Réciproque de Thalès et droites parallèles : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « réciproque de Thalès et droites parallèles », question par question.
Cette correction donne pour chaque question la rédaction complète qu’un correcteur du brevet attend : les hypothèses d’alignement, le calcul des deux rapports, la comparaison et la phrase de conclusion qui cite la propriété. Lis-la une première fois pour vérifier tes résultats, puis une seconde pour comparer ta façon d’écrire.
Les produits en croix sont utilisés quand un quotient ne tombe pas juste, ce qui évite de conclure à partir de valeurs arrondies. Le barème précise les points accordés à la méthode et au résultat, et les encadrés « Piège classique » reviennent sur les erreurs qui coûtent le plus de points, comme l’oubli de l’ordre des points ou la confusion entre le théorème et sa réciproque.
L’énoncé complet se trouve ici : Réciproque de Thalès et droites parallèles : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : réciproque de Thalès et droites parallèles
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Un segment dans le triangle | 3 points |
| 2. La configuration papillon | 4 points |
| 3. L’erreur de Yanis | 3 points |
| 4. La charpente de l’abri | 5 points |
| 5. L’étagère échelle d’Inès | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : réciproque de Thalès et droites parallèles
Exercice 1 – Un segment dans le triangle (3 points)
- Le point \(M\) appartient au segment \([AB]\), donc \(AB = AM + MB = 4{,}5 + 3 = 7{,}5\text{ cm}\).
Le point \(N\) appartient au segment \([AC]\), donc \(AC = AN + NC = 6 + 4 = 10\text{ cm}\).
\(AB = 7{,}5\text{ cm}\) et \(AC = 10\text{ cm}\). - \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4{,}5}{7{,}5} = 0{,}6\)
\(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\)
Les deux rapports valent \(0{,}6\). - Les points \(A\), \(M\), \(B\) sont alignés, ainsi que \(A\), \(N\), \(C\), dans le même ordre. De plus, \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\).
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles.
Piège classique : comparer \(\dfrac{AM}{MB}\) et \(\dfrac{AN}{NC}\) sans calculer \(AB\) et \(AC\). Ici ces rapports sont aussi égaux. Pourtant, la propriété du cours s’énonce avec \(AB\) et \(AC\) : il faut donc citer celle-là.
Exercice 2 – La configuration papillon (4 points)
- \(\dfrac{OD}{OK} = \dfrac{2{,}8}{4{,}2} = \dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{OE}{OL} = \dfrac{3{,}5}{5{,}4} = \dfrac{35}{54}\).
On compare les produits en croix :
\(OD \times OL = 2{,}8 \times 5{,}4 = 15{,}12\)
\(OK \times OE = 4{,}2 \times 3{,}5 = 14{,}7\)
Comme \(15{,}12 \neq 14{,}7\), les rapports \(\dfrac{OD}{OK}\) et \(\dfrac{OE}{OL}\) sont différents. - Les points \(D\), \(O\), \(K\) et \(E\), \(O\), \(L\) sont alignés, et \(\dfrac{OD}{OK} \neq \dfrac{OE}{OL}\).
Si les droites \((DE)\) et \((KL)\) étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait l’égalité de ces rapports. Or ce n’est pas le cas. Par conséquent, d’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites \((DE)\) et \((KL)\) ne sont pas parallèles. - Pour que les droites soient parallèles, il faut \(\dfrac{OE}{OL} = \dfrac{OD}{OK}\), soit \(\dfrac{3{,}5}{OL} = \dfrac{2{,}8}{4{,}2}\).
\(OL = \dfrac{3{,}5 \times 4{,}2}{2{,}8} = \dfrac{14{,}7}{2{,}8} = 5{,}25\)
Vérification : \(\dfrac{3{,}5}{5{,}25} = \dfrac{2}{3}\). Il faudrait \(OL = 5{,}25\text{ cm}\).
Piège classique : arrondir \(\dfrac{2}{3} \approx 0{,}67\) et \(\dfrac{35}{54} \approx 0{,}65\), puis hésiter. En effet, avec des arrondis trop grossiers, deux rapports différents peuvent sembler égaux. Les produits en croix tranchent sans ambiguïté.
Exercice 3 – L’erreur de Yanis (3 points)
- Comme \(E\) est entre \(P\) et \(F\) : \(PF = PE + EF = 2 + 3 = 5\text{ cm}\).
\(\dfrac{PE}{PF} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\) et \(\dfrac{PG}{PH} = \dfrac{2{,}4}{6} = 0{,}4\).
Les deux rapports sont égaux à \(0{,}4\). - La réciproque du théorème de Thalès exige que les points soient alignés dans le même ordre sur les deux droites. Ici, \(E\) et \(F\) sont du même côté de \(P\). En revanche, \(G\) et \(H\) sont de part et d’autre de \(P\). L’ordre n’est donc pas le même. La réciproque ne s’applique pas, et la figure montre d’ailleurs que \((EG)\) et \((FH)\) ne sont pas parallèles.
- Il faut \(\dfrac{PG}{PH^{\prime}} = \dfrac{PE}{PF} = 0{,}4\), donc \(PH^{\prime} = \dfrac{2{,}4}{0{,}4} = 6\text{ cm}\).
Le point \(H^{\prime}\) doit être du même côté de \(P\) que \(G\). Ainsi, \(P\), \(G\), \(H^{\prime}\) sont dans le même ordre que \(P\), \(E\), \(F\).
On place \(H^{\prime}\) sur la demi-droite \([PG)\), au-delà de \(G\), à \(6\text{ cm}\) de \(P\) : c’est le symétrique de \(H\) par rapport à \(P\).
Piège classique : utiliser \(EF = 3\text{ cm}\) à la place de \(PF\) dans le rapport. Les longueurs se mesurent toujours depuis le point commun \(P\).
Exercice 4 – La charpente de l’abri (5 points)
- Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\). D’après le théorème de Pythagore :
\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)
\(AC^2 = 2{,}4^2 + 3{,}2^2 = 5{,}76 + 10{,}24 = 16\)
\(AC = \sqrt{16} = 4\)
Le chevron mesure \(4\text{ m}\). - Les points \(A\), \(M\), \(B\) et \(A\), \(N\), \(C\) sont alignés dans le même ordre.
\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{0{,}9}{2{,}4} = 0{,}375\) et \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{1{,}5}{4} = 0{,}375\).
Les rapports sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, la traverse \((MN)\) est parallèle à la poutre \((BC)\). - On sait que \((MN)\) est parallèle à \((BC)\) et que \((BC)\) est perpendiculaire à \((AB)\), car le triangle est rectangle en \(B\).
Or, quand deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une l’est aussi à l’autre. Donc \((MN)\) est perpendiculaire à \((AB)\). - Comme \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles, le théorème de Thalès donne \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{MN}{3{,}2} = 0{,}375\).
\(MN = 0{,}375 \times 3{,}2 = 1{,}2\)
Vérifions avec Pythagore dans le triangle \(AMN\), rectangle en \(M\) :\(MN^2 = 1{,}5^2 – 0{,}9^2 = 2{,}25 – 0{,}81 = 1{,}44\), et \(\sqrt{1{,}44} = 1{,}2\).
La traverse mesure \(1{,}2\text{ m}\).
Piège classique : utiliser le théorème de Thalès à la question 2, alors qu’on ne sait pas encore que les droites sont parallèles. Pour démontrer un parallélisme, on cite donc la réciproque.
Exercice 5 – L’étagère échelle d’Inès (5 points)
- Les points \(S\), \(C\), \(A\) et \(S\), \(D\), \(B\) sont alignés dans le même ordre.
\(\dfrac{SC}{SA} = \dfrac{60}{150} = 0{,}4\) et \(\dfrac{SD}{SB} = \dfrac{56}{140} = 0{,}4\).
Les rapports sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, \((CD)\) est parallèle à \((AB)\). La planche \([CD]\) est horizontale. - Les droites \((CD)\) et \((AB)\) étant parallèles, le théorème de Thalès donne \(\dfrac{CD}{AB} = \dfrac{SC}{SA} = 0{,}4\).
\(CD = 0{,}4 \times 90 = 36\)
La planche \([CD]\) mesure \(36\text{ cm}\). - Les points \(S\), \(E\), \(A\) et \(S\), \(F\), \(B\) sont alignés dans le même ordre.
\(\dfrac{SE}{SA} = \dfrac{105}{150} = 0{,}7\) et \(\dfrac{SF}{SB} = \dfrac{99}{140}\).
Produits en croix : \(105 \times 140 = 14\,700\) et \(150 \times 99 = 14\,850\). Ils sont différents, donc \(\dfrac{SE}{SA} \neq \dfrac{SF}{SB}\).
D’après la contraposée du théorème de Thalès, \((EF)\) n’est pas parallèle à \((AB)\) : la planche \([EF]\) n’est pas horizontale. - Il faut \(\dfrac{SF}{SB} = \dfrac{SE}{SA} = 0{,}7\), donc \(SF = 0{,}7 \times 140 = 98\text{ cm}\).
Comme \(99 – 98 = 1\), Inès doit placer \(F\) à \(98\text{ cm}\) de \(S\) : elle le déplace de \(1\text{ cm}\) vers le haut, en direction de \(S\).
Piège classique : arrondir \(\dfrac{99}{140}\) à \(0{,}7\) et conclure que la planche est horizontale. Un écart de \(1\text{ cm}\) suffit à faire pencher la planche. Il faut donc comparer des valeurs exactes.
À retenir de ce contrôle
- Si les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre et si AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
- Si les deux rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles : on utilise alors la contraposée du théorème de Thalès.
- Des rapports égaux ne suffisent pas : sans le même ordre des points sur les deux droites, la réciproque ne s’applique pas.
- Pour comparer deux quotients qui ne tombent pas juste, on compare les produits en croix plutôt que deux valeurs arrondies.
- Le théorème de Thalès sert à calculer une longueur, sa réciproque sert à prouver un parallélisme : ne les confonds pas dans la rédaction.
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