Cosinus, sinus et tangente d’un angle : corrigé du contrôle de maths en 3ème
Voici le corrigé du contrôle de maths en 3ème sur le thème « cosinus, sinus et tangente d’un angle », question par question.
Cette correction suit la rédaction attendue au brevet : le triangle rectangle est nommé, le rapport est écrit avec les lettres, puis les valeurs sont remplacées et l’équation est résolue par un produit en croix. Chaque résultat est donné avec la valeur affichée par la calculatrice avant son arrondi, pour que tu puisses comparer ta copie.
Le barème précise les points de méthode, souvent gagnés même quand le résultat final est faux. Les encadrés signalent les confusions courantes entre côté adjacent et côté opposé. Pour t’entraîner, cache la solution, refais les calculs de l’exercice 2 et vérifie la cohérence de tes longueurs avec la figure.
L’énoncé complet se trouve ici : Cosinus, sinus et tangente d’un angle : contrôle de maths en 3ème.
Barème du contrôle corrigé : cosinus, sinus et tangente d’un angle
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Bien nommer les côtés | 3 points |
| 2. Trois triangles, trois formules | 6 points |
| 3. Retrouver un angle | 4 points |
| 4. La montée du col | 7 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : cosinus, sinus et tangente d’un angle
Exercice 1 – Bien nommer les côtés (3 points)
- L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, donc l’hypoténuse est [EG].
- Le côté adjacent à \(\widehat{FEG}\) est le côté de l’angle qui n’est pas l’hypoténuse : [EF]. Ensuite, le côté opposé est celui qui ne passe pas par E : [FG].
- Dans le triangle EFG rectangle en F :
\(\cos \widehat{FEG} = \dfrac{EF}{EG}\)
\(\sin \widehat{FEG} = \dfrac{FG}{EG}\)
\(\tan \widehat{FEG} = \dfrac{FG}{EF}\)
Ce sont les trois rapports demandés.
Piège classique : appeler « côté adjacent » n’importe quel côté qui touche E. En effet, l’hypoténuse touche aussi E, mais elle garde toujours son nom d’hypoténuse.
Exercice 2 – Trois triangles, trois formules (6 points)
a) Dans le triangle ABC rectangle en B, on connaît l’hypoténuse AC et on cherche BC, côté opposé à \(\widehat{BAC}\). On utilise donc le sinus.
\(\sin \widehat{BAC} = \dfrac{BC}{AC}\)
\(\sin 35^\circ = \dfrac{BC}{8}\)
\(BC = 8 \times \sin 35^\circ \approx 4{,}589\)
\(BC \approx 4{,}6\text{ cm}\).
b) Dans le triangle MNP rectangle en N, on connaît MN, côté adjacent à \(\widehat{NMP}\), et on cherche NP, côté opposé. On utilise donc la tangente.
\(\tan \widehat{NMP} = \dfrac{NP}{MN}\)
\(\tan 52^\circ = \dfrac{NP}{5}\)
\(NP = 5 \times \tan 52^\circ \approx 6{,}400\)
\(NP \approx 6{,}4\text{ cm}\).
c) Dans le triangle RST rectangle en S, on connaît RS, côté adjacent à \(\widehat{SRT}\), et on cherche l’hypoténuse RT. On utilise donc le cosinus.
\(\cos \widehat{SRT} = \dfrac{RS}{RT}\)
\(\cos 40^\circ = \dfrac{7{,}5}{RT}\)
\(RT = \dfrac{7{,}5}{\cos 40^\circ} \approx 9{,}791\)
\(RT \approx 9{,}8\text{ cm}\), plus long que RS. Ainsi, c’est cohérent pour une hypoténuse.
Piège classique : au c), écrire \(RT = 7{,}5 \times \cos 40^\circ \approx 5{,}7\). Or une hypoténuse plus courte qu’un autre côté est impossible. Ce contrôle rapide révèle donc l’erreur de produit en croix.
Exercice 3 – Retrouver un angle (4 points)
- Dans le triangle IJK rectangle en J, [JK] est le côté opposé à \(\widehat{JIK}\). Ensuite, [IJ] est le côté adjacent :
\(\tan \widehat{JIK} = \dfrac{JK}{IJ} = \dfrac{4{,}5}{6} = 0{,}75\)
À la calculatrice : \(\widehat{JIK} = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}87^\circ\).
\(\widehat{JIK} \approx 37^\circ\). - De même, \(\cos \widehat{JIK} = \dfrac{IJ}{IK} = \dfrac{6}{7{,}5} = 0{,}8\)
\(\arccos(0{,}8) \approx 36{,}87^\circ\).
On retrouve bien \(\widehat{JIK} \approx 37^\circ\). - La somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\). Comme l’angle en J est droit, les angles \(\widehat{JIK}\) et \(\widehat{IKJ}\) sont donc complémentaires :
\(\widehat{IKJ} \approx 90^\circ – 36{,}87^\circ = 53{,}13^\circ\)
\(\widehat{IKJ} \approx 53^\circ\).
Piège classique : taper \(\tan(0{,}75)\) au lieu de \(\arctan(0{,}75)\). Or on cherche un angle à partir d’un rapport. Il faut donc utiliser la touche inverse, souvent « 2nde » ou « shift » puis « tan ».
Exercice 4 – La montée du col (7 points)
- \(\dfrac{240}{2\,000} = 0{,}12 = 12\,\%\)
La pente de la route est de \(12\,\%\). - Dans le triangle AHB rectangle en H, [HB] est le côté opposé à \(\widehat{HAB}\). Ensuite, [AH] est le côté adjacent :
\(\tan \widehat{HAB} = \dfrac{HB}{AH} = \dfrac{240}{2\,000} = 0{,}12\)
\(\widehat{HAB} = \arctan(0{,}12) \approx 6{,}843^\circ\)
La route fait un angle d’environ \(6{,}8^\circ\) avec l’horizontale. - Dans le même triangle, [AH] est le côté adjacent à \(\widehat{HAB}\). Puis [AB] est l’hypoténuse :
\(\cos \widehat{HAB} = \dfrac{AH}{AB}\)
\(AB = \dfrac{2\,000}{\cos \widehat{HAB}}\), avec la valeur de l’angle gardée en mémoire.
\(AB \approx 2\,014{,}3\)
La route mesure environ \(2\,014\text{ m}\).
Enfin, vérification avec le théorème de Pythagore : \(AB^2 = 2\,000^2 + 240^2 = 4\,057\,600\) et \(\sqrt{4\,057\,600} \approx 2\,014{,}3\). - D’abord, \(2\,014\text{ m} = 2{,}014\text{ km}\).
\(\text{durée} = \dfrac{\text{distance}}{\text{vitesse}} = \dfrac{2{,}014}{12} \approx 0{,}1678\text{ h}\)
\(0{,}1678 \times 60 \approx 10{,}07\text{ min}\)
Il faut environ 10 minutes à Capucine pour monter de A à B.
Piège classique : confondre la pente de \(12\,\%\) avec un angle de \(12^\circ\). En effet, la pente est une tangente et non une mesure d’angle. Ici, l’angle ne vaut donc qu’environ \(6{,}8^\circ\).
À retenir de ce contrôle
- Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le quotient du côté adjacent par l’hypoténuse.
- Le sinus est le quotient du côté opposé par l’hypoténuse, la tangente celui du côté opposé par le côté adjacent.
- Pour choisir le rapport, on repère la longueur connue et la longueur cherchée par rapport à l’angle donné.
- Pour trouver un angle, on utilise les touches arccos, arcsin ou arctan de la calculatrice réglée en mode degrés.
- On garde les valeurs exactes pendant les calculs et on n’arrondit qu’au résultat final, en indiquant l’unité.
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Pour ne plus perdre de points sur ce thème, relis la leçon trigonométrie dans le triangle rectangle ; entraîne-toi sur la fiche trigonométrie.
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