\](a) Démontrer que, pour tout n, \( u_n \geq\, n^2 \)\[\]

Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), nous avons :

\[ u_n = n^2 + e^{3n^2 + n} \]

Or, \( e^{3n^2 + n} \) est toujours positif puisque la fonction exponentielle est strictement positive pour toute valeur réelle.

Donc,

\[ u_n = n^2 + e^{3n^2 + n} \geq\, n^2 + 0 = n^2. \]

Ainsi, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), nous avons

\[ u_n \geq\, n^2. \]

\[\](b) Déduire de ce qui précède la limite de la suite \( u \)\[\]

Observons maintenant le comportement asymptotique de \( u_n \):

\[ u_n = n^2 + e^{3n^2 + n}. \]

Comme \( e^{3n^2 + n} \) croît exponentiellement avec \( n \), nous avons :

\[ \lim_{n \to \infty} e^{3n^2 + n} = \infty. \]

Puisque \( n^2 \) est un polynôme de degré 2 alors que \( e^{3n^2 + n} \) est une fonction exponentielle, la partie exponentielle \( e^{3n^2 + n} \) dominera \( n^2 \) pour des valeurs de \( n \) suffisamment grandes.

Ainsi,

\[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (n^2 + e^{3n^2 + n}) = \infty. \]

En conclusion, la limite de la suite \( u_n \) lorsque \( n \) tend vers l’infini est :

\[ \lim_{n \to \infty} u_n = \infty. \]

Exercice 29 : donner la limite de la suite w dans chaque cas
a) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 5\), \(\lim_{n \to +\infty} v_n = -3\), \(w = u – v\)

\[
\lim_{n \to +\infty} w_n = \lim_{n \to +\infty} (u_n – v_n) = \lim_{n \to +\infty} u_n – \lim_{n \to +\infty} v_n = 5 – (-3) = 5 + 3 = 8
\]

b) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = -1\), \(\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty\), \(w = uv\)

\[
\lim_{n \to +\infty} w_n = \lim_{n \to +\infty} (u_n \cdot v_n) = \lim_{n \to +\infty} u_n \cdot \lim_{n \to +\infty} v_n = -1 \cdot (-\infty) = +\infty
\]

c) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\), \(\lim_{n \to +\infty} v_n = 2\), \(w = \frac{u}{v}\)

\[
\lim_{n \to +\infty} w_n = \lim_{n \to +\infty} ( \frac{u_n}{v_n} ) = \frac{\lim_{n \to +\infty} u_n}{\lim_{n \to +\infty} v_n} = \frac{+\infty}{2} = +\infty
\]

d) \(\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\), \(\lim_{n \to +\infty} v_n = -8\), \(w = 2u – v\)

\[
\lim_{n \to +\infty} w_n = \lim_{n \to +\infty} (2u_n – v_n) = 2 \cdot \lim_{n \to +\infty} u_n – \lim_{n \to +\infty} v_n = 2 \cdot (+\infty) – (-8) = +\infty + 8 = +\infty
\]

Exercice 30 : démontrer des conjectures avec des suites rationnelles
a) Conjecturer la limite de chacune des suites \( u \) et \( v \).

Pour la suite \( u_n = \frac{n + 1}{n + 2} \), lorsque \( n \) tend vers l’infini, les termes en \( n \) dominent les termes constants, donc :

\[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1 \]

Pour la suite \( v_n = \frac{n + 1}{n^2 + 2} \), en divisant par \( n^2 \) au numérateur et au dénominateur, on obtient :

\[ \lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{2}{n^2}} = \frac{0 + 0}{1 + 0} = 0 \]

b) Démontrer que, pour tout nombre entier naturel non nul \( n \),

\[ u_n = \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} \quad \text{et} \quad v_n = \frac{1}{n} \times \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n^2}}. \]

Pour \( u_n \),

\[ u_n = \frac{n+1}{n+2} = \frac{n(1 + \frac{1}{n})}{n(1 + \frac{2}{n})} = \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}}. \]

Pour \( v_n \),

\[ v_n = \frac{n + 1}{n^2 + 2} = \frac{n(1 + \frac{1}{n})}{n^2(1 + \frac{2}{n^2})} = \frac{\frac{1}{n} (1 + \frac{1}{n})}{1 + \frac{2}{n^2}} = \frac{1}{n} \times \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n^2}}. \]

c) Démontrer les conjectures émises au a).

Pour \( u \),

\[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1. \]

Pour \( v \),

\[ \lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \times \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n^2}} = \frac{0}{1} = 0. \]

Ainsi, les limites conjecturées sont confirmées :

\[ \lim_{n \to \infty} u_n = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to \infty} v_n = 0. \]

Exercice 31 : définir une suite par un algorithme
Variables: \( k, n \) sont des nombres entiers naturels\
\( u \) est un nombre réel

Entrée: Saisir \( n \geq\, 2 \)

Traitement:
1. Affecter à \( u \) la valeur 1
2. Pour \( k \) allant de 2 à \( n \)
\[
\text{Affecter à } u \text{ la valeur } (1 – \frac{1}{k^2}) \times u
\]
Fin pour

Sortie: Afficher \( u \)

Pour déterminer la limite \( u \) définie par cet algorithme, il est nécessaire de comprendre comment \( u \) évolue avec des itérations successives. À chaque itération \( k \), la valeur de \( u \) est multipliée par \( (1 – \frac{1}{k^2}) \).

L’évolution de la valeur de \( u \) peut donc être décrite par le produit:
\[
u = 1 \times \prod_{k=2}^{n} (1 – \frac{1}{k^2})
\]

Pour simplifier cette expression, nous pouvons développer un peu plus:
\[
u = \prod_{k=2}^{n} (1 – \frac{1}{k^2})
\]
\[
u = \prod_{k=2}^{n} \frac{k^2 – 1}{k^2}
\]
\[
u = \prod_{k=2}^{n} \frac{(k – 1)(k + 1)}{k^2}
\]

Ainsi,
\[
u = \prod_{k=2}^{n} \frac{(k – 1)}{k} \times \prod_{k=2}^{n} \frac{(k + 1)}{k}
\]

En observant chaque terme de ces produits, il est évident que beaucoup d’entre eux se simplifient dans une « télescopage ».

Voyons cela de plus près. Le premier produit:
\[
\prod_{k=2}^{n} \frac{(k – 1)}{k} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \ldots \times \frac{n-1}{n}
\]
On peut voir que chaque numérateur de chaque fraction (sauf le 1 du premier terme) est annulé par le dénominateur de la fraction précédente.
\[
= \frac{1}{n}
\]

Ensuite, le second produit:
\[
\prod_{k=2}^{n} \frac{(k + 1)}{k} = \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \ldots \times \frac{n+1}{n}
\]
On peut voir que chaque dénominateur de chaque fraction (sauf le dernier terme) est annulé par le numérateur de la fraction suivante.
\[
= \frac{n+1}{2}
\]

Mettons-les ensemble:
\[
u = \frac{1}{n} \times \frac{n+1}{2} = \frac{n+1}{2n}
\]

Enfin, quand \( n \) tend vers l’infini:
\[
\lim_{n \to \infty} u = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}
\]

Donc, la limite de la suite \( u \), définie par cet algorithme, est \( \frac{1}{2} \).

Exercice 32 : introduire une suite auxiliaire
Pour répondre à cet exercice, nous allons traiter les différentes questions une par une :

\[\]a) Démontrer que, pour tout \( n \ge 1 \), \(\frac{v_{n+1}}{v_n} = (1 + \frac{1}{n})^3 \times \frac{1}{e}\).\[\]

Pour rappel, nous avons :
\[ u_n = \frac{n^2}{e^n} \]
et
\[ v_n = n u_n = n \frac{n^2}{e^n} = \frac{n^3}{e^n}. \]

Nous devons maintenant calculer \(\frac{v_{n+1}}{v_n}\) :
\[ \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{\frac{(n+1)^3}{e^{n+1}}}{\frac{n^3}{e^n}} = \frac{(n+1)^3}{e^{n+1}} \times \frac{e^n}{n^3} = \frac{(n+1)^3}{e \cdot n^3}. \]

Nous pouvons réécrire ceci comme :
\[ \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{(n+1)^3}{n^3 \cdot e} = (\frac{n+1}{n})^3 \cdot \frac{1}{e} = (1 + \frac{1}{n})^3 \cdot \frac{1}{e}. \]

\[\]b) Démontrer que, pour tout \( n \ge 3 \), \(\frac{v_{n+1}}{v_n} \le 1 \).\[\]

Reprenons l’expression obtenue à la question précédente :
\[ \frac{v_{n+1}}{v_n} = (1 + \frac{1}{n})^3 \cdot \frac{1}{e}. \]

Pour \( n \ge 3 \), nous avons
\[ (1 + \frac{1}{n}) \le (1 + \frac{1}{3}) = \frac{4}{3}. \]

En élevant au cube, on obtient :
\[ (1 + \frac{1}{n})^3 \le (\frac{4}{3})^3 = \frac{64}{27}. \]

Or, nous avons \(\frac{1}{e} \approx 0.367879…\) et \(\frac{64}{27} \approx 2.37\), ainsi :
\[ (1 + \frac{1}{n})^3 \cdot \frac{1}{e} \le \frac{64}{27} \cdot \frac{1}{e} \approx 2.37 \times 0.367879 \approx 0.872 \le 1. \]

D’où, pour tout \( n \ge 3 \),
\[ \frac{v_{n+1}}{v_n} \le 1. \]

\[\]c) En déduire que, pour tout \( n \ge 3 \), \( v_n \le v_3 \).\[\]

Nous savons que :
\[ \frac{v_{n+1}}{v_n} \le 1. \]

Cela implique que \( v_{n+1} \le v_n \). Donc, la suite \( (v_n) \) est décroissante pour \( n \ge 3 \).

Puisque la suite est décroissante à partir de \( n \ge 3 \) et que \( v_3\) existe et est une borne supérieure pour les termes suivants :
\[ v_n \le v_3 \quad \text{pour tout} \quad n \ge 3. \]

\[\]d) Déterminer alors la limite de la suite \( u \).\[\]

Nous savons que \( v_n \le v_3 \) pour \( n \ge 3 \) et que \( v_n \) est définie par :
\[ v_n = n \frac{n^2}{e^n} = \frac{n^3}{e^n}. \]

Nous cherchons la limite de \( u_n \) :
\[ u_n = \frac{v_n}{n} = \frac{\frac{n^3}{e^n}}{n} = \frac{n^2}{e^n}. \]

Analysons la limite de \( u_n \) lorsque \( n \to \infty \) :
\[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{e^n}. \]

Nous savons que \( e^n \) croît beaucoup plus rapidement que \( n^2 \) lorsque \( n \to \infty \). Donc,
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{e^n} = 0. \]

Ainsi, la limite de la suite \( u_n \) est :
\[ \boxed{0}. \]

Exercice 33 : une suite d’aires à étudier
Pour résoudre l’exercice, commençons par examiner la procédure de construction et le calcul des aires :

1. On commence avec un demi-cercle de diamètre \( AB \) de longueur \( AB = 10 \) cm. L’aire de ce demi-cercle, notée \( \mathcal{C}_0 \), est donnée par :

\[
\mathcal{C}_0 = \frac{1}{2} \pi ( \frac{10}{2} )^2 = \frac{1}{2} \pi \times 25 = 12.5 \pi \, \text{cm}^2.
\]

2. À la première étape, on divise \( AB \) en deux segments de longueur égale, soit \( \frac{10}{2} = 5 \) cm chacun, et on construit deux demi-cercles sur ces segments. L’aire de chaque demi-cercle de diamètre 5 cm est :

\[
\mathcal{C}_1 = 2 \times \frac{1}{2} \pi ( \frac{5}{2} )^2 = 2 \times \frac{1}{2} \pi \times 6.25 = 6.25 \pi \, \text{cm}^2.
\]

3. À la deuxième étape, on divise \( AB \) en trois segments, donc chaque segment a une longueur de \( \frac{10}{3} \) cm. On construit trois demi-cercles sur ces segments. L’aire de chaque demi-cercle de diamètre \( \frac{10}{3} \) cm est :

\[
\mathcal{C}_2 = 3 \times \frac{1}{2} \pi ( \frac{10}{6} )^2 = 3 \times \frac{1}{2} \pi \times \frac{25}{9} = \frac{25}{6} \pi \, \text{cm}^2.
\]

4. À la `n`-ième étape, on divise \( AB \) en \( n+1 \) segments, chaque segment ayant une longueur de \( \frac{10}{n+1} \) cm. On construit \( n+1 \) demi-cercles sur ces segments. L’aire de chaque demi-cercle de diamètre \( \frac{10}{n+1} \) cm est :

\[
\mathcal{C}_n = (n+1) \times \frac{1}{2} \pi ( \frac{10}{2(n+1)} )^2 = (n+1) \times \frac{1}{2} \pi ( \frac{5}{n+1} )^2.
\]

Simplifions cette dernière expression :

\[
\mathcal{C}_n = (n+1) \times \frac{1}{2} \pi \times \frac{25}{(n+1)^2} = \frac{25 \pi}{2(n+1)} \, \text{cm}^2.
\]

Maintenant, pour trouver la limite de la suite \( (a_n) \) quand \( n \) tend vers l’infini :

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{25 \pi}{2(n+1)} = 0.
\]

Ainsi, l’aire colorée en bleu tend vers 0 lorsque le nombre d’étapes \( n \) tend vers l’infini.