Symétrie centrale et parallélogrammes : corrigé du contrôle de maths en 5ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 5ème sur le thème « symétrie centrale et parallélogrammes », question par question.
Cette correction reprend les cinq exercices dans l’ordre, avec la construction attendue sur le quadrillage et la figure complétée du jardin. Pour chaque justification, elle montre la rédaction en trois temps qu’on attend d’un élève de 5ème : les données, la propriété citée en entier, puis la conclusion. Compare ta copie ligne par ligne : une réponse juste sans propriété ne rapporte qu’une partie des points, comme l’indique le barème placé sous chaque exercice. Les pièges signalés (confusion avec la symétrie axiale, diagonales perpendiculaires qui ne suffisent pas) sont ceux qui coûtent le plus souvent des points. Refais ensuite seul les questions manquées, sans regarder la solution.
L’énoncé complet se trouve ici : Symétrie centrale et parallélogrammes : contrôle de maths en 5ème.
Barème du contrôle corrigé : symétrie centrale et parallélogrammes
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Le triangle RST et son image | 4 points |
| 2. Ce que la symétrie conserve | 4 points |
| 3. Le parallélogramme EFGH | 4 points |
| 4. Trois quadrilatères à identifier | 4 points |
| 5. La pelouse de Maëlys | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : symétrie centrale et parallélogrammes
Exercice 1 – Le triangle RST et son image (4 points)
- Pour chaque sommet, on compte le trajet jusqu’à O puis on le refait au-delà de O. De R à O : 4 carreaux vers la droite et 1 vers le bas, donc R’ est 4 carreaux à droite de O et 1 carreau en dessous. De S à O : 2 carreaux vers la droite et 3 vers le bas, donc S’ est 2 carreaux à droite de O et 3 en dessous. De T à O : 1 carreau vers la droite et 1 vers le haut, donc T’ est 1 carreau à droite de O et 1 au-dessus. On relie R’, S’ et T’ : le triangle image a fait un demi-tour autour de O.
- R’ est le symétrique de R par rapport à O, donc O est le milieu de [RR’]. De même, O est le milieu de [SS’]. Les diagonales [RR’] et [SS’] du quadrilatère RSR’S’ ont donc le même milieu O. Or, si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme. RSR’S’ est un parallélogramme de centre O.
- La droite (S’T’) est la symétrique de la droite (ST) par rapport à O. Or le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle. Les droites (ST) et (S’T’) sont parallèles.
Piège classique : retourner le triangle comme dans un miroir (symétrie axiale). Avec un centre, chaque point passe de l’autre côté de O, à la même distance, sur la droite qui le relie à O.
Exercice 2 – Ce que la symétrie conserve (4 points)
- Le segment [K’L’] est le symétrique du segment [KL] par rapport à O. Or la symétrie centrale conserve les longueurs. Donc \(K^{\prime}L^{\prime} = KL = 5{,}2\text{ cm}\).
- L’angle \(\widehat{K^{\prime}L^{\prime}M^{\prime}}\) est le symétrique de l’angle \(\widehat{KLM}\). Or la symétrie centrale conserve les mesures d’angles. Donc \(\widehat{K^{\prime}L^{\prime}M^{\prime}} = 48^\circ\).
- Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à \(180^\circ\). Dans le triangle KLM :
\(\widehat{KML} = 180^\circ – 48^\circ – 70^\circ\)
\(\widehat{KML} = 62^\circ\).
L’angle \(\widehat{K^{\prime}M^{\prime}L^{\prime}}\) est le symétrique de \(\widehat{KML}\) et la symétrie centrale conserve les angles. Donc \(\widehat{K^{\prime}M^{\prime}L^{\prime}} = 62^\circ\). - La droite (K’L’) est la symétrique de la droite (KL) par rapport à O ; or une droite et sa symétrique par rapport à un point sont parallèles. Oui, (KL) et (K’L’) sont parallèles.
Exercice 3 – Le parallélogramme EFGH (4 points)
- Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. [GH] est opposé à [EF] et [EH] est opposé à [FG]. Donc \(GH = 6{,}5\text{ cm}\) et \(EH = 4\text{ cm}\).
- Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu : I est le milieu de [EG] et de [HF].
\(EI = 9 \div 2 = 4{,}5\text{ cm}\)
\(IH = 6 \div 2 = 3\text{ cm}\)
EI mesure 4,5 cm et IH mesure 3 cm. - Dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure : \(\widehat{GHE}\) est opposé à \(\widehat{EFG}\), donc \(\widehat{GHE} = 115^\circ\).
Deux angles consécutifs d’un parallélogramme ont pour somme \(180^\circ\) : \(\widehat{HEF} = 180^\circ – 115^\circ = 65^\circ\).
\(\widehat{GHE} = 115^\circ\) et \(\widehat{HEF} = 65^\circ\). - I est le centre de symétrie du parallélogramme et le milieu de [EG]. Le symétrique de E est G, celui de [EF] est [GH].
Piège classique : penser que les deux diagonales ont la même longueur. C’est vrai seulement pour un rectangle : ici EG et HF sont différentes, donc EI et IH aussi.
Exercice 4 – Trois quadrilatères à identifier (4 points)
- Le codage montre que J est le milieu de [AC] et de [BD] : les diagonales ont le même milieu, donc ABCD est un parallélogramme. De plus, ses diagonales sont perpendiculaires. Or un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange. ABCD est un losange.
- Les quatre demi-diagonales ont la même longueur : K est le milieu de [EG] et de [FH], donc EFGH est un parallélogramme, et \(EG = FH\). Or un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle. EFGH est un rectangle (ce n’est pas un carré : rien n’indique que ses diagonales sont perpendiculaires).
- MNPQ a ses quatre côtés de même longueur : c’est un losange. Il a de plus un angle droit en M. Or un losange qui a un angle droit est un carré. MNPQ est un carré.
- Noé a tort. Un cerf-volant a des diagonales perpendiculaires, mais elles ne se coupent pas en leur milieu : ce n’est même pas un parallélogramme. Pour un losange, il faut des diagonales perpendiculaires et de même milieu.
Exercice 5 – La pelouse de Maëlys (4 points)
- D est le symétrique de A par rapport à M, donc M est le milieu de [AD]. On sait aussi que M est le milieu de [BC]. Les diagonales [AD] et [BC] du quadrilatère ABDC ont donc le même milieu M. Or un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme. ABDC est un parallélogramme.
- ABDC est un parallélogramme et le triangle ABC est rectangle en A, donc l’angle \(\widehat{BAC}\) est droit. Or un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle. ABDC est un rectangle.
- Dans le rectangle ABDC, les côtés opposés sont égaux : \(BD = AC = 6\text{ m}\) et \(CD = AB = 8\text{ m}\).
Périmètre : \(8 + 6 + 8 + 6 = 28\text{ m}\).
Prix : \(28 \times 3 = 84\) €.
Maëlys va payer 84 € de bordure. - Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur. Donc \(AD = BC = 10\text{ m}\).
À retenir de ce contrôle
- Dans une symétrie centrale de centre O, le point O est le milieu du segment qui relie un point à son image.
- La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles et les aires, et transforme une droite en une droite parallèle.
- Un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme : ce milieu est son centre de symétrie.
- Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux et deux angles consécutifs ont pour somme 180 degrés.
- Un parallélogramme aux diagonales de même longueur est un rectangle, aux diagonales perpendiculaires un losange, avec les deux un carré.
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