Construire le symétrique d’une figure : corrigé du contrôle de maths en 5ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 5ème sur le thème « construire le symétrique d’une figure », question par question.
Cette correction reprend chaque construction avec une figure complétée : les images sont tracées en vert et les segments qui passent par le centre apparaissent en pointillés. Pour chaque point, elle rappelle la méthode : droite passant par le centre, puis report de la distance au compas ou comptage des carreaux.
Les réponses aux questions de longueur, d’angle ou d’aire sont rédigées comme sur une copie, avec la propriété citée avant la conclusion. Le barème précise la part des points donnée à la précision du tracé et celle donnée à la justification. Les remarques signalent les confusions fréquentes, surtout entre symétrie centrale et symétrie axiale. Compare tes tracés avec les figures, puis refais au propre ceux qui s’en écartent.
L’énoncé complet se trouve ici : Construire le symétrique d’une figure : contrôle de maths en 5ème.
Barème du contrôle corrigé : construire le symétrique d’une figure
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. La maison sur le quadrillage | 4 points |
| 2. Un segment et son image | 4 points |
| 3. Triangle et cercle au compas | 4 points |
| 4. Symétrie centrale ou pas ? | 3 points |
| 5. Le logo du club de voile | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : construire le symétrique d’une figure
Exercice 1 – La maison sur le quadrillage (4 points)
- Pour aller de M à O, on avance de 3 carreaux vers la droite et de 3 carreaux vers le haut. On recommence le même trajet à partir de O : M’ est 3 carreaux à droite et 3 carreaux au-dessus de O.
- On fait de même pour chaque sommet. Par exemple, de A à O : 6 carreaux vers la droite et 1 carreau vers le bas. Donc A’ est 6 carreaux à droite de O et 1 carreau en dessous. De D à O : 4 carreaux vers la droite et 5 vers le bas. Donc D’ est 4 carreaux à droite de O et 5 carreaux en dessous. On relie ensuite A’, B’, C’, D’, E’ dans cet ordre. La maison image est « la tête en bas ».
- La symétrie centrale conserve les longueurs, et [A’B’] est le symétrique de [AB]. Donc \(A^{\prime}B^{\prime} = AB = 4\) carreaux.
Piège classique : tracer l’image par une symétrie axiale en « retournant » la maison de l’autre côté d’une ligne. Avec un centre, la maison fait un demi-tour : le toit se retrouve en bas.
Exercice 2 – Un segment et son image (4 points)
- On trace [AB] de 5 cm, puis deux arcs de cercle. L’un a pour centre A et pour rayon 3 cm, l’autre a pour centre B et pour rayon 4 cm. Ainsi, O est l’un de leurs points d’intersection.
Ensuite, on trace la demi-droite [AO) et on reporte au compas \(OA^{\prime} = OA = 3\text{ cm}\) au-delà de O. On fait de même avec [BO) : \(OB^{\prime} = OB = 4\text{ cm}\). O est le milieu de [AA’] et de [BB’]. - [A’B’] est le symétrique de [AB] par rapport à O. Or la symétrie centrale conserve les longueurs. Donc \(A^{\prime}B^{\prime} = AB = 5\text{ cm}\).
- I’ est placé sur la droite (OI), de l’autre côté de O, avec \(OI^{\prime} = OI\). Le point I’ est donc lui aussi sur (d). Or une droite passant par le centre a pour image une droite passant par le centre. Comme O et I’ sont sur (d), donc la droite (d) est sa propre image : son symétrique est (d) elle-même. On remarque aussi que I’ est le milieu de [A’B’].
- Le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle. Les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles.
Exercice 3 – Triangle et cercle au compas (4 points)
- R, T et O sont alignés, donc R’ et T’ sont sur la droite (RT). Ainsi, T’ est à 3 cm de O au-delà de O, et R’ est à \(OR = 5 + 3 = 8\text{ cm}\) de O au-delà de O.
Pour S’ : on trace la droite (SO), puis on pointe le compas en O avec l’écartement OS. On trace ensuite un arc de l’autre côté de O, et S’ est à l’intersection de l’arc et de la droite. On relie R’, S’ et T’. - L’image d’un cercle par une symétrie centrale est un cercle de même rayon, dont le centre est l’image du centre. (C’) est le cercle de centre S’ et de rayon \(1{,}5\text{ cm}\).
- La symétrie centrale conserve les longueurs.
[R’T’] est l’image de [RT], donc \(R^{\prime}T^{\prime} = RT = 5\text{ cm}\).
Le rayon de (C’) est égal à celui de (C) : \(1{,}5\text{ cm}\).
Vérification : \(OR^{\prime} – OT^{\prime} = 8 – 3 = 5\text{ cm}\).
Piège classique : placer T’ entre T et O. L’image d’un point se trouve toujours de l’autre côté du centre, à la même distance de lui.
Exercice 4 – Symétrie centrale ou pas ? (3 points)
- Dans le cas a, le motif orange est le motif bleu ayant fait un demi-tour : il a donc la tête en bas, et les branches du F sont tournées vers la gauche. C’est le cas a.
- Cas b : le motif orange est retourné comme dans un miroir, autour d’une droite verticale. C’est une symétrie axiale, pas une symétrie centrale, car le haut du F reste en haut.
Cas c : le motif orange a seulement glissé de 5 carreaux vers la droite, sans tourner ni se retourner. Ce n’est donc pas une symétrie centrale. - Le centre K est le milieu de tout segment qui joint un point du motif bleu à son image. On relie deux points bleus à leurs images orange, par exemple le coin en bas à gauche du F bleu au coin en haut à droite du F orange. K est le point d’intersection de ces segments. Il est situé au milieu du quadrillage, 5 carreaux à partir de la gauche et 3,5 carreaux à partir du bas.
Exercice 5 – Le logo du club de voile (5 points)
- On trace [AB] de 6 cm, puis on trace au rapporteur l’angle de \(50^\circ\) en A. Ensuite, on place C sur ce côté à 4 cm de A. On place O au milieu de [BC] (\(BO = OC\)). On trace la demi-droite [AO) et on reporte \(OD = OA\) au-delà de O. Le logo ABDC est tracé.
- O est le milieu de [BC], donc le symétrique de B par rapport à O est C, et le symétrique de C est B.
- Par la symétrie de centre O : A a pour image D, B a pour image C et C a pour image B.
Le segment [AB] a pour image [DC] et le segment [AC] a pour image [DB].
La symétrie centrale conserve les longueurs, donc \(CD = AB = 6\text{ cm}\) et \(BD = AC = 4\text{ cm}\). - L’angle \(\widehat{BAC}\) a pour image l’angle \(\widehat{CDB}\). La symétrie centrale conserve les angles, donc \(\widehat{CDB} = \widehat{BAC} = 50^\circ\).
- Le triangle DCB est l’image du triangle ABC. La symétrie centrale conserve les aires, donc les deux triangles ont la même aire.
\(9{,}2 + 9{,}2 = 18{,}4\)
L’aire du logo ABDC vaut environ \(18{,}4\text{ cm}^2\).
Piège classique : écrire \(BD = AB\) en associant les points dans le désordre. Il faut d’abord écrire l’image de chaque point (A donne D, B donne C) avant d’associer les segments.
À retenir de ce contrôle
- Le point M’ est le symétrique de M par rapport à O lorsque O est le milieu du segment [MM’].
- Pour construire une image au compas, on trace la droite passant par le point et le centre, puis on reporte la même distance de l’autre côté.
- La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles et les aires : une figure et son image sont superposables.
- L’image d’une droite par une symétrie centrale lui est parallèle ; si la droite passe par le centre, elle est sa propre image.
- Une symétrie centrale fait tourner la figure d’un demi-tour autour du centre, alors qu’une symétrie axiale la retourne comme un pliage.
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