Produit scalaire dans le plan en première : corrigé des exercices 1 à 10

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Sommaire

Voici le corrigé exercices produit scalaire première pour les dix premiers exercices de la fiche. Le parcours commence par une équation trigonométrique du second degré en \(\cos x\), résolue par changement de variable et discriminant, puis passe à la géométrie repérée : vecteur normal et équation cartésienne d’une droite, équation de cercle, test d’orthogonalité de deux droites. Viennent ensuite les trois façons de calculer un produit scalaire : avec les normes (identités de polarisation), avec les coordonnées dans un repère orthonormé, et avec les propriétés de bilinéarité. La fiche se termine par l’écriture d’un petit algorithme. Ces solutions servent à l’élève qui révise un contrôle comme au parent qui veut vérifier un devoir. Le conseil est toujours le même : fais l’exercice en entier sur ta feuille, puis confronte ta résolution à celle-ci ; les signes des coordonnées et l’ordre des points dans les vecteurs sont les sources d’erreur les plus fréquentes.

Les énoncés se trouvent sur la fiche Produit scalaire dans le plan : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. (48 exercices au total). Cherchez d’abord chaque exercice au brouillon, puis comparez avec la correction.

Corrigé des exercices 1 à 10 sur le produit scalaire dans le plan en première

Exercice 1 : Résoudre une équation avec des cosinus

Revoir l’énoncé de l’exercice 1

1) a) En posant \(X = \cos x\) (donc \(X \in [-1\,;1]\)), l’équation (1) devient l’équation du second degré :

\[ 4X^2 – 2\left(1 + \sqrt{3}\right)X + \sqrt{3} = 0. \]

b) Avec \(a = 4\), \(b = -2(1 + \sqrt{3})\), \(c = \sqrt{3}\) :

\[ \begin{aligned} \Delta &= b^2 – 4ac = 4\left(1 + \sqrt{3}\right)^2 – 16\sqrt{3} = 4\left(4 + 2\sqrt{3}\right) – 16\sqrt{3} = 16 – 8\sqrt{3}. \end{aligned} \]

Or \(4\left(1 – \sqrt{3}\right)^2 = 4\left(1 – 2\sqrt{3} + 3\right) = 16 – 8\sqrt{3}\). Donc \(\Delta = 4\left(1 – \sqrt{3}\right)^2\).

c) \(\Delta \gt 0\) et \(\sqrt{\Delta} = 2\left|1 – \sqrt{3}\right| = 2\left(\sqrt{3} – 1\right)\) car \(\sqrt{3} \gt 1\). Les deux solutions sont :

\[ X_1 = \frac{2\left(1 + \sqrt{3}\right) – 2\left(\sqrt{3} – 1\right)}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \qquad X_2 = \frac{2\left(1 + \sqrt{3}\right) + 2\left(\sqrt{3} – 1\right)}{8} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \]

2) Les deux valeurs sont dans \([-1\,;1]\). On résout \(\cos x = \frac{1}{2}\) et \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) :

dans \(]-\pi\,;\pi]\) : \(\cos x = \frac{1}{2} \iff x = \frac{\pi}{3}\) ou \(x = -\frac{\pi}{3}\) ; \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \iff x = \frac{\pi}{6}\) ou \(x = -\frac{\pi}{6}\) ;
dans \(\mathbb{R}\) : on ajoute les multiples de \(2\pi\).

Les quatre solutions dans ]−π ; π]

Réponse : dans \(]-\pi\,;\pi]\), \(S = \left\{-\frac{\pi}{3}\,;-\frac{\pi}{6}\,;\frac{\pi}{6}\,;\frac{\pi}{3}\right\}\) ; dans \(\mathbb{R}\), \(x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = \pm\frac{\pi}{6} + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Exercice 2 : Droite et vecteur normal

Revoir l’énoncé de l’exercice 2

Une droite d’équation \(ax + by + c = 0\) admet le vecteur normal \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\). Pour \(d\) : \(\vec{n}_d\begin{pmatrix} 2 \\ -8 \end{pmatrix}\).

On remarque que \(\vec{n}_d = -2\,\vec{n}\) car \(-2 \times (-1) = 2\) et \(-2 \times 4 = -8\) : les vecteurs sont colinéaires, donc \(\vec{n}\) est aussi normal à \(d\).

Test du point \(T(14\,;7)\) : \(2 \times 14 – 8 \times 7 + 28 = 28 – 56 + 28 = 0\). Donc \(T \in d\).

Réponse : oui, \(d\) est la droite de vecteur normal \(\vec{n}\) passant par \(T\).

Exercice 3 : Rayon et coordonnées du centre du cercle

Revoir l’énoncé de l’exercice 3

Le cercle de centre \(\Omega(a\,;b)\) et de rayon \(r\) a pour équation \((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\).

1) \((x – 2)^2 + (y – 5)^2 = 9 = 3^2\) : centre \(\Omega_1(2\,;5)\), rayon \(r_1 = 3\).
2) \((x + 3)^2 + (y – 7)^2 = 5\) s’écrit \((x – (-3))^2 + (y – 7)^2 = \left(\sqrt{5}\right)^2\) : centre \(\Omega_2(-3\,;7)\), rayon \(r_2 = \sqrt{5}\).

Réponse : \(\mathscr{C}_1\) : centre \((2\,;5)\), rayon 3 ; \(\mathscr{C}_2\) : centre \((-3\,;7)\), rayon \(\sqrt{5}\).

Exercice 4 : Droites perpendiculaires

Revoir l’énoncé de l’exercice 4

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs (ou leurs vecteurs normaux) sont orthogonaux, c’est-à-dire de produit scalaire nul.

1) \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1 – 1 \\ 5 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 7 + 8 \\ 7 – 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 4 \end{pmatrix}\).

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = -2 \times 15 + 8 \times 4 = -30 + 32 = 2 \neq 0. \]

Les droites \((AB)\) et \((CD)\) ne sont pas perpendiculaires.

2) \(\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). La droite \(d_1 : x + 2y – 7 = 0\) a pour vecteur directeur \(\vec{u}_1\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) (vecteur \(\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\)).

\[ \overrightarrow{EF} \cdot \vec{u}_1 = 2 \times (-2) + 4 \times 1 = 0. \]

\((EF)\) et \(d_1\) sont perpendiculaires (on voit aussi que \(\overrightarrow{EF} = 2\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) est normal à \(d_1\)).

3) Vecteurs normaux : \(\vec{n}_2\begin{pmatrix} 4 \\ -8 \end{pmatrix}\) pour \(d_2\), et \(\vec{n}_3\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix}\) pour \(d_3 : -2x – y – 5 = 0\).

\[ \vec{n}_2 \cdot \vec{n}_3 = 4 \times (-2) + (-8) \times (-1) = -8 + 8 = 0. \]

Les vecteurs normaux sont orthogonaux, donc \(d_2\) et \(d_3\) sont perpendiculaires. (Vérification par les coefficients directeurs : \(\frac{1}{2}\) et \(-2\), dont le produit vaut \(-1\).)

Réponse : 1) non ; 2) oui ; 3) oui.

Exercice 5 : Exprimer un produit scalaire en fonction de vecteurs

Revoir l’énoncé de l’exercice 5

1) On trace \([BC]\) de 6 cm, puis on reporte au compas 3 cm depuis \(B\) et 5 cm depuis \(C\) : l’intersection des deux arcs donne \(A\).

Figure (échelle réduite) du triangle ABC

2) D’après la relation de Chasles, \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\). En élevant au carré scalaire :

\[ \begin{aligned} AC^2 &= \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right)^2 = AB^2 + 2\,\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} + BC^2 \\ \text{donc } \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} &= \frac{AC^2 – AB^2 – BC^2}{2}. \end{aligned} \]

3) \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{5^2 – 3^2 – 6^2}{2} = \frac{25 – 9 – 36}{2} = \frac{-20}{2} = -10. \]

Le résultat est négatif : c’est normal, car les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\) (mis bout à bout en \(B\)) forment un angle obtus.

Réponse : \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{AC^2 – AB^2 – BC^2}{2} = -10\).

Exercice 6 : Calculs de produits scalaires

Revoir l’énoncé de l’exercice 6

On utilise pour chaque question : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\left\|\vec{u} + \vec{v}\right\|^2 – \left\|\vec{u}\right\|^2 – \left\|\vec{v}\right\|^2\right)\), en choisissant des vecteurs dont la somme se simplifie par la relation de Chasles.

1) \(\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{EG}\), donc

\[ \overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{FG} = \frac{EG^2 – EF^2 – FG^2}{2} = \frac{36 – 64 – 121}{2} = -\frac{149}{2} = -74{,}5. \]

2) \(\overrightarrow{FG} + \overrightarrow{GE} = \overrightarrow{FE}\), donc

\[ \overrightarrow{FG} \cdot \overrightarrow{GE} = \frac{FE^2 – FG^2 – GE^2}{2} = \frac{64 – 121 – 36}{2} = -\frac{93}{2} = -46{,}5. \]

3) \(\overrightarrow{GF} + \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{GE}\), donc

\[ \overrightarrow{GF} \cdot \overrightarrow{FE} = \frac{GE^2 – GF^2 – FE^2}{2} = \frac{36 – 121 – 64}{2} = -\frac{149}{2} = -74{,}5. \]

On retrouve le résultat du 1) : \(\overrightarrow{GF} \cdot \overrightarrow{FE} = \left(-\overrightarrow{FG}\right) \cdot \left(-\overrightarrow{EF}\right) = \overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{FG}\).

Réponse : \(-\frac{149}{2}\) ; \(-\frac{93}{2}\) ; \(-\frac{149}{2}\).

Exercice 7 : Calculer des normes de vecteurs

Revoir l’énoncé de l’exercice 7

1) Dans un repère orthonormé, \(\left\|\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right\| = \sqrt{x^2 + y^2}\).

\[ \begin{aligned} \left\|\vec{a}\right\| &= \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \\ \left\|\vec{b}\right\| &= \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{34} \\ \vec{a} + \vec{b} &= \begin{pmatrix} -1 \\ 11 \end{pmatrix} \text{ donc } \left\|\vec{a} + \vec{b}\right\| = \sqrt{1 + 121} = \sqrt{122} \end{aligned} \]

2) Par l’identité de polarisation :

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}\left(\left\|\vec{a} + \vec{b}\right\|^2 – \left\|\vec{a}\right\|^2 – \left\|\vec{b}\right\|^2\right) = \frac{122 – 40 – 34}{2} = \frac{48}{2} = 24. \]

Vérification avec les coordonnées : \(2 \times (-3) + 6 \times 5 = -6 + 30 = 24\).

Réponse : \(\left\|\vec{a}\right\| = 2\sqrt{10}\), \(\left\|\vec{b}\right\| = \sqrt{34}\), \(\left\|\vec{a} + \vec{b}\right\| = \sqrt{122}\) et \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 24\).

Exercice 8 : Calculer des produits scalaires à l’aide de coordonnées

Revoir l’énoncé de l’exercice 8

Dans un repère orthonormé : \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = x x_2 + y y_2\).

\[ \begin{aligned} 1)\ \vec{u} \cdot \vec{v} &= 15 \times 6 + (-8) \times 9 = 90 – 72 = 18 \\ 2)\ \vec{s} \cdot \vec{t} &= (-1) \times (-3) + (-2) \times (-4) = 3 + 8 = 11 \\ 3)\ \vec{a} \cdot \vec{b} &= \left(\sqrt{3} – 2\right)\left(\sqrt{3} + 2\right) + 6 \times 1 = 3 – 4 + 6 = 5 \end{aligned} \]

4) \(\overrightarrow{UV}\begin{pmatrix} 5 – \sqrt{24} – 5 \\ \sqrt{2} – 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\sqrt{6} \\ \sqrt{2} – 1 \end{pmatrix}\) car \(\sqrt{24} = 2\sqrt{6}\).

\[ \vec{c} \cdot \overrightarrow{UV} = \sqrt{6} \times \left(-2\sqrt{6}\right) + 2\left(\sqrt{2} – 1\right) = -12 + 2\sqrt{2} – 2 = -14 + 2\sqrt{2}. \]

5) \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) : \(\vec{r} \cdot \overrightarrow{AB} = 3 \times (-2) + 7 \times 4 = -6 + 28 = 22\).

6) \(\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} -6 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{MR}\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\) : \(\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{MR} = -30 – 4 = -34\).

7) \(\overrightarrow{ST}\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) : \(\overrightarrow{ST} \cdot \overrightarrow{EF} = -9 + 3 = -6\).

Réponse : 18 ; 11 ; 5 ; \(-14 + 2\sqrt{2}\) ; 22 ; \(-34\) ; \(-6\).

Exercice 9 : Déterminer les produits scalaires suivants

Revoir l’énoncé de l’exercice 9

1) \(\vec{u} \cdot \vec{v} = (-1) \times 2 + 5 \times 4 = -2 + 20 = 18\).

2) Par bilinéarité, \((2\vec{u}) \cdot \vec{v} = 2\left(\vec{u} \cdot \vec{v}\right) = 2 \times 18 = 36\). (Vérification : \(2\vec{u}\begin{pmatrix} -2 \\ 10 \end{pmatrix}\) et \(-4 + 40 = 36\).)

3) \((-\vec{u}) \cdot (3\vec{v}) = (-1) \times 3 \times \left(\vec{u} \cdot \vec{v}\right) = -3 \times 18 = -54\).

Réponse : 18 ; 36 ; \(-54\).

Exercice 10 : Écrire un algorithme qui donne le produit scalaire

Revoir l’énoncé de l’exercice 10

Dans un repère orthonormé du plan, si \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}\), alors \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x x_2 + y y_2\). L’algorithme saisit les quatre coordonnées, calcule cette expression et l’affiche.

En langage naturel :
Saisir x1, y1 (coordonnées de u)
Saisir x2, y2 (coordonnées de v)
p prend la valeur x1 × x2 + y1 × y2
Afficher p

En Python :
x1 = float(input(« Abscisse de u : « ))
y1 = float(input(« Ordonnée de u : « ))
x2 = float(input(« Abscisse de v : « ))
y2 = float(input(« Ordonnée de v : « ))
p = x1 * x2 + y1 * y2
print(« Produit scalaire : », p)

Test : avec \(\vec{u}\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) (exercice 9), le programme affiche 18.

Réponse : l’algorithme calcule et affiche \(x_1 x_2 + y_1 y_2\).

La méthode à retenir sur le produit scalaire dans le plan

Avec des coordonnées (repère orthonormé) : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x x_2 + y y_2\).
Avec des longueurs : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\left\|\vec{u} + \vec{v}\right\|^2 – \left\|\vec{u}\right\|^2 – \left\|\vec{v}\right\|^2\right)\), en utilisant Chasles pour simplifier \(\vec{u} + \vec{v}\).
Orthogonalité : deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
La droite \(ax + by + c = 0\) a pour vecteur normal \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) et pour vecteur directeur \(\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\).
Cercle de centre \((a\,;b)\) et de rayon \(r\) : \((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\).
Bilinéarité : \((k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k\left(\vec{u} \cdot \vec{v}\right)\).

Les erreurs fréquentes

Lire le centre de \((x + 3)^2 + (y – 7)^2 = 5\) comme \((3\,;7)\) : le bon centre est \((-3\,;7)\), et le rayon est \(\sqrt{5}\), pas 5.
Confondre vecteur normal et vecteur directeur d’une droite donnée par une équation cartésienne.
Oublier le signe dans \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}\) : les vecteurs ne partent pas du même point, le produit scalaire vaut \(-\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}\).
Recopier une coordonnée en changeant son signe (\(-2\) lu \(2\)) : un seul signe faux change tout le résultat.
Oublier de vérifier que \(X = \cos x\) appartient à \([-1\,;1]\) avant de revenir à \(x\).

Les exercices 11 à 48 de la fiche ne sont pas corrigés ici : ce sont de bons entraînements en autonomie une fois la méthode comprise. Retrouver tous les énoncés.

Questions fréquentes

Quelle formule du produit scalaire choisir ?

Cela dépend des données. Avec des coordonnées, on prend \(x x_2 + y y_2\). Avec seulement des longueurs, on utilise la formule des normes (polarisation) ; avec une longueur et un angle, on prend \(\left\|\vec{u}\right\| \times \left\|\vec{v}\right\| \times \cos\theta\).

Un produit scalaire peut-il être négatif ?

Oui. Il est négatif lorsque l’angle entre les deux vecteurs est obtus, positif lorsqu’il est aigu et nul lorsque les vecteurs sont orthogonaux. Un produit scalaire n’est pas une longueur, c’est un nombre réel quelconque.

Comment prouver que deux droites sont perpendiculaires en première ?

On prend un vecteur directeur (ou un vecteur normal) de chaque droite et on calcule leur produit scalaire. S’il est nul, les droites sont perpendiculaires. Cette méthode marche même pour une droite verticale, contrairement au critère « produit des coefficients directeurs égal à \(-1\) ».

Pour aller plus loin :

Les énoncés : Produit scalaire dans le plan : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
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