Intervalles et ensembles de nombres : contrôle de maths en seconde
Voici un contrôle de maths en seconde sur le thème « intervalles et ensembles de nombres », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet ouvre l’année de seconde avec les ensembles de nombres et les intervalles. Tu commences par classer des réels dans les ensembles emboîtés \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\). Ensuite, tu passes d’une inégalité à un intervalle, puis à sa représentation sur une droite graduée.
Tu détermines aussi la réunion et l’intersection de deux intervalles, avant une courte démonstration guidée sur un tiers. Enfin, un problème de serre te fait raisonner avec des températures. Fais ce contrôle après le premier chapitre de l’année, quand les crochets ouverts et fermés ne te posent plus de difficulté.
Ce qu’évalue le contrôle : intervalles et ensembles de nombres
L’essentiel du sujet
- Niveauseconde
- Durée1 heure
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Nombres réels, intervalles et valeur absolue (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Reconnaître le plus petit ensemble de nombres auquel appartient un réel donné
- Passer d’une inégalité à un intervalle et à sa représentation sur une droite graduée
- Déterminer la réunion et l’intersection de deux intervalles
- Démontrer en étant guidé que la fraction un tiers n’est pas un nombre décimal
- Traduire une contrainte concrète par un intervalle et raisonner avec
Avant de commencer le devoir
Pour chaque intervalle, pose-toi d’abord une question simple : la borne est-elle atteinte ou non ? Le crochet en découle. Du côté de l’infini, le crochet est toujours ouvert. Pour une réunion ou une intersection, dessine les deux intervalles l’un au-dessus de l’autre sur la même droite, puis lis la partie commune ou la partie totale. Enfin, simplifie chaque nombre avant de chercher son ensemble, car \(\sqrt{49}\) cache un entier.
Le sujet du contrôle : intervalles et ensembles de nombres
Exercice 1 – Des nombres à ranger (4 points)
On considère les huit nombres suivants : \(\sqrt{49}\) ; \(-\frac{12}{4}\) ; \(\frac{7}{4}\) ; \(\frac{2}{3}\) ; \(\sqrt{7}\) ; \(0{,}125\) ; \(\pi\) ; \(\left(\sqrt{3}\right)^2\). On admet que \(\sqrt{7}\) et \(\pi\) ne sont pas rationnels.
- Recopie le schéma, puis place chaque nombre dans le plus petit ensemble qui le contient.
- Justifie ensuite que \(-\frac{12}{4}\) appartient à \(\mathbb{Z}\) et que \(\frac{7}{4}\) appartient à \(\mathbb{D}\).
- Dis enfin si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.
Affirmation 1 : « Tout entier relatif est un nombre décimal. »
Affirmation 2 : « \(0{,}333 = \frac{1}{3}\). »
Exercice 2 – Inégalités et intervalles (5 points)
- Écris d’abord sous forme d’intervalle l’ensemble des réels \(x\) tels que \(-2 \leq x < 3\), puis celui des réels \(x\) tels que \(x > 1\).
- Traduis ensuite par une inégalité l’appartenance \(x \in ]-\infty\,;\,4]\), puis \(x \in [-3\,;\,0]\).
- Sur les droites A et B ci-dessous, la partie colorée représente un ensemble de réels. Donne alors, pour chacune, l’intervalle et l’inégalité correspondants.
- Le réel 5 appartient-il à \([-2\,;\,5[\) ? Et \(\sqrt{2}\) appartient-il à \(]1{,}4\,;\,1{,}5[\) ? Justifie chaque réponse, par exemple en comparant des carrés.
Exercice 3 – Réunion et intersection (4 points)
On donne les intervalles \(I = [-3\,;\,4[\) et \(J = ]1\,;\,7]\), représentés sur la droite graduée ci-dessous.
- Détermine d’abord \(I \cap J\).
- Donne ensuite \(I \cup J\).
- On pose aussi \(K = ]-\infty\,;\,-3[\). Que valent alors \(I \cap K\) et \(I \cup K\) ?
- Écris enfin sous forme d’intervalle l’ensemble des réels qui sont dans \(I\) et qui sont positifs ou nuls.
Exercice 4 – Un tiers n’est pas décimal (3 points)
Un nombre est décimal lorsqu’il peut s’écrire \(\frac{a}{10^n}\), avec \(a\) entier relatif et \(n\) entier naturel.
- Montre d’abord que \(\frac{3}{8}\) et \(\frac{7}{20}\) sont décimaux, en les écrivant sous cette forme.
- On suppose maintenant que \(\frac{1}{3} = \frac{a}{10^n}\). Montre que l’on a alors \(3a = 10^n\).
- Pourtant, \(10^n\) est-il divisible par 3 ? Utilise la somme de ses chiffres.
- Conclus finalement.
Exercice 5 – La serre de Lucas (4 points)
Lucas cultive des tomates et des concombres dans une serre. Les tomates poussent bien quand la température \(T\), en degrés Celsius, appartient à \(I = [18\,;\,27]\). En revanche, les concombres demandent une température dans \(C = ]20\,;\,30]\).
- Traduis d’abord la condition \(T \in I\) par un encadrement.
- Quelles températures conviennent à la fois aux tomates et aux concombres ? Réponds par un intervalle.
- Quelles températures conviennent ensuite à au moins une des deux cultures ?
- Une nuit, la température descend à 19 °C. Quelle culture est alors dans de bonnes conditions ?
- Lucas installe enfin un chauffage qui maintient la température entre 23 °C et 25 °C inclus. Ce réglage convient-il aux deux cultures ? Justifie avec les intervalles.
Réviser intervalles et ensembles de nombres avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, entraîne-toi sur la fiche intervalles et valeur absolue avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en seconde regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
Sujets proches à faire ensuite
Télécharger ou imprimer cette fiche «intervalles et ensembles de nombres : contrôle de maths en seconde» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.
Ressources de maths en Seconde
Cours
Tout voir
Exercices corrigés
Tout voir
Contrôles
Tout voir
QCM
Tout voir
