Corrigé des 32 exercices sur les priorités opératoires en 5ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

Situation 1. Sans parenthèses, on effectue d’abord les multiplications et divisions.

\[ \begin{aligned} A &= 7 + 4 \times 8 = 7 + 32 = \mathbf{39} \\ B &= 3 \times 11 – 7 \times 4 = 33 – 28 = \mathbf{5} \\ C &= 37 – 6 \times 5 = 37 – 30 = \mathbf{7} \\ D &= 9 – 4 : 4 = 9 – 1 = \mathbf{8} \\ E &= 32 : 4 – 2 + 7 \times 3 = 8 – 2 + 21 = \mathbf{27} \\ F &= 9 \times 4 : 2 – 5 \times 2 = 36 : 2 – 10 = 18 – 10 = \mathbf{8} \end{aligned} \]

Situation 2.

\[ \begin{aligned} x &= 132 – 11 \times 10 + 4 \times 2{,}5 = 132 – 110 + 10 = 22 + 10 = \mathbf{32} \\ y &= 12{,}5 – 2 – 5{,}1 + 15 – 1{,}2 = 10{,}5 – 5{,}1 + 15 – 1{,}2 = 5{,}4 + 15 – 1{,}2 = \mathbf{19{,}2} \\ z &= 120 – 4 \times 5 – 7 \times 8 + 54 : 9 = 120 – 20 – 56 + 6 = 100 – 56 + 6 = \mathbf{50} \\ t &= 22 + 3 \times 1{,}5 – 1{,}5 = 22 + 4{,}5 – 1{,}5 = \mathbf{25} \end{aligned} \]

Situation 3.

\[ \begin{aligned} X &= 2{,}9 + 0{,}8 \times 5 = 2{,}9 + 4 = 6{,}9 \\ T &= 4 \times 0{,}5 + 3 \times 1{,}36 = 2 + 4{,}08 = 6{,}08 \\ C &= 12{,}8 – 0{,}7 \times 9 = 12{,}8 – 6{,}3 = 6{,}5 \\ A &= 10 – 9{,}9 : 3 = 10 – 3{,}3 = 6{,}7 \\ E &= 0{,}23 \times 5 + 99{,}18 : 17{,}1 = 1{,}15 + 5{,}8 = 6{,}95 \end{aligned} \]

Rangement par ordre croissant : \( T \lt C \lt A \lt X \lt E \), c’est-à-dire \( 6{,}08 \lt 6{,}5 \lt 6{,}7 \lt 6{,}9 \lt 6{,}95 \).

Situation 4. Les parenthèses passent en premier.

\[ \begin{aligned} M &= (6 + 2) \times 7 = 8 \times 7 = \mathbf{56} \\ N &= 17 \times (15 – 11) = 17 \times 4 = \mathbf{68} \\ O &= (3{,}5 + 6{,}5) \times (14 – 9{,}5) = 10 \times 4{,}5 = \mathbf{45} \\ P &= (18 – 11) \times (5 + 9) = 7 \times 14 = \mathbf{98} \end{aligned} \]

Situation 5.

\[ \begin{aligned} A &= 6 \times (3 + 7) = 6 \times 10 = \mathbf{60} \\ B &= 23 – 4 \times 5 = 23 – 20 = \mathbf{3} \\ C &= (3 + 5) \times (9 – 7) = 8 \times 2 = \mathbf{16} \\ D &= (13 – 7) : 2 = 6 : 2 = \mathbf{3} \\ E &= 5 – [4 – (2 + 1)] = 5 – [4 – 3] = 5 – 1 = \mathbf{4} \\ F &= (3 + 5 \times 7) : 2 + 1 = (3 + 35) : 2 + 1 = 38 : 2 + 1 = 19 + 1 = \mathbf{20} \end{aligned} \]

Situation 6. On calcule chaque expression, puis on relie.

Calcul	Étapes	Résultat
\( (5 + 5) \times (5 + 5) \)	\( 10 \times 10 \)	100
\( 5 \times (5 + 5 + 5) \)	\( 5 \times 15 \)	75
\( 5 + (5 + 5) \times 5 \)	\( 5 + 10 \times 5 = 5 + 50 \)	55
\( (5 + 5) \times (5 : 5) \)	\( 10 \times 1 \)	10
\( (5 + (5 \times 5)) : 5 \)	\( (5 + 25) : 5 = 30 : 5 \)	6

Situation 7. Avec seulement + et −, on n’obtient que 20 et 14 ; pour les autres résultats il faut aussi utiliser × et : (comme dans la version de l’exercice 2, situation 6).

\[ \begin{aligned} 3 + 7 + 10 &= 20 \\ 10 + 7 – 3 &= 14 \\ 3 \times 7 + 10 &= 21 + 10 = 31 \\ 7 \times 10 – 3 &= 70 – 3 = 67 \\ (7 – 3) \times 10 &= 4 \times 10 = 40 \\ (10 – 7) : 3 &= 3 : 3 = 1 \end{aligned} \]

Situation 8. On essaie plusieurs placements : \( 5 \times 4 – 1 + 2 \times 2 = 23 \) sans parenthèses, trop petit. En retirant d’abord \( 1 + 2 \) à \( 5 \times 4 \), puis en doublant :

\[ [5 \times 4 – (1 + 2)] \times 2 = [20 – 3] \times 2 = 17 \times 2 = 34 \]

Situation 1.

\[ \begin{aligned} a)\ & 7 + 4 \times 8 = 7 + 32 = \mathbf{39} \\ b)\ & 3 \times 11 – 7 \times 4 = 33 – 28 = \mathbf{5} \\ c)\ & 37 – 6 \times 5 = 37 – 30 = \mathbf{7} \\ d)\ & 9 – 4 : 4 = 9 – 1 = \mathbf{8} \\ e)\ & 32 : 4 – 2 + 7 \times 3 = 8 – 2 + 21 = \mathbf{27} \\ f)\ & 9 \times 4 : 2 – 5 \times 2 = 36 : 2 – 10 = 18 – 10 = \mathbf{8} \end{aligned} \]

Situation 2.

\[ \begin{aligned} A &= 6 \times (3 + 7) = 6 \times 10 = \mathbf{60} \\ B &= 23 – 4 \times 5 = 23 – 20 = \mathbf{3} \\ C &= (3 + 5) \times (9 – 7) = 8 \times 2 = \mathbf{16} \\ D &= (13 – 7) : 2 = 6 : 2 = \mathbf{3} \\ E &= 5 – [4 – (2 + 1)] = 5 – 1 = \mathbf{4} \\ F &= (3 + 5 \times 7) : 2 + 1 = 38 : 2 + 1 = \mathbf{20} \end{aligned} \]

Situation 3. Le prix total est le prix des pots plus le prix des baguettes :

\[ 5 \times 9 + 12 \times 6{,}50 = 45 + 78 = 123 \]

Aurélie doit payer 123 €.

Situation 4.

\[ \begin{aligned} (8 + 2) \times 5 &= 10 \times 5 = 50 \\ (9 – 3) \times (2 + 5) &= 6 \times 7 = 42 \\ (8 + 4) \times 3 : 2 &= 12 \times 3 : 2 = 36 : 2 = 18 \end{aligned} \]

Situation 5.

\[ \begin{aligned} A &= 24 – 5 – 1 = 19 – 1 = \mathbf{18} \\ B &= 14 \times 3 – 5 \times 2 = 42 – 10 = \mathbf{32} \\ C &= 10 : [6 – 2 \times (1 – 0{,}5)] \times 5 = 10 : [6 – 2 \times 0{,}5] \times 5 = 10 : 5 \times 5 = 2 \times 5 = \mathbf{10} \\ D &= 8 : 4 – 0{,}25 \times 2 = 2 – 0{,}5 = \mathbf{1{,}5} \\ E &= 3 \times (7 – 2) – 4 = 3 \times 5 – 4 = 15 – 4 = \mathbf{11} \\ F &= 72 : 9 \times 8 : 2 – 9 \times 3 = 8 \times 8 : 2 – 27 = 64 : 2 – 27 = 32 – 27 = \mathbf{5} \end{aligned} \]

Situation 6.

\[ \begin{aligned} 3 + 7 + 10 &= 20 & 10 + 7 – 3 &= 14 & 3 \times 7 + 10 &= 31 \\ 7 \times 10 – 3 &= 67 & (7 – 3) \times 10 &= 40 & (10 – 7) : 3 &= 1 \end{aligned} \]

Situation 7. Un équipement coûte \( 24 + 11 + 4{,}50 \) euros ; il en faut 16 :

\[ 16 \times (24 + 11 + 4{,}50) = 16 \times 39{,}50 = 632 \]

Le montant des achats est de 632 €.

Situation 8. On comprend que le boxeur perd 0,6 kg chaque jour pendant 7 jours :

\[ 86{,}2 – 7 \times 0{,}6 = 86{,}2 – 4{,}2 = 82 \]

Le jour du combat, le boxeur pèse 82 kg.

Situation 9. Les parenthèses changent le résultat… ou pas :

\[ \begin{aligned} A &= 125 – 7 \times 4 + 11 = 125 – 28 + 11 = \mathbf{108} \\ B &= (125 – 7) \times 4 + 11 = 118 \times 4 + 11 = 472 + 11 = \mathbf{483} \\ C &= 125 – 7 \times (4 + 11) = 125 – 7 \times 15 = 125 – 105 = \mathbf{20} \\ D &= 125 – (7 \times 4) + 11 = 125 – 28 + 11 = \mathbf{108} \\ E &= [(125 – 7) \times 4] + 11 = 472 + 11 = \mathbf{483} \\ F &= 125 – [7 \times (4 + 11)] = 125 – 105 = \mathbf{20} \end{aligned} \]

On remarque que \( A = D \), \( B = E \) et \( C = F \) : dans D, E et F, les crochets ou parenthèses ajoutés ne modifient pas l’ordre des calculs.

Situation 1.

\[ \begin{aligned} A &= 8 \times (26 – 14) = 8 \times 12 = \mathbf{96} \\ B &= (7{,}5 – 2{,}5) : (7{,}5 + 2{,}5) = 5 : 10 = \mathbf{0{,}5} \\ C &= (0{,}5 + 15 + 35 + 8{,}5 + 1{,}75) \times (55 + 45) = 60{,}75 \times 100 = \mathbf{6\,075} \\ D &= (1{,}2 + 3{,}8) \times (5{,}5 – 4) – (7{,}5 – 6) = 5 \times 1{,}5 – 1{,}5 = 7{,}5 – 1{,}5 = \mathbf{6} \end{aligned} \]

Situation 2. On commence par les parenthèses les plus intérieures.

\[ \begin{aligned} A &= 7 \times [16 – (2 + 9)] = 7 \times [16 – 11] = 7 \times 5 = \mathbf{35} \\ B &= [9 – (9 – 8)] \times [(2 + 7) : 3] = [9 – 1] \times [9 : 3] = 8 \times 3 = \mathbf{24} \\ C &= 4 \times [39{,}2 – (2{,}4 + 4{,}8) + 3] = 4 \times [39{,}2 – 7{,}2 + 3] = 4 \times 35 = \mathbf{140} \end{aligned} \]

Pour D, dans le crochet on calcule \( 25 + 8 – 7 = 26 \), puis \( 66 – 26 = 40 \), puis \( 40 : 2 = 20 \) et \( 20 + 3 = 23 \) :

\[ D = 120 : [(66 – (25 + 8 – 7)) : 2 + 3] = 120 : [40 : 2 + 3] = 120 : 23 = \frac{120}{23} \approx 5{,}22 \]

Le quotient ne tombe pas juste : on le laisse sous forme de fraction ou on l’arrondit au centième.

Situation 3.

• a. \( 7{,}5 + 3 \times 1{,}5 = 7{,}5 + 4{,}5 = \mathbf{12} \)
• b. \( 7{,}5 \times (3 + 1{,}5) = 7{,}5 \times 4{,}5 = \mathbf{33{,}75} \)
• c. \( (12 + 8) : 100 = 20 : 100 = \mathbf{0{,}2} \)
• d. \( 3 \times 6 + (15 – 7) = 18 + 8 = \mathbf{26} \)

Attention au d : « soustraire 7 à 15 » s’écrit \( 15 – 7 \), pas \( 7 – 15 \).

\[ \begin{aligned} A &= 12 + [3 \times [5 + (4 \times 7) + 2]] + (8 \times 3) \\ &= 12 + [3 \times [5 + 28 + 2]] + 24 \\ &= 12 + [3 \times 35] + 24 \\ &= 12 + 105 + 24 = \mathbf{141} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= 25 – [12 – (3 + 4)] = 25 – [12 – 7] = 25 – 5 = \mathbf{20} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C &= 81 + [(7 + 21) – 13] – (17 – 9) = 81 + [28 – 13] – 8 = 81 + 15 – 8 = \mathbf{88} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D &= [(7{,}8 – 4{,}5) + 11] \times (4 + 3) = [3{,}3 + 11] \times 7 = 14{,}3 \times 7 = \mathbf{100{,}1} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} E &= 6 + [(7 \times 2) – (1{,}1 \times 2)] = 6 + [14 – 2{,}2] = 6 + 11{,}8 = \mathbf{17{,}8} \end{aligned} \]

On cherche d’abord le nombre total de livres, puis combien de fois 13 livres il y a dans ce total. En une seule expression :

\[ (50 + 80) : 13 = 130 : 13 = 10 \]

Les parenthèses sont indispensables : \( 50 + 80 : 13 \) signifierait qu’on divise seulement le second colis. La division tombe juste, donc toutes les étagères sont pleines.

1) L’éleveur. Il a \( 102 + 18 \) œufs au total, rangés par 12 : c’est l’expression c.

\[ (18 + 102) : 12 = 120 : 12 = 10 \]

Il expédiera 10 boîtes.

2) L’intendance. Il y a \( 12 + 102 \) cartons à 18 € : c’est l’expression b.

\[ (12 + 102) \times 18 = 114 \times 18 = 2\,052 \]

Le prix total est de 2 052 €.

3) Le grand magasin. Aux 102 bouteilles en réserve s’ajoutent 18 cartons de 12 : c’est l’expression a.

\[ 102 + 12 \times 18 = 102 + 216 = 318 \]

Il y a maintenant 318 bouteilles.

\[ \begin{aligned} a)\ & 7 + 4 \times 8 = 7 + 32 = \mathbf{39} \\ b)\ & 3 \times 11 – 7 \times 4 = 33 – 28 = \mathbf{5} \\ c)\ & 37 – 6 \times 5 = 37 – 30 = \mathbf{7} \\ d)\ & 9 – 4 : 4 = 9 – 1 = \mathbf{8} \\ e)\ & 32 : 4 – 2 + 7 \times 3 = 8 – 2 + 21 = 6 + 21 = \mathbf{27} \\ f)\ & 9 \times 4 : 2 – 5 \times 2 = 36 : 2 – 10 = 18 – 10 = \mathbf{8} \end{aligned} \]

Au e), on calcule d’abord \( 32 : 4 \) et \( 7 \times 3 \), puis \( 8 – 2 + 21 \) de gauche à droite. Au f), multiplication et division sont de même priorité : on les fait de gauche à droite.

Prix des livres et des BD : \( 8 \times 1{,}5 + 2 \times 4 = 12 + 8 = 20 \) euros.

Il reste pour les 4 DVD : \( 38 – 20 = 18 \) euros. D’où le prix d’un DVD :

\[ (38 – 8 \times 1{,}5 – 2 \times 4) : 4 = (38 – 12 – 8) : 4 = 18 : 4 = 4{,}5 \]

Vérification : \( 12 + 8 + 4 \times 4{,}5 = 12 + 8 + 18 = 38 \) euros.

\[ \begin{aligned} A &= 6 + 27 : 3 = 6 + 9 = \mathbf{15} \\ B &= 24 : 3 + 16 : 8 – 2 = 8 + 2 – 2 = \mathbf{8} \\ C &= 8 \times 6 – 23 = 48 – 23 = \mathbf{25} \\ D &= 5 \times 6 + 4 \times 3 = 30 + 12 = \mathbf{42} \\ E &= 7 + 15 : 3 \times 5 = 7 + 5 \times 5 = 7 + 25 = \mathbf{32} \\ F &= 3 + 4 \times 5 – 1 = 3 + 20 – 1 = \mathbf{22} \\ G &= 15 \times 5 – 2 = 75 – 2 = \mathbf{73} \\ H &= 55 – 7 \times 6 + 1 = 55 – 42 + 1 = \mathbf{14} \\ I &= 12 \times 4 – 15 : 3 = 48 – 5 = \mathbf{43} \end{aligned} \]

Pour E, \( 15 : 3 \times 5 \) se calcule de gauche à droite : \( 15 : 3 = 5 \), puis \( 5 \times 5 = 25 \) (et non \( 15 : 15 \)).

\[ \begin{aligned} A &= (5 + 7) \times 2 = 12 \times 2 = \mathbf{24} \\ B &= 5 + 7 \times 2 = 5 + 14 = \mathbf{19} \\ C &= (12 – 4) \times 3 = 8 \times 3 = \mathbf{24} \\ D &= 12 – 4 \times 3 = 12 – 12 = \mathbf{0} \\ E &= (21 – 18) \times (12 – 10) + 1 = 3 \times 2 + 1 = 6 + 1 = \mathbf{7} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} F &= 18 + [12 – 2 \times (13 – 9)] = 18 + [12 – 2 \times 4] = 18 + [12 – 8] = 18 + 4 = \mathbf{22} \\ G &= (4{,}8 – (2{,}5 + 0{,}3)) \times (3 + 3{,}5) = (4{,}8 – 2{,}8) \times 6{,}5 = 2 \times 6{,}5 = \mathbf{13} \\ H &= [18 + 2 \times (120 – 45)] \times 1{,}5 = [18 + 2 \times 75] \times 1{,}5 = 168 \times 1{,}5 = \mathbf{252} \\ I &= 700 – [300 – (300 – 80)] = 700 – [300 – 220] = 700 – 80 = \mathbf{620} \end{aligned} \]

Comparer A et B (ou C et D) montre l’effet des parenthèses : mêmes nombres, résultats différents.

Sans parenthèses, chaque expression donne un autre résultat, car la multiplication passe avant l’addition. On cherche donc quelle addition (ou soustraction) il faut faire en premier pour atteindre le résultat demandé, puis on vérifie en recalculant.

• \( 9 + 3 \times 15 = 54 \) sans parenthèses. Or \( 180 = 12 \times 15 \) : on additionne d’abord 9 et 3.
  \[ (9 + 3) \times 15 = 12 \times 15 = \mathbf{180} \]
• \( 45 = 5 \times 9 \), et \( 5 = 2 + 3 \), \( 9 = 5 + 4 \) :
  \[ (2 + 3) \times (5 + 4) = 5 \times 9 = \mathbf{45} \]
• \( 106 – 4 = 102 = 17 \times 6 \), et \( 17 = 8 + 9 \) :
  \[ (8 + 9) \times 6 + 4 = 17 \times 6 + 4 = 102 + 4 = \mathbf{106} \]
• \( 198 = 9 \times 22 \), et \( 22 = 5 + 17 \) :
  \[ 9 \times (5 + 17) = 9 \times 22 = \mathbf{198} \]
• \( 9 = 3 \times 3 \), et \( 3 = 1 + 2 \) :
  \[ (1 + 2) \times 3 = 3 \times 3 = \mathbf{9} \]
• Pour 106, une seule paire de parenthèses ne suffit pas : il faut des parenthèses et des crochets. On remarque que \( 106 = 2 \times 53 \) et que \( 53 = 3 + 50 = 3 + 5 \times 10 \), avec \( 10 = 8 + 2 \) :
  \[ 2 \times [3 + 5 \times (8 + 2)] = 2 \times [3 + 5 \times 10] = 2 \times [3 + 50] = 2 \times 53 = \mathbf{106} \]
• \( 56 = 7 \times 8 \), et \( 8 = 2 + 6 \) :
  \[ 7 \times (2 + 6) = 7 \times 8 = \mathbf{56} \]
• \( 8 + 10 = 18 = 3 \times 6 \), et \( 6 = 5 + 1 \) :
  \[ 3 \times (5 + 1) – 10 = 3 \times 6 – 10 = 18 – 10 = \mathbf{8} \]

On effectue d’abord les parenthèses, puis multiplications et divisions de gauche à droite, enfin additions et soustractions de gauche à droite.

\[ \begin{aligned} A &= 15 + 60 \div 5 \times 6 – 3 = 15 + 12 \times 6 – 3 = 15 + 72 – 3 = \mathbf{84} \\ B &= 45 \times 8 – 20 \div 4 \times 2 = 360 – 5 \times 2 = 360 – 10 = \mathbf{350} \\ C &= 150 – (45 – 8 – 3) – 34 = 150 – 34 – 34 = 116 – 34 = \mathbf{82} \\ D &= 25 \div (12 – 4 – 3) \div 5 = 25 \div 5 \div 5 = 5 \div 5 = \mathbf{1} \\ E &= 48 + 36 \div 6 \div 3 = 48 + 6 \div 3 = 48 + 2 = \mathbf{50} \\ M &= 40 \div 4 \times 5 = 10 \times 5 = \mathbf{50} \\ N &= 24 \div 6 \times 2 = 4 \times 2 = \mathbf{8} \\ O &= 15 – 7 – 6 + 1 = 8 – 6 + 1 = 2 + 1 = \mathbf{3} \end{aligned} \]

Attention à M et N : division et multiplication sont de même priorité, on calcule donc dans l’ordre d’écriture. Faire \( 4 \times 5 \) en premier donnerait \( 40 \div 20 = 2 \), ce qui est faux. De même pour O, \( 15 – 7 – 6 + 1 \) ne vaut pas \( 15 – 14 \).

Le premier mot de la phrase (produit, somme, quotient, différence) indique la dernière opération effectuée. Quand un des termes est lui-même une somme ou une différence, on le met entre parenthèses.

Phrase	Calcul	Résultat
F : produit de 4 par la somme de 12 et de 5	\( 4 \times (12 + 5) = 4 \times 17 \)	68
G : somme du produit de 6 par 8 et de 20	\( 6 \times 8 + 20 = 48 + 20 \)	68
H : somme de 9 et du produit de 11 par 3	\( 9 + 11 \times 3 = 9 + 33 \)	42
I : quotient de la somme de 8 et 4 par 6	\( (8 + 4) \div 6 = 12 \div 6 \)	2
J : différence de 7 et du quotient de 25 par 7	\( 7 – 25 \div 7 = 7 – \dfrac{25}{7} = \dfrac{49 – 25}{7} \)	\( \mathbf{\dfrac{24}{7}} \)
K : quotient de 9 par la différence de 7 et 4	\( 9 \div (7 – 4) = 9 \div 3 \)	3
L : produit de la différence de 15 et 7 par 8	\( (15 – 7) \times 8 = 8 \times 8 \)	64
M : somme du produit de 8 par 4 et du produit de 7 par 3	\( 8 \times 4 + 7 \times 3 = 32 + 21 \)	53
N : produit de la somme de 15 et 7 par la différence de 17 et 5	\( (15 + 7) \times (17 – 5) = 22 \times 12 \)	264

Pour J, la division \( 25 \div 7 \) ne tombe pas juste : on garde la valeur exacte \( \dfrac{24}{7} \), soit environ 3,43. Pour G et H, les parenthèses sont inutiles, car la multiplication est de toute façon prioritaire.

La dépense est le prix du bidon plus le prix des quatre pneus, c’est-à-dire 12 € plus 4 fois 45 €. La multiplication étant prioritaire, aucune parenthèse n’est nécessaire :

\[ 12 + 4 \times 45 = 12 + 180 = 192 \]

La dépense s’élève à 192 €.

La monnaie rendue est le billet de 20 € moins le total des achats. Le total (4 BD à 2,50 € et la voiture à 6 €) doit être calculé en premier : on le met entre parenthèses.

\[ \begin{aligned} 20 – (4 \times 2{,}5 + 6) &= 20 – (10 + 6) \\ &= 20 – 16 \\ &= 4 \end{aligned} \]

Sans parenthèses, \( 20 – 4 \times 2{,}5 + 6 \) donnerait \( 20 – 10 + 6 = 16 \) : on ajouterait le prix de la voiture au lieu de le retirer.

On rend 4 € à Pierre.

Le libraire range tous les livres reçus : le total des deux colis doit être calculé avant la division, d’où les parenthèses.

\[ (50 + 80) \div 13 = 130 \div 13 = 10 \]

Vérification : \( 10 \times 13 = 130 \), il ne reste aucun livre, donc les 10 étagères sont complètement remplies.

On traite d’abord l’intérieur des parenthèses (et, pour les crochets, les parenthèses intérieures en premier), puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions.

\[ \begin{aligned} A &= 12 + 8 \times 5 – 4 + 16 \div 2 = 12 + 40 – 4 + 8 = \mathbf{56} \\ B &= 17 – (3 + 8 – 5) = 17 – 6 = \mathbf{11} \\ C &= 18 + 4 \times (7 \times 2 – 6) = 18 + 4 \times (14 – 6) = 18 + 4 \times 8 = 18 + 32 = \mathbf{50} \\ D &= 75 – (6 + 3 \times 10) \div 9 = 75 – (6 + 30) \div 9 = 75 – 36 \div 9 = 75 – 4 = \mathbf{71} \\ E &= 3\,200 \times 0{,}01 \times 100 – 100 = 32 \times 100 – 100 = 3\,200 – 100 = \mathbf{3\,100} \\ F &= (5{,}6 + 1{,}4) \times (3{,}4 – 1{,}4) = 7 \times 2 = \mathbf{14} \\ G &= 48 + 2 \times (7 + 3 \times 5 – 2 \times 10) = 48 + 2 \times (7 + 15 – 20) = 48 + 2 \times 2 = \mathbf{52} \\ H &= 5 + 3 \times 6 – 8 \div 2 = 5 + 18 – 4 = \mathbf{19} \\ I &= 24{,}1 – [9 – (2 + 5)] = 24{,}1 – [9 – 7] = 24{,}1 – 2 = \mathbf{22{,}1} \\ J &= 15{,}1 – [17 – (30 – 20)] = 15{,}1 – [17 – 10] = 15{,}1 – 7 = \mathbf{8{,}1} \\ K &= 128 – 4 \times (6 + 1) + 218 – 3 \times (7 – 1) = 128 – 28 + 218 – 18 = \mathbf{300} \end{aligned} \]

Pour K, on effectue les soustractions et additions de gauche à droite : \( 128 – 28 = 100 \), \( 100 + 218 = 318 \), \( 318 – 18 = 300 \).

Problème 1. Anna paie la règle plus trois stylos :

\[ 0{,}50 + 3 \times 1{,}60 = 0{,}50 + 4{,}80 = 5{,}30 \]

Anna paie 5,30 €.

Problème 2. On retire au poids du camion le poids des trois caisses :

\[ 2\,250 – 3 \times 150 = 2\,250 – 450 = 1\,800 \]

Le camion pèse alors 1 800 kg.

Problème 3. On calcule d’abord la différence d’âges, puis on en prend la moitié ; la différence doit donc être entre parenthèses :

\[ (29 – 15) \div 2 = 14 \div 2 = 7 \]

Jenny a 7 ans. Sans parenthèses, \( 29 – 15 \div 2 \) donnerait 21,5, ce qui n’a pas de sens ici.

a. Sofiane calcule deux choses séparément, \( 5{,}29 \times 10 \) et le produit \( 78 \times 0{,}01 \), puis il les ajoute. La dernière opération est une addition de deux produits, et les priorités suffisent : pas besoin de parenthèses.

• C multiplie toute la somme \( 5{,}29 \times 10 + 78 \) par 0,01 : non.
• D multiplie 5,29 par \( 10 + 78 \) : non.
• F multiplie 5,29 par une somme : non.
• E \( = 5{,}29 \times 10 + 78 \times 0{,}01 \) correspond exactement.

b.

\[ E = 5{,}29 \times 10 + 78 \times 0{,}01 = 52{,}9 + 0{,}78 = 53{,}68 \]

Problème 1. Yannis paie 4 € pour le livre, plus 5 BD à 8 € : \( 4 + 5 \times 8 \), c’est l’expression B.

\[ B = 4 + 5 \times 8 = 4 + 40 = 44 \]

Yannis paie 44 €.

Problème 2. Chaque bouquet contient \( 4 + 8 \) roses, et il y a 5 bouquets : \( 5 \times (4 + 8) \), c’est l’expression A.

\[ A = 5 \times (4 + 8) = 5 \times 12 = 60 \]

Enzo a besoin de 60 roses. (On aurait aussi pu calculer \( 5 \times 4 + 5 \times 8 = 20 + 40 = 60 \), c’est l’expression D, qui donne le même résultat.)

Problème 3. Il y a une table de 5 places et 4 tables de 8 places : \( 5 + 4 \times 8 \), c’est l’expression C.

\[ C = 5 + 4 \times 8 = 5 + 32 = 37 \]

Il y a 37 places à la cantine.

a. On écrit les étapes du programme dans l’ordre, en ajoutant des parenthèses quand une addition doit être faite avant une multiplication.

• Programme 1 : on multiplie 0,7 par 3, puis on soustrait 1,01. La multiplication étant prioritaire : \( 0{,}7 \times 3 – 1{,}01 \).
• Programme 2 : on ajoute 5,6 à 0,7, puis on multiplie le résultat par 0,01. L’addition doit passer en premier : \( (0{,}7 + 5{,}6) \times 0{,}01 \).

b.

\[ \begin{aligned} 0{,}7 \times 3 – 1{,}01 &= 2{,}1 – 1{,}01 = 1{,}09 \\ (0{,}7 + 5{,}6) \times 0{,}01 &= 6{,}3 \times 0{,}01 = 0{,}063 \end{aligned} \]

On procède par étapes : les surfaces (doc. 1), puis le prix A (doc. 2 et doc. 4), puis les coefficients (doc. 3). Les prix du doc. 2 sont en milliers d’euros.

Étape 1 : les surfaces. La terrasse a pour longueur \( 12 – 4 = 8 \text{ m} \) et pour largeur 2 m. On découpe la partie habitable en deux rectangles (trait rouge) :

\[ \begin{aligned} \text{Appartement (hors terrasse)} &= 12 \times 4 + 4 \times 2 = 48 + 8 = 56 \text{ m}^2 \\ \text{Terrasse} &= 8 \times 2 = 16 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

(On peut aussi calculer \( 12 \times 6 – 8 \times 2 = 72 – 16 = 56 \text{ m}^2 \).)

Étape 2 : le prix A. D’après le doc. 4 : il y a un ascenseur (+ 4,5), une place de parking que l’on compte comme la ligne « garage » (+ 35), et pas de travaux (on ne retire pas 15). Rien n’indique que l’appartement est neuf : on n’ajoute pas les 20.

\[ \begin{aligned} A &= 56 \times 3{,}8 + 16 \times 1{,}7 + 4{,}5 + 35 \\ &= 212{,}8 + 27{,}2 + 4{,}5 + 35 \\ &= 279{,}5 \end{aligned} \]

Le prix A vaut 279,5 milliers d’euros, soit 279 500 €.

Étape 3 : les coefficients.

• La terrasse a une vue sur mer : \( B = 279{,}5 \times 1{,}2 = 335{,}4 \).
• La plage est à 1,5 km, donc pas à moins de 1 km : \( C = B = 335{,}4 \).
• On ajoute les frais d’agence : \( 335{,}4 \times 1{,}05 = 352{,}17 \).

Le prix de vente est donc de 352,17 milliers d’euros, c’est-à-dire 352 170 €. On peut tout écrire en une seule expression : \( (56 \times 3{,}8 + 16 \times 1{,}7 + 4{,}5 + 35) \times 1{,}2 \times 1{,}05 = 352{,}17 \).

Remarque : c’est un problème ouvert. Si l’on considère que « pas de travaux à prévoir » signifie « état neuf » et qu’on ajoute aussi les 20, on trouve \( 299{,}5 \times 1{,}2 \times 1{,}05 = 377{,}37 \), soit 377 370 €. L’essentiel est de justifier chaque choix.

On effectue d’abord les calculs entre parenthèses (ou crochets), puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions, de gauche à droite.

\[ A = 5 + 7 \times 3 = 5 + 21 = 26 \]

Pour B, division et multiplication ont la même priorité : on les fait de gauche à droite.

\[ B = 12 \div 4 \times 2 + 5 = 3 \times 2 + 5 = 6 + 5 = 11 \]

\[ \begin{aligned} C &= (7 – 3) \times (5 + 2 \times 3) \times (5 – 2) \\ &= 4 \times (5 + 6) \times 3 \\ &= 4 \times 11 \times 3 \\ &= 132 \end{aligned} \]

Pour D, on commence par la parenthèse à l’intérieur des crochets.

\[ \begin{aligned} D &= 5 + 4 \times [5 + 4 \times 6 – 5 \times 2 + (9 – 2 \times 3)] \\ &= 5 + 4 \times [5 + 24 – 10 + 3] \\ &= 5 + 4 \times 22 \\ &= 5 + 88 \\ &= 93 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} E &= 3{,}4 + 9{,}8 – 5 \times (8{,}7 – 3 \times 2) \\ &= 3{,}4 + 9{,}8 – 5 \times (8{,}7 – 6) \\ &= 3{,}4 + 9{,}8 – 5 \times 2{,}7 \\ &= 13{,}2 – 13{,}5 \\ &= -0{,}3 \end{aligned} \]

On retire 13,5 à 13,2 : le résultat est négatif, il manque 0,3 pour arriver à 0.

a. Sarah a payé 92,70 € en tout, dont 64,90 € pour la planche. Les 4 roues coûtent donc \( 92{,}70 – 64{,}90 \) euros, et une roue coûte le quart de cette somme. Les parenthèses sont indispensables pour que la soustraction soit faite avant la division :

\[ P = (92{,}70 – 64{,}90) \div 4 \]

b.

\[ P = 27{,}80 \div 4 = 6{,}95 \]

Vérification : \( 64{,}90 + 4 \times 6{,}95 = 64{,}90 + 27{,}80 = 92{,}70 \).

Clara achète un short à 20,70 € et trois débardeurs à 8,90 € l’unité.

1. On arrondit chaque prix au-dessus : 20,70 € ≈ 21 € et 8,90 € ≈ 9 €.

\[ 21 + 3 \times 9 = 21 + 27 = 48 \]

Les vrais prix sont plus petits que ces arrondis, donc les achats coûtent moins de 48 €, et 48 € est inférieur à 50 € : le billet de 50 € suffira.

2. a. La somme rendue est 50 € moins le prix total des achats :

\[ R = 50 – (20{,}70 + 3 \times 8{,}90) \]

b.

\[ \begin{aligned} R &= 50 – (20{,}70 + 26{,}70) \\ &= 50 – 47{,}40 \\ &= 2{,}60 \end{aligned} \]

On calcule d’abord les parenthèses, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions.

\[ \begin{aligned} A &= 21{,}4 – (24 – 7) : 2 \\ &= 21{,}4 – 17 : 2 \\ &= 21{,}4 – 8{,}5 \\ &= 12{,}9 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} B &= (13 – 4) \times 0{,}6 – 3{,}8 \\ &= 9 \times 0{,}6 – 3{,}8 \\ &= 5{,}4 – 3{,}8 \\ &= 1{,}6 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} C &= 34{,}5 – 30 \times (1 – 0{,}6) \\ &= 34{,}5 – 30 \times 0{,}4 \\ &= 34{,}5 – 12 \\ &= 22{,}5 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} D &= (16 + 2) : 5 – 2 \\ &= 18 : 5 – 2 \\ &= 3{,}6 – 2 \\ &= 1{,}6 \end{aligned} \]

Attention à C : on ne calcule pas \( 34{,}5 – 30 \) en premier, car la multiplication est prioritaire sur la soustraction.

On remplace chaque nombre par une valeur arrondie simple, puis on calcule mentalement.

• \( A \approx 4\,200 – 800 = 3\,400 \)
• \( B \approx 2\,300 + 1\,400 = 3\,700 \)
• \( C \approx 12\,000 : 20 = 600 \)
• \( D \approx 9\,000 \times 4 = 36\,000 \)
• \( E \approx 100 + 230 + 470 = 800 \)

Les calculs exacts le confirment : A = 3 396,85 ; B = 3 708,31 ; C ≈ 612,3 ; D = 36 079,3 ; E = 805,91.

Problème 1. Le livre coûte 4 € et les 5 BD coûtent \( 5 \times 8 \) euros. On ajoute : c’est l’expression B.

\[ B = 4 + 5 \times 8 = 4 + 40 = 44 \]

Yannis paie 44 €.

Problème 2. Chaque bouquet contient \( 4 + 8 \) roses, et il y a 5 bouquets : c’est l’expression A.

\[ A = 5 \times (4 + 8) = 5 \times 12 = 60 \]

Enzo a besoin de 60 roses. L’expression D, \( 5 \times 4 + 5 \times 8 = 20 + 40 = 60 \), convient aussi : elle compte d’abord les 20 roses blanches, puis les 40 roses rouges.

Problème 3. Les 4 tables de 8 donnent \( 4 \times 8 \) places, et on ajoute la table de 5 : c’est l’expression C.

\[ C = 5 + 4 \times 8 = 5 + 32 = 37 \]

Il y a 37 places à la cantine.

Le héros fait le tour de la Terre, soit environ 40 075 km, en 80 jours. La distance moyenne par jour s’obtient en divisant par 80.

Pour un ordre de grandeur, on arrondit 40 075 à 40 000 :

\[ 40\,000 : 80 = 4\,000 : 8 = 500 \]

(Le calcul exact donne \( 40\,075 : 80 \approx 500{,}9 \), ce qui confirme l’ordre de grandeur.)

a. Les multiplications sont prioritaires sur les additions.

\[ \begin{aligned} G &= 16 + 3 \times 2{,}50 + 4 \times 1{,}20 \\ &= 16 + 7{,}5 + 4{,}8 \\ &= 28{,}3 \end{aligned} \]

b. Le terme 16 est une distance parcourue une fois, \( 3 \times 2{,}50 \) correspond à 3 tours de 2,50 km et \( 4 \times 1{,}20 \) à 4 tours de 1,20 km :

« Anne a parcouru 16 km, puis elle a effectué 3 tours de 2,50 km chacun et enfin 4 tours de 1,20 km chacun. Anne a parcouru au total 28,3 km. »

a. Sofiane calcule d’abord le produit \( 5{,}29 \times 10 \), puis il y ajoute le produit \( 78 \times 0{,}01 \). Il n’y a rien à mettre entre parenthèses, puisque les multiplications sont déjà prioritaires :

• C multiplie la somme entière par 0,01 : non.
• D ajoute 10 et 78 avant de multiplier : non.
• F multiplie 5,29 par une somme : non.
• E = \( 5{,}29 \times 10 + 78 \times 0{,}01 \) : oui.

b.

\[ \begin{aligned} E &= 5{,}29 \times 10 + 78 \times 0{,}01 \\ &= 52{,}9 + 0{,}78 \\ &= 53{,}68 \end{aligned} \]

a. On traduit chaque programme avec 0,7 comme nombre de départ.

• Programme 1 : on multiplie 0,7 par 3, puis on soustrait 1,01. La multiplication étant prioritaire, pas besoin de parenthèses : \( 0{,}7 \times 3 – 1{,}01 \).
• Programme 2 : on ajoute d’abord 5,6, puis on multiplie le résultat par 0,01. Il faut des parenthèses : \( (0{,}7 + 5{,}6) \times 0{,}01 \).

b.

\[ 0{,}7 \times 3 – 1{,}01 = 2{,}1 – 1{,}01 = 1{,}09 \]

\[ (0{,}7 + 5{,}6) \times 0{,}01 = 6{,}3 \times 0{,}01 = 0{,}063 \]

Multiplier par 0,01 revient à diviser par 100 : la virgule se décale de deux rangs vers la gauche.