Triangles semblables et agrandissements : corrigé du contrôle de maths en 4ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 4ème sur le thème « triangles semblables et agrandissements », question par question.
Cette correction montre la rédaction attendue au collège : on cite la propriété utilisée, on écrit les correspondances de sommets, puis on calcule. Pour chaque exercice, les quotients de longueurs sont posés dans le même ordre, du grand triangle vers le petit, ce qui évite de mélanger agrandissement et réduction.
Tu y trouveras aussi le barème question par question et les erreurs fréquentes, comme multiplier une aire par le coefficient au lieu de son carré. Les figures complétées affichent les angles et les longueurs trouvés. Après lecture, reprends l’exercice de l’ombre avec d’autres mesures : c’est le meilleur test pour vérifier que la méthode est acquise.
L’énoncé complet se trouve ici : Triangles semblables et agrandissements : contrôle de maths en 4ème.
Barème du contrôle corrigé : triangles semblables et agrandissements
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Deux triangles et leurs angles | 3 points |
| 2. Des longueurs proportionnelles ? | 4 points |
| 3. Agrandir un triangle rectangle | 5 points |
| 4. Le fanion miniature | 3 points |
| 5. L’ombre du peuplier | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : triangles semblables et agrandissements
Exercice 1 – Deux triangles et leurs angles (3 points)
- La somme des angles d’un triangle est égale à \(180^\circ\).
\(\widehat{ACB} = 180^\circ – 50^\circ – 70^\circ\)
\(\widehat{ACB} = 60^\circ\) - Ensuite, dans le triangle DEF :
\(\widehat{DFE} = 180^\circ – 70^\circ – 60^\circ\)
\(\widehat{DFE} = 50^\circ\) - Les angles du triangle ABC mesurent \(50^\circ\), \(70^\circ\) et \(60^\circ\). Ceux du triangle DEF mesurent \(70^\circ\), \(60^\circ\) et \(50^\circ\). Ils sont égaux deux à deux, donc les triangles ABC et DEF sont semblables.
- Ainsi, les sommets homologues sont ceux qui portent des angles égaux :
A ↔ F (\(50^\circ\)), B ↔ D (\(70^\circ\)) et C ↔ E (\(60^\circ\)).
Piège classique : associer A à D et B à E, car les lettres se suivent. Seuls les angles égaux indiquent quels sommets se correspondent.
Exercice 2 – Des longueurs proportionnelles ? (4 points)
- Dans l’ordre croissant :
triangle RST : \(RS = 4\), \(ST = 6\), \(RT = 8\) ;
triangle UVW : \(UW = 6\), \(UV = 9\), \(VW = 12\).
Puis, calculons les quotients :
\(\dfrac{UW}{RS} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5\)
\(\dfrac{UV}{ST} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5\)
\(\dfrac{VW}{RT} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\)
Les trois quotients sont égaux à 1,5. - Les côtés de UVW sont proportionnels à ceux de RST (coefficient 1,5), donc les triangles RST et UVW sont semblables : UVW est un agrandissement de RST.
- Ainsi, les côtés homologues sont [RS] et [UW], [ST] et [UV], [RT] et [VW].
R est commun à [RS] et [RT]. Il correspond donc au sommet commun à [UW] et [VW], c’est-à-dire W. De même, S correspond à U et T correspond à V.
R ↔ W, S ↔ U et T ↔ V.
Piège classique : diviser les longueurs dans l’ordre de l’énoncé (\(UV \div RS\), \(VW \div ST\)…) sans les ranger. Les quotients ne sont alors plus égaux. On conclut à tort que les triangles ne sont pas semblables.
Exercice 3 – Agrandir un triangle rectangle (5 points)
- K correspond à P et L à Q, donc [PQ] est le côté homologue de [KL].
\(k = \dfrac{PQ}{KL} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5\)
Le coefficient d’agrandissement est 1,5. - [QN] est homologue de [LM] et [PN] est homologue de [KM] :
\(QN = 1{,}5 \times 8 = 12\)
\(PN = 1{,}5 \times 10 = 15\)
\(QN = 12\text{ cm}\) et \(PN = 15\text{ cm}\). - Périmètre de KLM : \(6 + 8 + 10 = 24\), soit \(24\text{ cm}\).
Périmètre de PQN : \(9 + 12 + 15 = 36\), soit \(36\text{ cm}\).
\(36 \div 24 = 1{,}5\) : le périmètre a été multiplié par 1,5, le même coefficient que les longueurs. - Comme KLM est rectangle en L, ses côtés de l’angle droit sont [KL] et [LM] :
\(\text{Aire}_{KLM} = \dfrac{6 \times 8}{2} = 24\), soit \(24\text{ cm}^2\).
Ensuite, les aires sont multipliées par le carré du coefficient :
\(1{,}5^2 = 2{,}25\)
\(\text{Aire}_{PQN} = 24 \times 2{,}25 = 54\)
Vérification directe, PQN étant rectangle en Q : \(\dfrac{9 \times 12}{2} = 54\).
L’aire du triangle PQN est \(54\text{ cm}^2\).
Piège classique : multiplier l’aire par 1,5 et trouver \(36\text{ cm}^2\). Or une aire dépend de deux longueurs. Chacune est multipliée par 1,5, donc l’aire est multipliée par \(1{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25\).
Exercice 4 – Le fanion miniature (3 points)
- D’abord, \(k = \dfrac{4{,}8}{12} = 0{,}4\)
Le coefficient de réduction est 0,4 ; il est inférieur à 1, ce qui est normal pour une réduction. - Ensuite, \(10 \times 0{,}4 = 4\)
\(15 \times 0{,}4 = 6\)
Les deux autres côtés du badge mesurent 4 cm et 6 cm. - Ensuite, l’aire est multipliée par le carré du coefficient :
\(0{,}4^2 = 0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16\)
L’aire du fanion est multipliée par 0,16 pour obtenir celle du badge.
Piège classique : calculer \(12 \div 4{,}8 = 2{,}5\) et multiplier les autres côtés par 2,5. Or le badge est plus petit que le fanion, donc ses longueurs doivent diminuer.
Exercice 5 – L’ombre du peuplier (5 points)
- Le bâton et le peuplier sont verticaux. Le sol est horizontal, donc \(\widehat{SBC} = 90^\circ\) et \(\widehat{SAD} = 90^\circ\).
Les points S, B, A sont alignés, ainsi que S, C, D. Ainsi, l’angle en S est le même dans les deux triangles.
Les triangles SBC et SAD ont deux angles égaux deux à deux. Leur troisième angle est donc aussi égal : les triangles SBC et SAD sont semblables. - S ↔ S, B ↔ A et C ↔ D.
[SA] est le côté homologue de [SB] :
\(k = \dfrac{SA}{SB} = \dfrac{12}{1{,}5} = 8\)
Le coefficient d’agrandissement est 8. - [AD] est le côté homologue de [BC] :
\(AD = 8 \times 1{,}2 = 9{,}6\)
Le peuplier mesure \(9{,}6\text{ m}\) de haut. - Au même moment, les rayons du soleil ont la même inclinaison. Le triangle formé par Inaya et son ombre est donc semblable au triangle SBC. L’ombre correspond à [SB] et la taille d’Inaya à [BC].
\(\dfrac{1{,}60}{1{,}2} = \dfrac{4}{3}\)
\(1{,}5 \times \dfrac{4}{3} = 2\)
L’ombre d’Inaya mesure 2 m.
Piège classique : prendre \(BA = 12 – 1{,}5 = 10{,}5\text{ m}\) au lieu de \(SA = 12\text{ m}\). En effet, les côtés homologues partent tous les deux du point S.
À retenir de ce contrôle
- Deux triangles sont semblables quand leurs angles sont égaux deux à deux ; il suffit de vérifier deux paires d’angles.
- Deux triangles sont semblables quand les longueurs de leurs côtés, rangées dans le même ordre, sont proportionnelles.
- Les côtés homologues relient des sommets homologues : on les repère grâce aux angles égaux qui leur sont opposés.
- Si les longueurs sont multipliées par un coefficient k, les aires sont multipliées par k au carré.
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