Théorème de Thalès et calculs de longueurs : contrôle de maths en 3ème
Voici un contrôle de maths en 3ème sur le thème « théorème de Thalès et calculs de longueurs », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet porte sur le théorème de Thalès utilisé dans le sens direct : à partir de droites parallèles, tu calcules des longueurs manquantes. Tu y rencontres les deux figures du programme, la configuration emboîtée (un petit triangle à l’intérieur d’un grand) et la configuration papillon (deux triangles opposés par un sommet). On attend à chaque fois les hypothèses, l’égalité des trois rapports puis un produit en croix bien posé.
Fais ce contrôle juste après le chapitre, vers le milieu du premier trimestre, avant d’aborder la réciproque. Le dernier exercice, un problème d’étang, ressemble à ce que tu trouveras au brevet.
Ce qu’évalue le contrôle : théorème de Thalès et calculs de longueurs
L’essentiel du sujet
- Niveau3ème
- Durée55 minutes
- Calculatriceautorisée
- Barèmesur 20
Chapitre : Théorème de Thalès (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Reconnaître une configuration de Thalès emboîtée ou en papillon et citer ses hypothèses
- Écrire l’égalité des trois rapports en associant les bons côtés des deux triangles
- Calculer une longueur manquante par un produit en croix, avec des valeurs décimales
- Justifier le parallélisme de deux droites perpendiculaires à une même troisième
- Résoudre un problème concret de mesure indirecte en combinant Thalès et Pythagore
Avant de commencer le devoir
Avant tout calcul, repère le sommet commun aux deux triangles : tous les rapports partent de ce point. Écris les numérateurs avec les côtés du petit triangle et les dénominateurs avec ceux du grand, sans jamais mélanger. Remplace ensuite par les valeurs connues et garde seulement les deux rapports utiles. Dans l’exercice 4, pense à justifier le parallélisme avant d’appliquer Thalès. Contrôle enfin chaque résultat : une longueur du petit triangle doit rester plus courte que la longueur correspondante du grand.
Le sujet du contrôle : théorème de Thalès et calculs de longueurs
Exercice 1 – Deux configurations à reconnaître (3 points)
Aucune longueur n’est demandée dans cet exercice, car on s’intéresse seulement à l’écriture des rapports.
- Sur la figure 1, le point U appartient au segment [RS], mais aussi V appartient au segment [RT], et les droites (UV) et (ST) sont parallèles. Écris l’égalité des trois rapports donnée par le théorème de Thalès.
- Ensuite, sur la figure 2, les points E, K, H sont alignés, les points F, K, G sont alignés et les droites (EF) et (GH) sont parallèles. Donne l’égalité des trois rapports donnée par le théorème de Thalès.
Exercice 2 – Le triangle ABC coupé par (MN) (4 points)
Sur la figure ci-dessous, le point M appartient au segment [AB], le point N appartient au segment [AC] et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On donne : \(AM = 3{,}6\text{ cm}\), \(AB = 6\text{ cm}\), \(AN = 4{,}2\text{ cm}\) et \(BC = 7{,}5\text{ cm}\).
![Triangle ABC avec M sur [AB] et N sur [AC], AM 3,6 cm, AB 6 cm, AN 4,2 cm, BC 7,5 cm](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/controles-maths-pdf/theoreme-de-thales-calculs-longueurs-controle-maths-3eme-ex2-triangle-amn.png)
La figure n’est pas à l’échelle, donc ne mesure rien dessus.
- Explique d’abord pourquoi on peut appliquer le théorème de Thalès, puis écris l’égalité des trois rapports.
- Ensuite, calcule la longueur AC.
- Puis détermine la longueur MN.
- Déduis-en alors la longueur NC.
Exercice 3 – Le papillon de centre O (4 points)
Les points D, O, F sont alignés, les points E, O, G sont alignés et les droites (DE) et (FG) sont parallèles. On donne : \(OD = 5\text{ cm}\), \(OE = 4\text{ cm}\), \(DE = 6\text{ cm}\) et \(OF = 7{,}5\text{ cm}\).
La figure n’est pas à l’échelle.
- Justifie d’abord le théorème, puis écris l’égalité des trois rapports.
- Ensuite, calcule la longueur OG.
- Enfin, trouve la longueur FG.
Exercice 4 – Deux droites perpendiculaires à (AB) (4 points)
Le triangle ABC est rectangle en B. Le point M appartient au segment [AB], le point N appartient au segment [AC] et la droite (MN) est perpendiculaire à la droite (AB). On donne : \(AB = 8\text{ cm}\), \(AM = 5\text{ cm}\) et \(BC = 6\text{ cm}\).
![Triangle ABC rectangle en B, segment [MN] perpendiculaire à [AB], AB 8 cm, AM 5 cm, BC 6 cm](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/controles-maths-pdf/theoreme-de-thales-calculs-longueurs-controle-maths-3eme-ex4-triangle-rectangle.png)
- Démontre d’abord que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
- Ensuite, calcule la longueur MN.
- Puis calcule la longueur AC.
- Déduis-en ainsi la longueur AN.
Exercice 5 – La passerelle de l’étang (5 points)
La commune de Lucien veut construire une passerelle en bois au-dessus d’un étang, entre deux points A et B situés sur ses rives. Comme on ne peut pas mesurer AB directement, Lucien plante des piquets en C, D et E dans le pré voisin, de sorte que les points A, C, E soient alignés, que les points B, C, D soient alignés et que la droite (DE) soit parallèle à la droite (AB).
Il mesure : \(CA = 45\text{ m}\), \(CB = 40\text{ m}\), \(CE = 18\text{ m}\) et \(DE = 14\text{ m}\).
![Vue de dessus : étang traversé par [AB], droites (AE) et (BD) sécantes en C, CA 45 m, CB 40 m, CE 18 m, DE 14 m](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/controles-maths-pdf/theoreme-de-thales-calculs-longueurs-controle-maths-3eme-ex5-etang.png)
- Justifie que l’on peut utiliser le théorème de Thalès et écris l’égalité des trois rapports.
- Calcule la distance AB.
- Puis trouve la distance CD.
- Pour être fixée solidement, la passerelle doit dépasser de \(1{,}5\text{ m}\) sur chaque rive. Elle coûte 780 € le mètre, et la commune dispose d’un budget de 30 000 €. Ce budget est-il suffisant ? Justifie ta réponse, car un calcul est attendu.
Réviser théorème de Thalès et calculs de longueurs avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon théorème de thalès ; entraîne-toi sur la fiche théorème de thalès avant de retenter le sujet.
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