Intervalles et ensembles de nombres : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « intervalles et ensembles de nombres », question par question.
Cette correction reprend les cinq exercices dans l’ordre du sujet. Pour chaque nombre, elle commence par le simplifier, puis elle indique le plus petit ensemble qui le contient ; un schéma récapitule le classement. Les intervalles sont ensuite justifiés borne par borne, afin que tu comprennes le choix de chaque crochet.
Tu trouveras aussi la réunion et l’intersection dessinées sur deux droites graduées, puis la démonstration par l’absurde rédigée comme on l’attend. Compare ta copie ligne à ligne et compte tes points avec le barème. Relis enfin les pièges signalés, car ils portent sur les bornes exclues, qui coûtent souvent des points.
L’énoncé complet se trouve ici : Intervalles et ensembles de nombres : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : intervalles et ensembles de nombres
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Des nombres à ranger | 4 points |
| 2. Inégalités et intervalles | 5 points |
| 3. Réunion et intersection | 4 points |
| 4. Un tiers n’est pas décimal | 3 points |
| 5. La serre de Lucas | 4 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : intervalles et ensembles de nombres
Exercice 1 – Des nombres à ranger (4 points)
- On simplifie d’abord chaque nombre quand c’est possible.
\(\sqrt{49} = 7\) et \(\left(\sqrt{3}\right)^2 = 3\) : ce sont des entiers naturels, donc ils vont dans \(\mathbb{N}\).
\(-\frac{12}{4} = -3\) : c’est un entier négatif, donc il va dans \(\mathbb{Z}\).
\(\frac{7}{4} = 1{,}75\) et \(0{,}125\) ont un nombre fini de chiffres après la virgule, par conséquent ils vont dans \(\mathbb{D}\).
\(\frac{2}{3}\) est un quotient d’entiers mais n’est pas décimal (son écriture \(0{,}666…\) ne s’arrête pas), il va donc dans \(\mathbb{Q}\).
Enfin, \(\sqrt{7}\) et \(\pi\) ne sont pas rationnels : ils vont seulement dans \(\mathbb{R}\). - On a \(-\frac{12}{4} = -3\), or \(-3\) est un entier relatif, donc \(-\frac{12}{4} \in \mathbb{Z}\). De plus, \(\frac{7}{4} = \frac{7 \times 25}{4 \times 25} = \frac{175}{100} = 1{,}75\), qui s’écrit comme un entier divisé par \(10^2\). Ainsi, \(\frac{7}{4} \in \mathbb{D}\).
- Affirmation 1 : un entier relatif \(k\) s’écrit \(\frac{k}{10^0}\), car \(10^0 = 1\). L’affirmation 1 est vraie.
Affirmation 2 : \(0{,}333 \times 3 = 0{,}999\), alors que \(\frac{1}{3} \times 3 = 1\). Les deux nombres sont donc différents : \(0{,}333\) n’est qu’une valeur approchée de \(\frac{1}{3}\). L’affirmation 2 est fausse.
Piège classique : ranger \(\sqrt{49}\) dans \(\mathbb{R}\) à cause du radical. Il faut toujours simplifier avant de classer.
Exercice 2 – Inégalités et intervalles (5 points)
- Dans \(-2 \leq x < 3\), la borne \(-2\) est atteinte, mais pas la borne 3. Donc \(x \in [-2\,;\,3[\). Ensuite, \(x > 1\) exclut 1 et n’a pas de borne à droite, alors \(x \in ]1\,;\,+\infty[\).
- Le crochet fermé en 4 indique que 4 est compris, donc \(x \leq 4\). Puis, pour \([-3\,;\,0]\), les deux bornes sont comprises : \(-3 \leq x \leq 0\).
- Sur la droite A, le crochet en \(-1\) est tourné vers l’extérieur (borne exclue) et celui en 5 vers l’intérieur (borne comprise). Ainsi, A représente \(]-1\,;\,5]\), c’est-à-dire \(-1 < x \leq 5\).
Sur la droite B, la partie colorée part vers \(-\infty\) et s’arrête en 2, exclu. Par conséquent, B représente \(]-\infty\,;\,2[\), c’est-à-dire \(x < 2\). - Le crochet en 5 est ouvert, donc 5 est exclu : \(5 \notin [-2\,;\,5[\).
Ensuite, on compare les carrés de nombres positifs : \(1{,}4^2 = 1{,}96\) et \(1{,}5^2 = 2{,}25\). Comme \(1{,}96 < 2 < 2{,}25\) et que tous ces nombres sont positifs, on en déduit \(1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5\). Ainsi, \(\sqrt{2} \in ]1{,}4\,;\,1{,}5[\).
Exercice 3 – Réunion et intersection (4 points)
- Les réels communs à \(I\) et \(J\) sont plus grands que 1 (exclu, car exclu de \(J\)) et plus petits que 4 (exclu, car exclu de \(I\)). Donc \(I \cap J = ]1\,;\,4[\).
- Les deux intervalles se chevauchent, alors leur réunion va de \(-3\) (compris dans \(I\)) jusqu’à 7 (compris dans \(J\)). Ainsi, \(I \cup J = [-3\,;\,7]\).
- \(K\) contient les réels strictement inférieurs à \(-3\), tandis que \(I\) commence à \(-3\). Ils n’ont donc aucun point commun : \(I \cap K = \varnothing\). En revanche, ils se complètent exactement en \(-3\), d’où \(I \cup K = ]-\infty\,;\,4[\).
- On garde les réels de \(I\) tels que \(x \geq 0\) : ils vont de 0, compris, jusqu’à 4, exclu. Cet ensemble est \([0\,;\,4[\).
Piège classique : écrire \(I \cap J = [1\,;\,4]\). Or chaque borne d’une intersection garde le crochet de l’intervalle dont elle provient.
Exercice 4 – Un tiers n’est pas décimal (3 points)
- On multiplie le numérateur et le dénominateur pour obtenir une puissance de 10 :
\(\frac{3}{8} = \frac{3 \times 125}{8 \times 125} = \frac{375}{1\,000} = \frac{375}{10^3}\) ;
\(\frac{7}{20} = \frac{7 \times 5}{20 \times 5} = \frac{35}{100} = \frac{35}{10^2}\).
Donc \(\frac{3}{8} = 0{,}375\) et \(\frac{7}{20} = 0{,}35\) sont décimaux. - Si \(\frac{1}{3} = \frac{a}{10^n}\), on multiplie les deux membres par \(3 \times 10^n\) : on obtient \(10^n = 3a\). Ainsi, \(3a = 10^n\).
- L’égalité \(3a = 10^n\) signifie que \(10^n\) serait un multiple de 3. Cependant, \(10^n\) s’écrit avec un 1 suivi de \(n\) zéros, donc la somme de ses chiffres vaut 1. Comme 1 n’est pas divisible par 3, \(10^n\) n’est pas divisible par 3.
- On aboutit à une contradiction, donc la supposition de départ est fausse. Par conséquent, \(\frac{1}{3}\) n’est pas un nombre décimal.
Exercice 5 – La serre de Lucas (4 points)
- Les deux crochets de \(I\) sont fermés, donc les bornes sont comprises : \(18 \leq T \leq 27\).
- On cherche \(I \cap C\). La température doit être supérieure à 20 (exclu, à cause de \(C\)) et inférieure à 27 (compris dans les deux intervalles). Les températures qui conviennent aux deux cultures forment \(]20\,;\,27]\).
- On cherche cette fois \(I \cup C\). Les intervalles se chevauchent entre 20 et 27, alors la réunion va de 18 à 30, bornes comprises. Au moins une culture est bien pour \(T \in [18\,;\,30]\).
- On a \(18 \leq 19 \leq 27\), donc \(19 \in I\). En revanche, \(19 \leq 20\), donc \(19 \notin C\). Seules les tomates sont dans de bonnes conditions.
- Le chauffage maintient \(T \in [23\,;\,25]\). Or \(20 < 23\) et \(25 \leq 27\), donc \([23\,;\,25]\) est inclus dans \(]20\,;\,27]\), c’est-à-dire dans \(I \cap C\). Ce réglage convient donc aux deux cultures.
À retenir de ce contrôle
- Les ensembles sont emboîtés : tout entier naturel est relatif, tout relatif est décimal, tout décimal est rationnel et tout rationnel est réel.
- Un crochet tourné vers l’intérieur signifie que la borne est comprise, alors qu’un crochet tourné vers l’extérieur l’exclut.
- L’intersection de deux intervalles contient les réels qui sont dans les deux à la fois, la réunion ceux qui sont dans au moins l’un des deux.
- Un nombre est décimal quand il s’écrit comme un entier divisé par une puissance de 10, ce qui est impossible pour un tiers.
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