Corrigé du brevet de maths 2000 : Académie de Besançon, septembre

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2000 : Académie de Besançon, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Ce que détaille le corrigé corrigé Besançon 2000

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Besançon 2000 est découpé en 9 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Quotient de fractions » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Racine de 45 » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « Développer et factoriser » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Sodas et chocolats » (exercice 4). En outre, la correction reprend « Triangle dans un cercle » (exercice 1 de géométrie).

Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Transformations dans un carré » (exercice 2 de géométrie). Puis tu trouves la solution rédigée de « Triangle dans un repère » (exercice 3 de géométrie). Par ailleurs, le corrigé explique « Fonction affine » (première partie). Enfin, la correction reprend « Section d’une pyramide » (deuxième partie).

Ainsi, le corrigé corrigé Besançon 2000 te fait revoir les fractions, les racines carrées, les équations, la trigonométrie et le théorème de Pythagore, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Partie numérique

Corrigé de l’exercice 1 (Besançon 2000) : un calcul de fractions

La division est prioritaire sur la soustraction. Diviser par \(\dfrac{2}{5}\), c’est multiplier par son inverse \(\dfrac{5}{2}\) :

\[\dfrac{4}{7}:\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{7}\times\dfrac{5}{2}=\dfrac{20}{14}=\dfrac{10}{7}\]

Il reste une soustraction de deux fractions de même dénominateur :

\[A=\dfrac{6}{7}-\dfrac{10}{7}=\dfrac{6-10}{7}\]

Donc \(A=-\dfrac{4}{7}\), fraction irréductible car 4 et 7 n’ont pas de diviseur commun autre que 1.

Corrigé de l’exercice 2 : simplifier une racine carrée

1. D’abord, on cherche dans 45 le plus grand carré parfait qui le divise : \(45=9\times 5\) et \(9=3^2\). Comme \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) pour des nombres positifs :

\[\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=\sqrt{9}\times\sqrt{5}\]

Donc \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) (avec \(a=3\) et \(b=5\) ; on ne peut pas descendre plus bas car 5 n’a aucun diviseur carré autre que 1).

2. On remplace \(\sqrt{45}\) par \(3\sqrt{5}\), puis on regroupe les termes en \(\sqrt{5}\) comme on regrouperait des \(x\) :

\[B=8\sqrt{5}-3\sqrt{5}=(8-3)\sqrt{5}\]

Donc \(B=5\sqrt{5}\), soit \(c=5\).

Corrigé de l’exercice 3 (Besançon 2000) : développer, factoriser, résoudre

1. Tout d’abord, on développe \((x+2)^2\) avec l’identité remarquable \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) :

\[C=x^2+2\times x\times 2+2^2-16=x^2+4x+4-16\]

Donc \(C=x^2+4x-12\).

2. Comme \(16=4^2\), l’expression de départ est une différence de deux carrés. Ensuite, on utilise \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) avec \(a=x+2\) et \(b=4\) :

\[C=(x+2)^2-4^2=\big((x+2)-4\big)\big((x+2)+4\big)\]

Donc \(C=(x-2)(x+6)\). Tu peux contrôler : \((x-2)(x+6)=x^2+6x-2x-12=x^2+4x-12\), on retrouve bien le résultat de la question 1.

3. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

\(x-2=0\), c’est-à-dire \(x=2\) ; ou \(x+6=0\), c’est-à-dire \(x=-6\).

L’équation a deux solutions : \(2\) et \(-6\).

Corrigé de l’exercice 4 : sodas et chocolats

1. Deux sodas coûtent \(2x\) francs et trois chocolats \(3y\) francs : la première information donne \(2x+3y=55{,}5\). La seconde dit que le soda vaut 1,50 franc de plus que le chocolat : \(x=y+1{,}5\). Le système est :

\[\left\{\begin{array}{l}2x+3y=55{,}5\\ x=y+1{,}5\end{array}\right.\]

2. Puis on résout par substitution : on remplace \(x\) par \(y+1{,}5\) dans la première équation.

\[2(y+1{,}5)+3y=55{,}5\]

\[2y+3+3y=55{,}5\]

\[5y=52{,}5\quad\text{donc}\quad y=\dfrac{52{,}5}{5}=10{,}5\]

Puis \(x=10{,}5+1{,}5=12\).

Vérification : \(2\times 12+3\times 10{,}5=24+31{,}5=55{,}5\) et \(12-10{,}5=1{,}5\). Les deux conditions sont respectées.

Un soda coûte 12 francs et un chocolat coûte 10,50 francs.

Partie géométrique

Corrigé de l’exercice 1 (Besançon 2000) : triangle inscrit dans un cercle

1. Le point C est sur le cercle de diamètre [AB]. Propriété : si un triangle est inscrit dans un cercle et qu’un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle, et le diamètre est son hypoténuse.

Donc le triangle ABC est rectangle en C.

2. Dans le triangle ABC rectangle en C, l’hypoténuse est [AB] = 10 cm et on connaît l’angle \(\widehat{ABC}=50^\circ\). Par rapport à cet angle, [AC] est le côté opposé et [BC] le côté adjacent.

Avec le sinus :

\[\sin\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB}\quad\text{donc}\quad AC=10\times\sin 50^\circ\approx 7{,}660\ \text{cm}\]

Avec le cosinus :

\[\cos\widehat{ABC}=\dfrac{BC}{AB}\quad\text{donc}\quad BC=10\times\cos 50^\circ\approx 6{,}428\ \text{cm}\]

Arrondis au millimètre : AC ≈ 7,7 cm et BC ≈ 6,4 cm.

Contrôle avec Pythagore : \(7{,}660^2+6{,}428^2\approx 58{,}68+41{,}32=100=10^2\). C’est cohérent.

Corrigé de l’exercice 2 : transformations dans un carré

Aucune justification n’est demandée, mais voici comment trouver chaque image : on cherche l’image de chacun des trois sommets A, B et C, en gardant l’ordre.

1. La rotation de centre O d’angle 90° qui envoie G sur E tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (G est en bas, E à droite). Elle envoie A (à gauche) sur G (en bas), B (en haut à gauche) sur H (en bas à gauche) et C (en haut) sur A (à gauche). L’image de ABC est le triangle GHA.

2. Le vecteur \(\overrightarrow{OF}\) fait descendre d’un demi-côté et décale d’un demi-côté vers la droite. A va en G, B va en O et C va en E. L’image de ABC est le triangle GOE.

3. L’axe (AE) est la droite horizontale qui passe par O. A est sur l’axe donc reste en A, B va en H et C va en G. L’image de ABC est le triangle AHG.

4. La symétrie de centre O envoie chaque point sur le point diamétralement opposé : A en E, B en F et C en G. L’image de ABC est le triangle EFG.

Corrigé de l’exercice 3 (Besançon 2000) : un triangle dans un repère

1. Pour commencer, on place A(2 ; −2), B(−3 ; 1) et C(1 ; 2) dans le repère : première coordonnée sur l’axe horizontal, seconde sur l’axe vertical.

2. a. Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points est \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).

\[AB=\sqrt{(-3-2)^2+(1-(-2))^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\]

\[AC=\sqrt{(1-2)^2+(2-(-2))^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\]

\[BC=\sqrt{(1-(-3))^2+(2-1)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}\]

Donc \(AB=\sqrt{34}\ \text{cm}\approx 5{,}83\ \text{cm}\), \(AC=\sqrt{17}\ \text{cm}\) et \(BC=\sqrt{17}\ \text{cm}\approx 4{,}12\ \text{cm}\).

b. Comme \(AC=BC=\sqrt{17}\), le triangle ABC est isocèle en C. Ensuite, [AB] est le plus grand côté et \(AC^2+BC^2=17+17=34=AB^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

Le triangle ABC est rectangle isocèle en C.

3. Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités :

\[x_M=\dfrac{2+1}{2}=1{,}5\qquad y_M=\dfrac{-2+2}{2}=0\]

Donc \(M(1{,}5\,;\,0)\).

4. a. Pour aller de B à C, on avance de 4 vers la droite et de 1 vers le haut : \(\overrightarrow{BC}\) a pour coordonnées \((4\,;\,1)\). On applique le même déplacement à partir de A : \(D(2+4\,;\,-2+1)\), soit \(D(6\,;\,-1)\).

b. D est l’image de A par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BC}\), donc \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) : le quadrilatère ADCB est un parallélogramme. Ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu. Comme M est le milieu de [AC], c’est aussi le milieu de [BD].

Vérification par le calcul : le milieu de [BD] a pour coordonnées \(\left(\dfrac{-3+6}{2}\,;\,\dfrac{1+(-1)}{2}\right)=(1{,}5\,;\,0)\), c’est bien M.

M est le milieu du segment [BD].

5. Dans le triangle ABC, la droite qui passe par M, milieu de [AC], et qui est parallèle à (BC) coupe le troisième côté [AB] en son milieu (théorème de la droite des milieux). Donc N est le milieu de [AB] :

\[x_N=\dfrac{2+(-3)}{2}=-0{,}5\qquad y_N=\dfrac{-2+1}{2}=-0{,}5\]

Donc \(N(-0{,}5\,;\,-0{,}5)\).

Problème

Corrigé de la première partie : la fonction affine f

1. \(f(0)=40-4\times 0=40\). L’image de 0 est 40.

2. Alors on résout \(f(x)=16\) :

\[40-4x=16\quad\text{donc}\quad -4x=-24\quad\text{donc}\quad x=6\]

Contrôle : \(40-4\times 6=16\). Le nombre 6 a pour image 16.

3. \(f\) est une fonction affine, sa représentation graphique est une droite. Deux points suffisent, un troisième sert de contrôle : \((0\,;\,40)\), \((6\,;\,16)\) et \((10\,;\,0)\) car \(f(10)=40-40=0\). Avec l’échelle imposée (1 cm pour 1 unité en abscisse, 1 cm pour 5 unités en ordonnée), le point \((0\,;\,40)\) est à 8 cm au-dessus de l’origine et le point \((10\,;\,0)\) à 10 cm à droite.

4. On part de 10 sur l’axe des ordonnées, on trace horizontalement jusqu’à la droite, puis on descend verticalement jusqu’à l’axe des abscisses : on lit 7,5. Par le calcul, \(40-4x=10\) donne \(4x=30\), soit \(x=7{,}5\). Le nombre qui a pour image 10 est 7,5.

Corrigé de la deuxième partie : section d’une pyramide

1. La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction de la base. La base EFGH est une face du pavé droit, donc un rectangle. Le quadrilatère IJKL est un rectangle (réduction du rectangle HEFG).

2. Construction sur le dessin : on trace à partir de I la parallèle à (HE) ; elle coupe [DE] en J. De J, on trace la parallèle à (EF), qui coupe [DF] en K. De K, la parallèle à (FG) coupe [DG] en L. Ensuite, on ferme avec [LI], parallèle à (GH). En perspective cavalière, les côtés cachés (ici [IJ] et [IL], situés sur les faces arrière et gauche de la pyramide) sont en pointillés.

3. a. I est sur le segment [DH], donc \(DI=DH-IH=10-4\). DI = 6 cm.

b. Dans le triangle DEH, J est sur [DE], I est sur [DH] et les droites (IJ) et (EH) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{DI}{DH}=\dfrac{DJ}{DE}=\dfrac{IJ}{HE}\quad\text{donc}\quad \dfrac{6}{10}=\dfrac{IJ}{8}\quad\text{donc}\quad IJ=\dfrac{6\times 8}{10}=4{,}8\ \text{cm}\]

De même, dans le triangle DGH, L est sur [DG], I est sur [DH] et (IL) est parallèle à (GH) :

\[\dfrac{DI}{DH}=\dfrac{IL}{HG}\quad\text{donc}\quad \dfrac{6}{10}=\dfrac{IL}{12}\quad\text{donc}\quad IL=\dfrac{6\times 12}{10}=7{,}2\ \text{cm}\]

Puis on a bien IJ = 4,8 cm et IL = 7,2 cm.

c. IJKL est un rectangle de côtés IJ et IL :

\[p=2\times(4{,}8+7{,}2)=2\times 12\]

Le périmètre vaut 24 cm.

4. a. Ensuite, on reprend exactement les mêmes calculs en remplaçant 4 par \(x\) :

\[DI=10-x\]

\[IJ=\dfrac{(10-x)\times 8}{10}=0{,}8(10-x)=8-0{,}8x\]

\[IL=\dfrac{(10-x)\times 12}{10}=1{,}2(10-x)=12-1{,}2x\]

Donc \(DI=10-x\), \(IJ=8-0{,}8x\) et \(IL=12-1{,}2x\) (en cm).

b. \(p=2\times(IJ+IL)=2\times(8-0{,}8x+12-1{,}2x)=2\times(20-2x)\).

Donc \(p=40-4x\). Pour \(x=4\), on retrouve \(40-16=24\) cm, comme à la question 3.c.

On remarque que \(p\) est exactement la fonction \(f\) de la première partie : le graphique tracé plus haut donne donc le périmètre de la section pour chaque position de I. Par exemple, un périmètre de 10 cm correspond à IH = 7,5 cm.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2000 : Académie de Besançon, septembre.

Bien réviser avec le corrigé corrigé Besançon 2000

Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.

Pour les fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. En ce qui concerne les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Quant aux équations, isole l’inconnue étape par étape, puis vérifie la solution en la remplaçant dans l’équation de départ. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé Besançon 2000, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé Besançon 2000

Faut-il lire le corrigé corrigé Besançon 2000 en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2000. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement les fractions, les racines carrées, les équations et la trigonométrie. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Besançon 2000

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

Télécharger ou imprimer cette fiche «corrigé du brevet de maths 2000 : Académie de Besançon, septembre» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

 Maths PDF c'est 16 200 955 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.